杨 芬, 胡 松

(武汉科技大学 理学院, 武汉 430065)



杨 芬*, 胡 松

(武汉科技大学 理学院, 武汉 430065)

讨论了非齐次椭圆偏微分方程

非齐次椭圆问题; 正解; 估计; 必要条件

本文讨论了非齐次椭圆方程

(1)

为了叙述方便,首先引入以下记号

λ1和λR分别是

和

的第一特征值且λR=λ1/R2.

关于非齐次偏微分方程,在文献[1-2]中,作者先后讨论了

(2)

本文讨论方程(1)正解存在的必要条件,正解不存在的充分条件,得到的主要结果如下:

定理1如果n/(n-2)≥q>1, 方程(1)没有解.

注1由定理1和定理2,若方程(1)有解,则较小的指数q>n/(n-2)且非齐次项f在无穷远处的衰减指数不大于-(2+mq). 即指数mq在存在性和非存在性中起主要作用.

1 辅助性结果

引理1假设Ω是Rn(n≥2)中的有界光滑区域,则不存在函数u∈C2(Ω)∩C1(Ω)满足以下不等式

这里,λ是-Δ算子在Ω上的第一特征值,其中,Dirichlet 边界条件为0.

注2引理1的证明见文献[2]中引理1.

定义1如果u∈C(Rn),

称为u的球面平均,其中,ωn是Rn中单位球的面积,dS是表面测度.

引理2对任意的m∈{mp,mq},方程(1)的任何解都满足下面的不等式

注4由引理1,应用文献[2]中引理2相同的方法可证,故证明省略.

2 必要条件

定理3如果u是方程(1)的解,则下面的等式成立:

证明如果u是方程(1)的解,对方程(1)取球面平均,即有

(3)

对(3)变形,得到

(4)

又

对(4)作从0到r的积分,得到

(5)

再对(5)作从r到R的积分,0

(6)

由Fubini定理,(6)可以变为:

因此

令r→∞,由单调收敛定理得到

(7)

而(7)式又等价于下面的等式

证毕.

由定理3和上面的引理,可以得到下面的较优估计.

定理4对任意m∈{mp,mq}和R>0,方程(1)的解满足下面的不等式估计:

(8)

(9)

而且

证明将引理2中的结果

应用于定理3中,即可得不……