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否命题与命题的否定辨析

2015-03-27梅磊

高中生学习·高二版 2015年2期
关键词:端点真假偶数

梅磊

否命题和命题的否定在逻辑上是两个极易混淆的概念,加之课本上没有详细罗列和区分,因此它是“常用逻辑用语”中的一个难点. 许多同学对这两个概念模糊不清,即使能够区分开来,却不能正确地书写.

否命题和命题的否定的区别如下. (1)从概念上看:否命题和命题的否定是两个完全不同的概念.(2)从形式上看:对“若[p],则[q]”形式的命题而言,其否命题为“若[?p],则[?q]”;而命题的否定为“若[p],则[?q]”.(3)从对象上看:否命题一般针对“若[p],则[q]”形式的命题和可以改写成“若[p],则[q]”形式的命题而言;而任何命题都有其命题的否定.(4)从真值上看:否命题的真假性与原命题的真假性没有关系;而命题的否定的真假性与原命题的真假性相反.

“若[p],则[q]”形式的命题的否命题及命题的否定

例1   写出下列命题的否命题及命题的否定,并判断其真假.

(1)若[m>0],则方程[x2+x-m]有实数根;

(2)若[f(x)]是正弦函数,则[f(x)]是周期函数.

解析  (1)否命题:若[m≤0],则方程[x2+x-m]没有实数根.这是假命题.

命题的否定:若[m>0],则方程[x2+x-m]没有实数根.这是假命题.

(2)否命题:若[f(x)]不是正弦函数,则[f(x)]不是周期函数.这是假命题.

命题的否定:若[f(x)]是正弦函数,则[f(x)]不是周期函数.这是假命题.

点拨  对“若[p],则[q]”形式的命题而言,其否命题为“若[?p],则[?q]”,即条件和结论都要否定;而命题的否定为“若[p],则[?q]”,即不否定条件,只否定结论.

可改写为“若[p],则[q]”形式的命题的否命题及命题的否定

例2  写出下列命题的否命题及命题的否定,并判断其真假.

(1)矩形的对角线相等;

(2)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.

解析  (1)原命题可以改写成:若一个四边形是矩形,则这个四边形的对角线相等.

否命题:若一个四边形不是矩形,则这个四边形的对角线不相等.这是假命题.

命题的否定:若一个四边形是矩形,则这个四边形的对角线不相等.这是假命题.

(2)原命题可以改写成:若一个点在线段的垂直平分线上,则这个点到这条线段的两个端点的距离相等.

否命题:若一个点不在线段的垂直平分线上,则这个点到这条线段的两个端点的距离不相等.这是真命题.

命题的否定:若一个点在线段的垂直平分线上,则这个点到这条线段的两个端点的距离不相等.这是假命题.

点拨  对于形式上不是“若[p],则[q]”形式的命题,应该首先改写成“若[p],则[q]”形式的命题,再写其否命题和命题的否定. 改写时,应注意区分哪是条件,哪是结论.

含有逻辑联接词的命题的否命题及命题的否定

例3  写出下列命题的否命题及命题的否定,并判断其真假.

(1)若[m≤2]且[n≤3],则[m+n≤5];

(2)若[x=1]或[x=-1],则[x2=1].

解析  (1)否命题:若[m>2]或[n>3],则[m+n>5].这是假命题.

命题的否定:若[m≤2]且[n≤3],则[m+n>5].这是假命题.

(2)否命题:若[x≠1]且[x≠-1],则[x2≠1].这是真命题.

命题的否定:若[x=1]或[x=-1],则[x2≠1].这是假命题.

点拨  对于含有逻辑联接词的命题的否定,要注意“[p]或[q]”的否定是“[?p]且[?q]”,“[p]且[q]”的否定形式是“[?p]或[?q]”.第(1)小题的常见错误是把否命题写成“若[m>2]且[n>3],则[m+n>5]”;第(2)小题的常见错误是把否命题写成“若[x≠1]或[x≠-1],则[x2≠1]”.

含有大前提的命题的否命题及命题的否定

例4  写出下列命题的否命题及命题的否定,并判断其真假.

(1)当[c>0]时,若[a>b],则[ac>bc];

(2)在[△ABC]中,若[A>B],则[sinA>sinB].

解析  (1)否命题:当[c>0]时,若[a≤b],则[ac≤bc].这是真命题.

命题的否定:当[c>0]时,若[a>b],则[ac≤bc].这是假命题.

(2)否命题:在[△ABC]中,若[A≤B],则[sinA≤sinB].这是真命题.

命题的否定:在[△ABC]中,若[A>B],则[sinA≤sinB].这是假命题.

点拨  对于含有大前提的命题,在写其否命题和命题的否定时,应保持大前提不变.

含有“都是”的命题的否命题及命题的否定

例5  写出下列命题的否命题及命题的否定,并判断其真假.

(1)若两个整数[a],[b]都是偶数,则[a+b]是偶数;

(2)若[x2+y2=0],则[x,y]全为0.

解析  (1)否命题:若两个整数[a],[b]不都是偶数,则[a+b]不是偶数.这是假命题.

命题的否定:若两个整数[a],[b]都是偶数,则[a+b]不是偶数.这是假命题.

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