北京市通州区张家湾中学 田 雪

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学（选修2-1）》（人教A版）第二章第二节第一课（2.2.1）《椭圆及其标准方程》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《椭圆及其标准方程》划分为两节课（探究椭圆定义及标准方程，椭圆定义及标准方程的应用），这是第一节课“探究椭圆定义及标准方程”。圆锥曲线是一个重要的几何模型，在科研、生产以及人类生活中都有广泛的应用。对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数形结合的重要思想。另外，学生用坐标法已经研究了直线与圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，为学习双曲线、抛物线内容提供了基本模式和理论基础。

二、学生情况分析

在学习本节内容之前，学生已经学习了圆的方程和曲线与方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这位进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时给与点拨指导。

三、教学目标

一是通过探究活动理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式，会根据条件求椭圆的椭圆方程。

二是通过对椭圆的认识及其方程的推导，培养学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力，加强用坐标法解决圆锥曲线问题的能力。

三是鼓励学生大胆猜想、论证、合作交流、激发学生的学习热情，使他们获得成功的体验，培养学生严密的逻辑思维以及严谨的数学语言概括能力。

四、教学过程

（一）创设情景、提出问题

师：观察图片中的物体，你会想到什么形状呢？

学生回答圆、椭圆、双曲线、抛物线。

师：那你能准确的画出这些图形吗？

学情预设：学生能画出圆，也可能会说都能画出来师：请注意画出的图形要准确。学生回答圆，平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

设计意图：用圆来对比引导学生画椭圆，体现数学的严谨性，激发学生学习新知的兴趣和欲望。

师：平面内，到两个定点的距离之和等于定长的点的集合会是什么轨迹？

学情预设：学生可能会猜椭圆、双曲线、抛物线等，教师可以引导学生大胆猜测，然后再实际验证

（二）合作交流、探究新知

1.椭圆定义

探究：取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的集合条件吗？

（1）分组活动，合作探究学习

师：好，下面我们就开始动手画图。

①让学生分为8组（4人），同桌合作画图形，同组对比交流；

②每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。

引导学生把细绳的两端拉开一段距离，观察画出的图形，体会在移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数。

学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导。

设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解。

（2）交流、总结

师：下面我们进行成果展示。

教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比结果的不同。

师：我们都画出了什么图形呢？

学情预设：①轨迹为椭圆，②轨迹为线段

设计意图：对比发现问题、进而解决问题，从而归纳出椭圆的定义

师：我们画出的这两个图形都满足到两个定点的距离之和等于常数，但是画出的图形却不相同，问题出现在哪里呢？

师：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。

2．椭圆的标准方程

(1)提出问题

如何求曲线的方程；

设计意图：让学生在研究研究曲线的方程是有步骤可以遵循。

(2)探究椭圆的方程

类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程，我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立它的方程。

设椭圆的焦距为2c(c〉0)，M与F1，F2距离之和等于2a(a〉0)。

(3)交流、总结

师：下面我们进行成果展示。

教师在巡视过程中应关注学生的推导方程情况，此时可选一些有代表性的学生上台展示推导成果，并对比结果的不同。

学情预设：①以经过椭圆的两个焦点F1，F2所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy；

②以经过椭圆的两个焦点F1，F2所在直线为y轴，线段的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系xOy；

③以焦点所在的直线建立x轴或者y轴，并以其中一个焦点建立原点。

设计意图：①椭圆的标准方程有两种：焦点在x上、焦点在y上，通过这个活动，让学生体会两种结果只是建系方式的不同，本质是一样的，知道求曲线的方程选取适当的建系方式就可以，不是固定的，教学生解题要灵活，要善于分析问题，一题多解。

②让学生进行研究成果展示，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；

③推导椭圆的标准方程是本课的一个难点，让学生在推导中自己发现问题、解决问题，使该难点的突破显得自然；

④对比建系方式不同，解题难易程度不同，教学生合理选择解题方法，另外，引导学生体会椭圆的对称美。

五、教学反思

一是本节课让学生大胆地去探究椭圆及其标准方程，通过观察实物、猜想、动手实践、多媒体验证，自己总结和完善椭圆定义的过程，符合从感性上升为理性的认识规律。更重要的是让学生体会到对圆锥曲线的研究方法。

二是教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出椭圆的形成过程，让学生直观观察与两个定点F1，F2的距离之和2a与的大小对椭圆的形成的影响。

三是在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，比如类比，数形结合等，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。