康 殿 统

(河西学院 数学与统计学院, 甘肃 张掖 734000)



康 殿 统*

(河西学院 数学与统计学院, 甘肃 张掖 734000)

给出了负二项分布的两个不同定义与一个结构性定理.研究了两类负二项随机变量的无穷可分性.给出了求两类负二项随机变量的期望、方差与矩母函数的几种简捷方法. 另外给出了涉及负二项随机变量的两个计算实例.

负二项分布; 伽玛分布; 矩母函数; 泊松过程; 混合; 无穷可分性; 因子分解法

1 预备知识

在应用概率论与经济学中, 负二项分布(Negative Binomial Distribution)以其重要而有趣的性质居于一个重要的位置. 关于负二项分布的研究,国内外已有大量的文献,有兴趣的读者可参阅文献[1-2].本文对负二项分布的结构进行研究,同时也将展示几个求负二项分布的期望、方差及矩母函数的简捷方法.

定义1设X为一非负离散随机变量. 如果X具有概率质量函数

则称X服从参数为n与p的二项分布,记做X～B(n, p),这里n为正整数,0

定义2称函数MX(t)=E(etX),t≥0为非负随机变量X的矩母函数.

注1若随机变量X与Y独立.则有MX+Y(t)=MX(t)MY(t),t≥0.

定义3设X为一非负离散随机变量. 如果X具有概率质量函数

则称X服从参数为λ的泊松分布,记做X～P(λ),这里λ>0为实数.

泊松随机变量的矩母函数为:

MX(t)=eλ(et-1),t≥0.

(1)

定义4如果非负连续随机变量X具有概率密度函数

(2)

则称X服从参数为α与λ的伽玛分布,记作X～G(α,λ),其中,α>0为形状参数,λ>0为尺度参数.Γ(α)为Gamma函数.

容易算出,伽玛随机变量的矩母函数为:

(3)

定义5[1]设Y为一非负离散随机变量. 如果Y具有概率质量函数

则称Y服从参数为r与p的负二项分布,记做……