周桂如

（福建船政交通职业学院基础教研室，福建福州350007）

一类特殊三角函数的最大值解

周桂如

（福建船政交通职业学院基础教研室，福建福州350007）

首先在△ABC中，给出特定系数的最大值问题，分别利用逐步分析法、拉格朗日乘数法和不等式三种方法获得相同的结果，然后利用拉格朗日乘数法推导出任意系数三角函数（其中）的最大值求解方法，最后推导三角函数（其中）的极值。

拉格朗日乘数法；逐步分析法；极值

引言

最值和不等式，是数学组成的重要内容和部分，不等式揭示变量之间的制约关系，而最值问题与它紧密相关。三角函数的最值问题是函数最值问题的一个重要部分。解答三角函数的最值问题，除了要用到代数中求最值问题的定理和方法外，通常还要借助三角函数的一些特性来求解。

引理1[1]：，当其中时取得最大值。

引理2[2]：在任意△ABC中有

引理3[3]：对及及任意△ABC有当且仅当且时等号成立。

引理4[4]：设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，且点是函数的驻点，即，记：则：

1 主要结果

1.1 逐步分析法[5]

三角形三个角A、B、C的取值范围为

1.2 用拉格朗日乘数法

1.3 不等式法

2 一般形式的三角函数极值

2.1 对于△ABC，（其中）的极值

根据拉格朗日乘数法

2.2 对于△ABC，（其中的极值

根据拉格朗日乘数法

3 结语

三角函数最值问题题型丰富多彩，其解法也层出不穷。例如利用三角函数的有界性、换元法、判别式法、利用函数的单调性、对含参数的三角函数最值的分类讨论法、利用基本不等式法（如：和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式）等都是解三角函数最值的常用手段,解决这类问题关键是在于对三角函数的灵活应用，抓住关键和本质所在。……