吴群妹

(无锡科技职业学院，江苏无锡214000)

一种基于泛函极值的等周约束问题的求解方法

吴群妹

(无锡科技职业学院，江苏无锡214000)

等周约束问题实质上是一个带积分方程约束的泛函极值问题。利用泛函极值的基本定理求解出等周约束问题，方便快捷。

泛函变分;泛函极值;等周问题

引言

等周问题最早是由著名数学家Joham Beynoulli在1697年提出的,即在具有定长的一切平面单纯闭曲线中,圆是最大面积的曲线[1]。此后,很多学者都对这个问题展开了讨论与研究[2-3]，有《平面等周问题的两个推广形式》[4]、《含约束条件的等周问题的研究》等等。变分法是17世纪末开始发展起来的一个数学分支,是为了研究泛函的极值问题而产生的。而“等周约束问题”实质就是一个带积分方程约束的泛函极值问题。本文根据变分法的基本定理,将带积分方程约束的极值问题转化为带微分方程的泛函极值问题对“等周约束问题”的建立了模型,并且求出其解。

1 等周问题

等周问题的描述如下:在平面上长度一定的所有封闭光滑曲线中找一条曲线,使其所围成的面积最大。下面先对“等周问题”建立数学模型。

于是等周问题归结为在封闭光滑曲线的集合

2 变分法基本原理

带积分方程约束的泛函极值问题具有以下定理:

定理1[5]设是具有一阶连续导数的维向量函数，是标量函数,且相对于其所有的自变量都具有连续的一阶和二阶偏导数，是所有的自变量都具有连续一阶和二阶偏导数的维向量函数。……