☉江苏省连云港市海州实验中学 王磊

☉江苏省连云港市海州实验中学安娜

中考阅卷后，回溯数学“微”实验的立本原初

☉江苏省连云港市海州实验中学 王磊

☉江苏省连云港市海州实验中学安娜

近些年，初中数学实验的教学研究，正逐步受到重视.笔者曾于2013年以本年级的学生为研究对象，开展了一系列数学实验的教学研究活动，总结了在数学实验教学中要注意的一些问题，并将这些经验整理成文，以《数学实验离本趣末现象的反思与启发》为题，在《中学数学》2013年第6期上发表.一年后，该届学生参加了中考，恰好笔者有幸参加了本次中考阅卷，并负责一道解答题的批阅工作.阅卷中，老师们发现学生审题的精准度、思维的灵活度、问题的探究能力，差别较大.阅卷结束后，笔者回忆所改的题目，结合之前的研究，感悟颇深.下面，笔者就针对学生在中考中出现的一些典型问题，从数学实验对学生数学素养的培养和教师发展的角度，理论结合实际，谈谈自己的反思和感悟，并借此机会与各位同仁分享，敬请批评指正.

一、数学“微”实验的概念

1.数学实验的概念

通过研究资料和上网查询，笔者发现对数学实验的定义大概有10多种，这里引用江苏省教研室董林伟主任2007年发表在《中学数学月刊》上的阐述：“数学实验是为了探索数学知识、检验教学结论（或假设）而进行的某种操作或思维活动.数学实验一般具有可操作性和实践性，……，使学生在活动中认识并改造自己的数学知识结构.”在苏科版《数学实验手册》这本书中，有很多对此概念的案例解释，这里不再赘述.笔者认为，数学实验其实是帮助人们理解数学知识、发现数学规律、培养数学思维的一种途径.

2.数学“微”实验的概念

相对于平时常说的数学实验，数学“微”实验重点突出小、快、灵的特点，主要出现在各种应激环境中，例如，一次测试的题目中，一次交流的辩论中等.小是指实验对象的切入点小，观察一个图形，推理一种情况，展示一种现象，经历一种过程，以便得到对应结论.快是指时间短，指在说理过程中，应对动态问题、数形结合问题、轨迹问题等，在相对有限的时间内，采用数学实验的方法操作、验证，辅助思考.灵是指实验形式灵巧，借助的工具往往来自身边的物体，比如打印纸、橡皮、皮筋等，采用的实验形式灵活，可以是直观演示，也可以是思维抽象.

二、中考题展示

题目如下所示（以下简称“连中2014，24”）.

（2014年连云港）在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验.如图1，表盘是△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°.在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为20）.

图1

（1）求AB的长；

（2）从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2014秒，交点又在什么位置？请说明理由.

图2

参考答案如下所示.

解：（1）如图2，过A点作AD⊥BC，垂足为D.因为∠BAC= 120°，AB=AC，所以∠ABC=∠C= 30°.令AB=2t.在Rt△ABD中，

在Rt△AMD中，因为∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°，所以MD=AD=t.

（2）如图3，过A点作AD⊥BC，垂足为D.当光线旋转6秒时，设AP交BC于N点，且∠BAN=15° ×6=90°.

图3

图4

如图4，设光线AP旋转2014秒后光线与BC的交点为Q.由题意可知：光线从边AB开始到第一次回到AB处需8× 2=16秒，而2014=125×16+14，即AP旋转2014秒与旋转14秒时和BC的交点是同一个点光线AP旋转2014秒后，与BC的

【基于数学“微”实验角度的分析】

图5

本题注重考查学生的几何直观、用数学方法解决问题的能力和分类的数学思想，另外，考查了学生的数学表述能力.本题的解答思路主要分3个方向，一是数量关系答题法，二是图形关系答题法，三是数形结合答题法.但无论采用哪种方法，只要能准确地描述交点的位置，即可判定为正确答案.图5是笔者对1000份试卷进行的量化统计，这里我们忽略答案的正确与否，只看学生解题时选用的解题方法.从图中我们可以清楚地看出，用数字表示交点位置的学生占了大多数，数形结合与图形解答的学生基本持平，少部分学生用其他办法解答.从众多学生的答题纸上，笔者发现：好多学生都在使用数学“微”实验帮助审题，在答题卡上，学生用铅笔探究数学模型的痕迹明显.例如，利用分类思想，将旋转方向分类并作图；利用数学的逻辑推理，思考8个点的相对位置，并根据题意分析点的最终位置；数形结合，推想射线的移动过程等.

通过上述分析，我们可以发现，数学微实验确实在解题中发挥了有效的辅助作用，不过本题的得分率只有大约0.43，可见，还是有部分学生在解题中，没有掌握比较好的分析方法，解答上出现了一些问题.生物学家达尔文说：“最有价值的知识是关于方法的知识.”下面，我们一起看几个典型错例，以学生的失误为镜子，回视课堂教学，帮助以后的学生找到更好的学习方法，丰富自身的MPCK（数学学科教学知识）.

错误一：解直角三角形思路不畅.

错例1：如图6，过A作AD⊥BC.

由AB=AC，∠BAC= 120°，得∠C=∠ABC=30°.又∠BAM=15°，则∠AMD=45°，则AD=MD.设AD=x，则BD=x+

图6

【分析】在解这一问的时候，有部分学生不会利用已知条件作等腰三角形的高.回溯课堂教学，在学习等腰三角形时，学生学习了“三线合一”的证明，学习了尺规作图.教材上不仅安排了推理验证，还设计了折纸验证的数学实验.出现该问题，说明有关“三线合一”的学习，没能够给学生留下深刻的印象.这可能与学生在学习“三线合一”时，没能经历数学实验，教师教学中忽视了动手做的过程有关系.

错误二：审题不透彻.

错例2：学生在读“……在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB……”时，搞不明白速度和角度的对应关系.再比如，在阅读“每秒钟旋转15°”“……若旋转6……”“若旋转2014秒”时，有部分学生没理解题意，不知道旋转是什么意思，幅度有多大，搞不清顺时针和逆时针在图上的运动方向.

【分析】学生需要具备一定的建模能力，才能顺利解决此处的问题.笔者发现，这里学生的主要错误是不会利用15°去求∠AMD的度数.类似问题在第二问中也有出现.学生搞不清6秒后射线转了多少度，2014秒后，数学模型是什么样的（这是学生解题中出现最多的错误）.其实，旋转6秒就是旋转了90°，旋转了2014秒，也就是旋转了15°×2014=30210°，但是要考虑到来回，所以要除以120°.如果学生能在平时多接触一些与数学建模有关的数学实验，比如“棋盘上马的行踪”“用坐标系表示点的位置”“反转茶杯”等，就能很好地提高学生的建模能力，理清这里的逻辑关系，这样就不会出现大问题了.

错误三：错误的图形操作.

错例3：学生画出了如下图形.

图7

学生的错误回答是：AD⊥BC，而正确的答案是：AD⊥AB.

错例4：如图8所示：

图8

很多学生错误地将底边分成了8份，造成答题错误，而其实应该是按照角度把∠BAC分成8份.

【分析】很多成年人认为简单的知识，但学生受到思维水平的限制，理解起来却很困难，上述两种错误充分说明了这一点.对学生读图、作图能力的培养，一直很受教师们的关注，有些教师喜欢用机械式的方法，让学生反复画，但收效甚微.其原因就在于，探索过程死板乏味，不能调动学生的学习情绪，忽视了学生学习的内驱力.而数学试验中，常用“分割、拼合、反转、平移”等探究手段，这些探究过程，可以提高学生观察、想象、推理等思维能力，可以大大降低图形构建、变换问题中的错误率.

错误四：弄错射线方向.

错例5：带余除法不会用，例如：30210÷120=251.75，学生不知0.75代表什么意思，所以也就算不出答案.

【分析】按照上述解答过程，0.75×120=90，很多学生以为光线是从AB出发，转了90度，这就搞错了旋转方向.其实，251是奇数，所以此时的射线AP应该从AC处向AB处旋转，若忽略了这一点，就容易丢分.还有些学生，给出了相对模糊的答案，点P在BC的，其实这样的点，在线段BC上有两个，说不清楚，当然不能得分了.初中的数学教学中，渗透分类思想的途径有很多，数学实验是一个比较好的承载平台，例如，“分割三角形”“拼正方形”“数格点算面积”等，通过这些数学实验的训练，学生不容易出现思维遗漏的情况.

三、启发

1.数学实验中数学核心知识的学习和展开，有利于拓展学生的思维

近几年，国内的报刊、杂志上，常能见到有关数学实验的文章，例如，董林伟在《中学数学月刊》2007年第12期上发表文章《论开展“数学实验”研究与实践的意义与方法》，魏玉华教授在《中国数学教育》2013年第9期上发表文章《浅析初中数学实验的基本特征》，姜晓刚老师在《中学数学杂志》2013年第10期上发表文章《初中数学实验教学设计的研究与实践》，笔者也在《中学数学教与学（人大复印）》2013年第9期上发表文章《数学实验离本趋末现象的反思与启发》.这些文章，从不同的角度阐述了同一观点：要关注数学实验的核心数学知识.数学实验不能流于形式，不能因为需要数学实验而数学实验，要关注数学方法的运用，关注数学思想的渗透.从“连中2014，24”这道题中，可以感悟到：教师在教授三角形高的有关知识时，应该让学生多看、多画、多比、多说、多做.通过将三角形分类，自己动手画出它们的高，并与正确的画法进行对比的过程，阐述自己的观点和建议，在互动中，充分咀嚼三角形高的定义，关注数学知识的本质属性，同时，可以适当拓展，比如在学习三角形高的基本概念后，可以让学生在几何画板上，用计算机画出可以任意形变的三角形的高，观察哪些图形的高在三角形内部，哪些图形的高在三角形外部，哪些图形的高在边上，并思考为什么.通过这样的学习，学生的数学思维将越发成熟，考虑问题日趋缜密，解题能力随之提高.

2.关注数学实验对基本概念的理解、建构数学模型能力的培养功能

“新课标（2011年版）”中有这样的描述：“数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.”而“连中2014，24”，对学生的考查方式，与新课标的要求相吻合.一方面，要求学生能够建构合适的数学模型，另一方面，要求学生能对该模型进行分析和阐述.数学实验不仅能帮助学生获得直接经验，也可以促进学生对基本概念的理解.例如，学生经历“画三角形的高”这个数学实验，首先要鉴别三角形高的定义：“在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.”然后，围绕高的定义，通过动态操作和演示，展开学习，夯实了对三角形的高的概念的认识，学生定能准确地描述垂直的方向，不会犯搞不清旋转方向的错误.

3.数学实验不能停留在形式上，应以学生为中心展开

瑞士教育家亚美路说过：“教育最伟大的技巧是：知所启发.”“新课标（2011年版）”阐述到：“教师应当努力开发制作简便实用的教具和学具，有条件的学校可以建立‘数学实验室’供学生使用，以拓宽它们的学习领域，培养他们的实践能力……”.数学实验作为学生发现问题、提出问题、验证猜想的有效手段，越来越多地出现在数学课堂上，但与此同时，有些教师观念没有转变，害怕学生做的不到位，采用口头讲述代替学生的实验操作，还有些老师以缺少实验教具为借口，或绕开数学实验，避之不谈，或用多媒体演示，简单粗暴，还有些教师是为了实验而实验，只关注数学实验的“形”，忘了数学实验的“质”，渐渐地数学实验成为学习上的摆设，在这些教师的“教育”下，学生最终还是缺失了知识的源初体验，这种操作上的简略化，理解上的单调化，害苦了面前的莘莘学子.数学实验应照顾学生的感受，顾及学习的需要，对于“连中2014，24”，如果学生能够在三角形高的学习中，多动手做做、用嘴说说，那么他们对高的认识，就不会仅停留在学过的水平上，而会有手感，有触感，直观、具体和形象.通常这些感觉是伴随人一生的，不会消失.可见，教师的教学应以学生为中心，给学生充分表达自己看法的机会，退教还学，数学实验的教学效果，必然大幅提升，应付中考这样的升学考试也会游刃有余.

4.教师高水平的“MPCK”对教学的正诱导

美国学者舒尔曼（Shulman）在20世纪80年代中期，提出了“缺失的范式”，并根据研究提出了“学科教学知识”（即Pedagogical Content Knowledge，简称PCK）的定义.20世纪70年代，随着认知心理学的兴起，学者们研究的重点从观察教师的行为与技能转向关注教师的认知过程．学者们逐渐认识到：教师的学科教学知识作为教师认知活动的基础之一，深刻影响着教师的课堂教学行为，进而影响学生的学习效果.MPCK也就是“Maths Pedagogical Content Knowledge（数学学科教学知识）”，教师应该善于挖掘学生的潜能，培养他们包括学习能力在内的多方面能力.有时候，我们会遇到一些教师，自己解题能力相当出色，但他总是教不出成绩出色的学生，或者所带班级的成绩不理想，这类教师往往忽略了“MPCK”对教学的影响.数学实验的设计、教学、评价，都依赖于一定水平的MPCK.对于“连中2014，24”中关于高的数学实验教学中，如果教师仅仅让学生回顾小学时学过的高的作法，而不去用尺规操作，那么教学效果肯定是低效甚至无效的，对于小学接触过的东西，如果没有新内容的出现，很难激发学生的学习兴趣.教师如能够基于初中生的理解程度，适时地安排一些小游戏、小实验、小竞赛，教学效果肯定比平铺直述来的好.例如：“让同桌两个人为一个小组，彼此画出3个形状不同的三角形，让同桌画出它们各自的高，看谁画的准确.”现代教育理论告诉我们，教师要对教育学和心理学加以了解.只有掌握了教育的技巧、摸清了学生心理的因素，多方因素有机结合，才能进行高效的教学.在此基础上，结合数学学科教学知识（MPCK），科学地开展数学实验，就可以让学生获得想到的数学知识，在学习中占据主动.达成“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的要求.

一次阅卷的经历是短暂的，但它留给我们的思考空间是广泛的.数学作为科学的皇后，被誉为“人类思维的体操”.数学实验是学生发现问题、科学思考、解决困惑的必然经历，而数学微实验更加注重实验操作的便捷性、实用性，它丰富了数学实验的内容，是学生学习数学的好帮手，它必然会成为学生学习中常用的口袋工具，体现了数学实验教学的立本原初.

1.董林伟.论开展“数学实验”研究与实践的意义与方法［J］.中学数学月刊，2007（12）.

2.魏玉华.浅析初中数学实验的基本特征［J］.中国数学教育，2013（9）.

3.姜晓刚.初中数学实验教学设计的研究与实践［J］.中学数学杂志，2013（10）.

4.王磊.数学实验离本趋末现象的反思与启发［J］.中学数学（下），2013（7）.

5.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.Z