随 磊， 李瑞琴， 李晓润， 王明亚

（中北大学机械与动力工程学院，山西 太原 030051）

概述

球面并联机构是一种特殊的空间并联机构，其结构一般是由固定平台、支链及动平台构成。它的运动特点是动平台可以绕着机构中心自由转动，它有三个转动的自由度，可以实现在三维空间中的任意旋转。基于其比较特殊的运动规律，可以用在机器人的腕关节［1］、腰关节［2］、肩关节［3］等，也可以用在卫星天线的空间方位跟踪系统、机床加工等方面。

由低副（即转动副R和移动副P）链接而构成的球面并联机构，目前研究较多的是3－RRR球面并联机构，而且对其应用也较为广泛和成熟，如电子灵巧眼［4］和数控回转台［5］。由于复合运动副（圆柱副C，虎克较U等）都可以看成是转动副和移动副复合而成，因此本文只研究由低副链接构成的球面机构的构型，其他类型的球面并联机构都可以在此基础上进行演化拓展。

1 基于螺旋理论的构型综合

本文研究的是对称的三支链球面并联机构，在进行构型分析时，选取其中的一条支链进行分析即可。由转动副R、移动副P根据不同的排列方式可以组成8种不同空间排列形式［6］，即 RRR、PPR、RPP、PRP、RPR、RRP、PRR、PPP，如图1所示。

图1 转动副和移动副的各种排列组合方式

图1中的几种组合中又因为转动副轴线以及移动副轴线的平行、垂直或者成一定的角度关系，可以得到多种不同的机构构型。

下面利用雅可比矩阵的螺旋形式来进行三支链的球面并联机构的型综合。空间并联机构动平台上目标点的速度可以表示为：

由螺旋理论，球面并联机构动平台的瞬时运动可表示为：

式中：q·ji表示的是i支链j关节强度；＄ji表示连接在i支链j关节上的单元螺杆；Ci表示运动副（本文中运动副均为低副，自由度为1）数目。

当每条运动链的驱动副锁闭时，第i条运动链的自由度减少为Ci－1，这样运动链的反螺旋包括6－Ci个约束和6－Ci＋1个反螺旋。这里假定6－Ci＋1个反螺旋是驱动力矩，令第i条运动链的第一个为驱动副，将这个驱动表示为＄Ta，i，对方程（2）两边求反螺旋，得：

令ki＝1／＄Ta，i＄1i，则第i条支链驱动副的速度可表示为：

公式（4）又可表示为：

Ja是并联机构的驱动雅可比矩阵，其行向量是驱动力＄a，i与常数ki的乘积。

对于球面并联机构，动平台上的每个自由度都应该对应一个电机驱动，故机构的运动方程可以表示为：

式中：ti表示机构的输出；qi表示第i条支链驱动副的强度。

球面并联机构雅可比矩阵的标准形式可以表示为：

由公式（5）和（7）可得：

由公式（8）可以看出机构的各个驱动副互相垂直。本文中机构的驱动副是转动副或移动副，故驱动是沿转动副的轴线而力是沿移动副的轴线，这样，驱动和驱动副的轴线就是一致的，并联机构动平台的运动是机构所有运动链运动的交集。故满足三支链球面并联机构的条件为：球面并联机构每条运动链应该有三个旋转自由度；运动链的驱动副是互相垂直的。

2 2R1P型机构构型分析及自由度验证

仅考虑由2个转动副、1个移动副组成的三支链球面并联机构即2R1P型的球面并联机构，那么对于每一条支链，都包含两个转动副和一个移动副，根据其转动副轴线互相平行和转动副轴线互相垂直两种情况，共得到9种构型，如图2所示。

图2 2R1P型机构的构型

根据以上9种构型，在SolidWorks中建模分别得到如图3所示的RPR、PRR、RPR三种球面并联机构的模型，并且通过计算机构的自由度的计算来验证可行性。

图3 2R1P型球面并联机构模型

在三维空间中，假设有n个不受约束的刚体，若以其中一个刚体为参照物，则其他任意一个刚体相对参照物都有6个自由度，n个刚体就有6（n－1）个自由度，如果所有的刚体间用k个具有fi自由度的运动副连接起来，则机构的自由度为：

这就是 Kutzbach Grubler公式［7］。式 中：F 为 机构的自由度；n为机构的构件数；K为运动副数；fi为第i个运动副的相对自由度。

随着近年来机构学的研究发展，Hunt提出了更具有普遍性的计算空间机构自由度的公式：

式中：d＝6－λ，d为机构的阶；λ为机构的公共约束数。

对一般的没有公共约束的空间机构，λ＝0，d＝6；但是对平面机构和球面机构都有三个公共约束［8］，λ＝3，因此公式（10）中d＝3。本文所述的3支链2R1P球面并联机构构件数为8，3个移动副和6个转动副，移动副的相对自由度为1，转动副的相对自由度为1，代入公式（10）得机构的自由度为3。

3 结语

本文主要利用螺旋理论的知识对各支链全是由平面低副连接的三自由度球面并联机构进行构型分析，得出通过转动副和移动副不同的组合的8种形式，并通过雅克比矩阵得出构成三支链球面并联机构的拓扑条件：球面并联机构各支链都应有三个旋转自由度；各支链的驱动副相互垂直。之后又通过前面得出的结论对2R1P型的球面并联机构根据转动副轴线的位置关系得出9种具体的构型，并从中选取3种构型利用三维软件建造比较实用的模型，通过对自由度的计算验证模型的可行性和正确性。通过本文的研究可对球面并联机构的应用提供选型基础和对球面并联机构的其他结构创新提供参考。

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［3］ 战丽娜，金振林.一种基于球面并联机构的肩关节的分析与设计［J］.燕山大学学报，2006，30（1）：14－17.

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［5］ 曾宪菁，黄田，曾子平.3－RRR型数控回转台的精度分析［J］.机械工程学报，2001，37（11）：42－46.

［6］ Feng Gao，Jialun Yang，Qiaode Jeffrey Ge.Type synthesis of parallel mechanisms having the second class GF sets and two dimensional rotations［J］.Journal of Mechanisms and Robotics，2011，3（1）：1－8.

［7］ 于靖军，刘辛军，丁希仑，等.机器人机构学的数学基础［M］.北京：机械工业出版社2008：202－217.

［8］ 黄真，赵永生，赵铁石.高等空间机构学［M］.北京：高等教育出版社，2006：119－121.