石立叶, 邱双月， 刘丽英

(邯郸学院 数理学院, 河北 邯郸 056005)



石立叶*, 邱双月， 刘丽英

(邯郸学院 数理学院, 河北 邯郸 056005)

设R是有限链环,R上长度为n的线性码C等同于模Rn的子模,循环码等同于R[x]/(xn-1)的理想.定义C[γi]={x|x∈C,γix=0},那么C[γi]是Rn的子模,且C[γi]/C[γi-1]是自由模.进一步当C是循环码时,C[γi]/C[γi-1]同构于K[x]/(xn-1)的某个理想.由此出发,给出了有限链环上线性码的结构和循环码的结构,证明并拓广了Norton的有关结论.

有限链环; 线性码; 循环码

1994年,Kumar等人在文献[1]中指出,一些重要的二进制非线性码,如Preparata码,Kedock码,Goethals-Delsarte码等可以看做环Z4上的线性码在Gray映射下对应的像.因此,环上码的研究成为编码理论工作者研究的一个热点.环Z4上的线性码和循环码已被广泛研究并得到了丰富的结果[2-6].Galderbank和Sloane给出了Zpk环上循环码的结构[5].Blackford 和 Ray-Chaudhuri在文献[6]将这一结果推广到Galois环上.Norton和Salagean给出了有限链环上线性码和循环码的结构[7].Douyherty和刘宏伟应用幂等元研究有限链环的理想,从而得到有限链环上的循环码的构造[8].本文进一步研究了有限链环上的线性码和循环码的性质,并给出了它们的结构.

1 有限链环上的线性码

定义1[1]一个含单位元1的有限交换环称为有限链环,如果1≠0并且它的全部理想能按照包含关系排成一条链.

通过定义发现有限链环R的所有理想都是主理想,因为若R的理想I不是主理想,则I至少有两个生成元,不妨设I=〈a1,a2,…,as〉,则〈a1〉⊄〈a2〉,〈a2〉⊄〈a1〉,与R是有限链环矛盾.这也表示,有限链环极大理想是唯一的.

设R是有限链环,Γ是其极大理想,则Γ是主理想.设γ为Γ的生成元,即Γ=〈γ〉.那么,可得……