金志浩， 吴旭景， 李志定， 陆景阳， 叶 陈

(1.沈阳化工大学 能源与动力工程学院， 辽宁 沈阳 110142； 2.中国石化集团宁波工程有限公司，浙江 宁波 315103； 3.葫芦岛市特种设备监督检验所， 辽宁 葫芦岛 125001)

转速对偏心裂纹转子时变刚度的影响

金志浩1， 吴旭景1， 李志定2， 陆景阳3， 叶 陈1

(1.沈阳化工大学 能源与动力工程学院， 辽宁 沈阳 110142； 2.中国石化集团宁波工程有限公司，浙江 宁波 315103； 3.葫芦岛市特种设备监督检验所， 辽宁 葫芦岛 125001)

以刚性支撑含横向裂纹的水平Jeffcott转子为研究对象，基于应变能释放率理论和断裂力学线弹性范围内裂纹尖端塑性区K因子修正理论，采用应力强度因子为零法模拟裂纹的呼吸效应，研究不同转速时横向偏心裂纹转子在稳定旋转一周内裂纹开闭规律和刚度时变特性.结果表明：转速较高时，裂纹前缘塑性区的存在使裂纹轴纵向刚度在裂纹全开时有小幅度的下降，水平向刚度和耦合向刚度无明显差异；裂纹转轴时变刚度整体波动范围随转速变化，使转子产生复杂的动力学特性.

裂纹前缘塑性区；转速；呼吸效应；时变刚度

汽轮机、压缩机等旋转机械系统中的转轴是转子系统中核心部件，而转轴疲劳裂纹是转轴的重大隐患.裂纹的存在使转子刚度产生时变性，从而引发转子复杂的非线性动力学特性.因此转子时变刚度一直是人们研究的课题.为了描述裂纹的开闭规律，高建民、朱晓梅等[1]在前人研究基础上提出使用开关函数模拟裂纹呼吸效应的高朱模型.王宗勇等[2]给出基于中性轴始终的穿过截面形心的解析解.文献[3-4]中提出用中性轴法模拟裂纹的呼吸效应.但这些方法都未考虑裂纹尖端应力集中的影响.Dimarogonas等[5]提出采用断裂力学理论计算裂纹轴的附加柔度.Darpe等[6]利用应力强度因子为零法模拟裂纹的呼吸效应并对比分析直斜裂纹转子的动力学特性.林言丽[7]和刘长利[8]等对比研究直斜裂纹转子在一个稳态旋转周期内裂纹的开闭规律和转轴刚度特性，但没有考虑裂纹尖端塑性区的存在对裂纹刚度的影响.本文基于Dimarogonas等提出的应变能释放理论推导裂纹轴刚度，应用应力强度因子为零方法和断裂力学塑性区修正理论模拟裂纹的呼吸效应，详细研究横向裂纹转子存在偏心、不同转速时稳定旋转一周内裂纹的开闭规律和转轴刚度时变规律.

1 裂纹模型及刚度的推导

裂纹模型如图1所示，裂纹轴上存在两个弯矩和两个载荷.根据Dimarogonas方法，得到附加柔度与能量释放率、能量释放率和应力强度因子之间关系，由单边裂纹薄板在不同载荷作用下的应力强度因子计算公式求得横向裂纹前缘每点的应力强度因子.但是由于裂纹前缘塑性区的存在，裂纹轴不能像玻璃体、弹性体这样的理想轴，因此需要对K因子做小范围屈服条件下裂纹前缘的塑性区修正[9]，修正后：

(1)

(2)

(3)

(4)

无裂纹轴的应变能为：

(5)

式中：剪切力Fτ1=q1，Fτ2=q2;弯矩M1=q1x-q3，M2=q2x+q4;E为材料的弹性模量;G为切变模量;A为圆截面面积;αs为剪切系数;Ⅰ为转轴的惯性矩;l为转轴长度.则无裂纹轴的柔度系数为：

(6)

由裂纹扩展引起的应变能为：

由式(7)得到附加柔度系数为：

(8)

由式(6)和式(9)，得到裂纹轴的总柔度系数为：

c=c0+Δc,

(9)

因此裂纹轴的刚度矩阵为：

kcrack=[c]-1=[c0+Δc]-1

(10)

图1 裂纹转轴及截面示意图

2 转轴裂纹的呼吸效应

以无裂纹转子静变形为初始条件，即在重力作用下裂纹此时处于全闭状态,采用Jeffcott转子模型进行裂纹开闭模拟，弓形裂纹紧贴圆盘.转轴长度为360 mm，转轴半径为10 mm，弹性模量E=206 GPa，泊松比为0.3，转轴的屈服应力为355 MPa，圆盘的质量为4.42 kg，偏心量e=1.65×10-4m，偏心与裂纹方向的夹角为π.

根据应力强度因子为零法的思想，转轴裂纹截面的开闭由裂纹前缘上总的第一应力强度因子KⅠ的正负来决定.如图2所示，在正负之间作一条垂直于裂纹前缘的KⅠ=0的垂线来划分开闭面积.即：

KⅠ=KⅠ1+KⅠ2=0.

(11)

图2 裂纹开闭线位置应力分布

图3为转轴截面旋转一周期的裂纹面开闭规律变化.由图3可知：随着转轴的转动，裂纹面由闭到开的时刻(b图的B点)必定满足KⅠ>0，由开到闭的时刻(f图的B点)满足KⅠ<0.

图3 裂纹横截面的开闭变化

3 偏心不变时转速对转轴呼吸效应的影响

图4给出裂纹转轴在不同转速下从(a)到(b)全闭角度随裂纹深度的变化.随着裂纹深度的加深，转轴截面由(a)状态到(b)状态的全闭转角范围减小；转速越快，全闭角度范围越大.

图4 不同转速下的全闭角度随裂纹深度的变化

图5以最大裂纹深度a=4 mm为例，裂纹横截面在不同的转速下稳定旋转一周内开闭转角与动坐标系中η轴上裂纹前缘KⅠ=0处点的对应关系.由图5可知：裂纹的闭开过程与开闭过程具有对称性，转速较低时裂纹全闭状态的转角与全开的转角大致相等，随着转速的增加，全闭状态的转角增加而全开状态的转角减小.

图5 裂纹开闭角度与η的对应关系

4 裂纹转轴的时变刚度研究

假设裂纹轴上的弯矩只由剪力作用引起，即图1(a)中M1=q1x,M2=q2x.采用三点高斯-勒让德法和Simpson法分析研究存在偏心时裂纹转轴在稳定旋转一周内塑性区修正后与无修正时三个方向刚度变化对比以及转速对时变刚度的影响.

4.1 定转速下塑性区修正后与无修正时刚度变化对比

图6给出以最大裂纹深度a=4 mm，转速f=36 Hz时为例，裂纹转轴稳定转动一周内无修正与修正后的刚度差异性变化.

图6 修正前与修正后三向刚度对比

由图6可知：两个方向的主刚度和耦合刚度修正后与无修正时变化规律趋势相同，修正后x方向刚度比无修正在最小处时有小幅下降，而y方向刚度及耦合方向刚度无明显差异.

4.2 转速对刚度变化影响

图7为最大裂纹深度a=4 mm时在不同转速下裂纹前缘塑性区修正后的裂纹转轴在稳定旋转一周内刚度随旋转角度的变化.由图7可知：随着转速频率的增加，在[0,2π]区间内三向(x方向、y方向、耦合方向)刚度整体波动的转角范围缩小，主刚度(x方向、y方向) 曲线存在对称性，耦合方向刚度曲线呈反对称性；在裂纹全开处，x方向刚度变小，y方向刚度变大；耦合刚度在[0,π]区间内波动延后，在[π，2π]区间内波动提前.

图7 不同转速下的三向刚度对比图

5 结 论

(1) 同等转速下裂纹截面全闭转角随裂纹深度增加而减小；同一裂纹深度下裂纹截面全闭转角随转速增加而增大,全开转角在减小.

(2) 转轴转速较高时，裂纹轴在裂纹全开时的纵向刚度对裂纹前缘塑性区修正后比无修正时偏小，水平方向刚度及耦合方向刚度几乎无改变.

(3) 裂纹轴在不同转速下旋转一周内,同一深度下三向刚度整体波动的转角范围随着转速的增加而缩小；裂纹全开时纵向刚度减小，水平刚度增加，一定转角范围内的耦合刚度幅值在减小.

[1] 高建民,朱晓梅.转轴上裂纹开闭模型的研究[J].应用力学学报,1992,9(1):108-112.

[2] 王宗勇,林伟,闻邦椿.开闭裂纹转轴刚度的解析研究[J].振动与冲击,2010,29(9):69-72.

[3] 林言丽,褚福磊.裂纹转子的刚度模型[J].机械工程学报,2008,44(1):114-120.

[4] 杨丹,甘春标，杨世锡，等.含横向裂纹Jeffcott转子刚度及动力学特性研究[J].振动与冲击,2012,31(15):121-126.

[5] Dimarogonas A D,Papadopoulos C A.Vibration of Cracked Shafts in Bending[J].Journal of Sound and Vibration,1983,91(4):583-593.

[6] Darpe A K,Gupta K,Chawla A.Coupled Bending,Longitudinal and Torsional Vibrations of a Cracked Rotor[J].Journal of Sound and Vibration,2004,269(1/2):33-60.

[7] 林言丽.斜裂纹转子系统的动力学特性[D].北京：清华大学，2009:24-30.

[8] 刘长利,李诚,周邵萍，等.直斜裂纹转轴的时变刚度特性研究[J].振动与冲击,2011,30(3):165-170.

[9] 作者不详.复合型片状裂纹前缘的塑性区及其对应力强度因子的修正[J].吉林工学院学报，1984(2):46-59.

[10]中国航空研究院.应力强度因子手册：增订版[M].北京:科学出版社，1993:246-269.

Influence of Rotating Speed on Time-varying Stiffness of Eccentric Rotating Shaft with Transverse Crack

JIN Zhi-hao1, WU Xu-jing1, LI Zhi-ding2, LU Jing-yang3, YE Chen1

(1.Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 110142, China;2.Sinopec Ningbo Engineering Company, Ningbo 315103, China;3.Huludao Institute of Special Equipment Supervision and Inspection, Huludao 125001, China)

The studying object was established by a horizontal cracked rotor on rigid supports.Then，the breathing behavior of the crack was presented by considering the opening and closing of the crack and stress intensity factor was used based on the approach of strain energy release rate and the theory of crack tip plastic zoneKfactor within the scope of linear elastic fracture mechanics.The open-close regularity of the transverse crack and the time-varying stiffness of the cracked rotor with mass eccentricity under different rotational speeds were studied in a steady rotational circle.The research indicated that the existence of crack front plastic zone resulted in a slight decrease of the longitudinal stiffness of cracked rotor when the crack was completely opening and the rotational speed was in a fast state,while the horizontal stiffness and the coupling stiffness had no obvious differences.The monolithic scope of the time-varying stiffness of the cracked rotor changed with the rotational speed,leading to the rotor dynamic performance become complicated.

crack front plastic zone; rotational speed; breathing behavior; time-varying stiffness

2013-12-12

国家重点基础研究计划(973计划:2011CB706504); 辽宁省高等学校优秀科技人才支持计划(LR2014010)

金志浩(1964-)，男，浙江东阳人，教授，博士，主要从事动力机械及机械设计等方面的研究.

2095-2198(2015)01-0032-05

10.3969/j.issn.2095-2198.2015.01.008

TB122

A