薛 琼, 肖小峰, 陈欢欢

(1.武汉理工大学 理学院, 武汉 430070;2.武汉纺织大学 机械工程与自动化学院, 武汉 430073)



薛 琼1*, 肖小峰2, 陈欢欢1

(1.武汉理工大学 理学院, 武汉 430070;2.武汉纺织大学 机械工程与自动化学院, 武汉 430073)

研究了一类具有非负Ricci曲率和大体积增长的完备非紧黎曼流形.证明了在共轭半径有正下界以及流形M上测地球与欧氏空间上单位球的体积增长相差不大的条件下,流形M微分同胚于Rn.该文将体积增长条件改进,推广了M.Do.Carmo和C.Xia的结果.

Ricci曲率; 大体积增长; 共轭半径; Excess函数

1 预备知识及引理

首先给出关于边的Ricci曲率的Toponogov型比较定理,这是临界点理论的基础.

应用Toponogov型比较定理, Shen在文献[10]中得到了推广的Excess估计,给出了一个上界.

定义1对任意p,q∈M,p,q的Excess函数定义为:

epq(x)=d(x,p)+d(x,q)-d(p,q),

其中,d(p,q)表示从p到q的距离.

若对任意的(k+1)维子空间V⊂TpM中的一组标准正交基{e1,…,ek+1},曲率张量R(x,y)z满足

其中,h=d(x,γ),s=min(d(p,x),d(q,x)).

记∑为p点处切空间TpM上单位球SpM的一个闭子集. 令

1999年, Xia结合推广的Bishop-Gromov体积比较定理,得到如下体积估计和函数估计.

引理3[6]设(M,g)是一个完备非紧的n(n≥2)维Riemann流形,满足RicM≥0,αM>0,则

引理4[7]设(M,g)是一个完备非紧的n(n≥2)维Riemann流形,满足RicM≥0,αM>0,则对任意的x∈∂B(p,r)和r>0,有

2 主要结果及其证明

证明因为critp≥r0,故B(p,r0)内没有异于p点的临界点.选取任意的x满足r=d(p,x)≥r0,只需要证明点x不是p点的临界点即可.

(1)

由于d(p*,q*)≤2ρ,可得到

(2)

结合(1)、(2)及定义1,有

(3)

再由引理2,注意min(d(p,x),d(q,x))≥r,可得

这时取σ1,σ2分别为从点x到p,q的极小测地线,由p*,q*的定义及三角不等式,得到

(4)

结合定理1,可证得下面的定理2,它明显优于Carmo和Xia在文献[5]中的结果.

(5)

则M微分同胚于Rn.

证明由定理1,取δ=δ(n,i0,r0,k)>0,并令

这时取定理2……