杨旭，张皎，刘源翔

(北京理工大学 宇航学院，北京 100081)

动能拦截器(Kinetic Kill Vehicle，KKV)作为一种大气层外高速飞行器，利用高速飞行产生的巨大动能，通过直接碰撞摧毁来袭目标.与传统大气层内制导武器相比，动能拦截器采用直接力控制弹体姿态，以实现精准拦截.因此制导律的设计是动能武器实现精确拦截的关键［1］.

关于制导律国内外开展了大量的研究.其中应用最为广泛的是比例导引(proportional navigation)，其控制方式是令导弹加速度指令与弹目相对速度及视线角速率成比例［2］.但当目标做大机动飞行时，比例导引难以保证准确命中目标.文献［3］提出了一种真比例制导率，通过控制导弹垂直于视线方向的加速度大小补偿目标机动，达到了减小脱靶量的效果.谷志军和陈磊［4］针对动能拦截器顺轨拦截问题设计了一种比例导引律降低了导弹的需用过载，但该方法仅适用于导弹速度大于目标速度的情况.

随着控制理论的研究深入，许多学者提出了基于现代控制理论的制导律设计方法.如最优制导 律［5-7］，滑 模 制 导 律［8-11］，backstepping 制 导律［12-13］，动态面制导律［14-15］等.李浩和佘浩平［6］以弹目相对位置及相对速度为约束，设计了一种弹道成型的最优制导律.Indig等［7］利用最优控制理论，提出了一种改进比例制导律.朱战霞等［1］利用终端滑模理论设计了适用于动能拦截器的末段制导律，通过在滑模面的设计中引入非线性函数，使得跟踪误差在有限时间快速收敛到零，但在初始阶段该方法的需用过载偏大.张运喜等［8］提出了一种基于有限时间收敛的滑模变结构制导律，实现了制导系统的视线角速率快速收敛到零，由于该制导律针对的是地面固定目标，故并未考虑目标机动.Rao和 Ghose［10］针对目标机动设计了一种新型滑模变结构制导律，该制导律将目标的加速度及加速度的导数视为未知有界变量，并在控制量设计中对其补偿.但该方法容易令导弹需求的法向过载过大，并产生高频抖振现象.刁兆师和单家元［13］利用backstepping的思想，设计了一种考虑自动驾驶仪动态特性并含有攻击角约束的制导律，但该方法会导致微分膨胀.为解决微分膨胀问题Qu和Zhou［14］考虑导弹自动驾驶仪二阶动态特性，设计了一种基于动态面理论的制导律.

在实际应用中，由于系统的某些状态量及目标某些参数难以测量，故对设计制导律所需要的未知量的估计显得尤为重要.Zarchan［16］和Shima等［17］分别利用卡尔曼滤波(KF)及扩展卡尔曼滤波(EKF)的方法对系统的状态量及目标的参数进行估计.Zhu等［18］利用扩张状态观测器(ESO)对目标的加速度实时估计，并利用滑模控制理论设计了一种变结构制导律.Zhang等［19］利用积分滑模控制方法设计制导律，并将目标的机动视为有界干扰并通过非线性干扰观测器对其实时估计，通过控制视线角速率有限时间趋近于零从而命中目标.

综上所述，在拦截打击目标时，大多是针对导弹速度大小恒定，通过控制弹目视线角速率有限时间收敛至零为目标设计的制导律.而这种方式使导弹以曲线弹道实现对目标的拦截，同时对于动能拦截武器也难以获得最大的碰撞速度.

针对动能拦截器轴向加速度不为零的情况，本文设计了一种基于碰撞航线(collision course)的滑模制导律.该制导律的核心思想，即利用姿态控制发动机瞬间改变弹体姿态，产生用于改变速度方向的需用法向过载，使导弹的速度矢量始终指向预期的碰撞点，直至完成对目标的拦截.在制导律设计过程中，将未知的目标机动视为有界干扰，利用非线性干扰观测器(NDO)对其实时估计，并把估计值用于对目标机动的补偿，实现对目标的精确打击.

1 弹目相对运动模型

目标的拦截问题，通过合理的解耦，可以将三维问题转化为两个相互垂直平面内的二维问题，分别在两平面内独立设计对应的制导律.为研究方便，本文选择在纵向平面场景内研究.图1描述了导弹与目标在笛卡儿惯性坐标系Oxy下的相对运动关系.分别定义导弹M和目标T各参数变量的下标为m和t.

为了简化问题，假设导弹和目标均为质点，忽略导弹和目标所受重力，且导弹的自动驾驶仪及姿态控制系统均具有理想动态特性.在极坐标系下弹目的相对运动学方程为

图1 弹目拦截几何Fig.1 Missile and target engagement geometry

假设导弹可以通过火箭发动机获得沿弹轴方向恒定的加速度，忽略推力偏心.且能够通过推力矢量发动机实时改变弹体姿态即改变弹体的攻角α，从而使沿弹轴的加速度am可以指向需求的方向，则导弹速度的变化率和航迹角变化率满足如下关系:

为方便研究，假定目标运动速度Vt恒定且其加速度at的方向始终垂直于速度的方向，满足如下关系:

2 基于碰撞航线的制导律设计

在本节中，设计一种基于碰撞航线的制导律，使拦截器能够沿平直弹道运动至预期的碰撞点.

当导弹与目标处于碰撞航线上时，同一时间内导弹与目标在垂直于视线方向的运动距离相同，则存在如下关系:

假设导弹加速度am的值恒定，且目标做非机动匀速运动，整理式(8)有

式中:tgo(time-to-go)为从当前时刻至完成拦截所需要的时间.当导弹与目标处于并保持在碰撞三角形航线上运动时，存在如下关系［20］:

对tgo求导有

式中:θmr为导弹保持碰撞航线所需 θm的值;为导弹沿碰撞航线运动的平均速度，其导数为

为实现跟踪误差的收敛，本文利用滑模控制理论来进行制导律的设计.选取滑模面S=x根据滑模运动可达性条件选择如下趋近律:

式中:k＞0，σ ＞0，0＜η ＜1.显然式(15)所描述的趋近律能够使系统的状态量在有限时间内从初值收敛到S的邻域内.

从式(17)可以看到，目标的加速度出现在控制量中.由于实际导弹拦截中，目标的加速度难以直接测量，因此采用NDO对目标的加速度进行估计.

引理1［21］考虑如下单输入单输出(SISO)非线性系统:

式中:ψ为系统的状态量;u∈R为充分光滑的系统输入;g(t)为充分光滑的不确定函数.

定理1［22］考虑上述非线性系统(18)，假设u和ψ可测，g(t)有界且存在Lipschitz常数L＞0使得，则有如下观测器:

假设参数λi足够大的，并忽略输入噪声，系统的状态量及干扰的估计值将有限时间收敛，即

式(19)中参数λi的选取方法可参考文献［23］，随着λi的增大，观测器的收敛速度加快，但观测误差将增大，同时对噪声更加敏感，降低了观测器的估计性能.因此，需要在仿真和实际应用中合理地选取λi的值.

对式(2)求导得

式中:atλ=atcosθt为目标垂直于视线方向的加速度.设计观测器如下:

文献［23］给出了NDO的稳定性证明.假设Vλ，Vr，r，γm，λ 可测，且目标法向加速度 at有界，则，其中分别为目标加速度及其导数的上界［21］.由定理1可知观测器参数，并通过合理地选择 λ0，λ1，NDO的观测误差e=a^t－at将趋近于零，则z0和z1分别收敛于 Vλ和 －atλ.

目标加速度at的估计值可表示为cosθt.联立式(17)和式(21)，基于碰撞航线的导弹滑模制导律(NDOGC)虚拟控制量为

3 稳定性分析

考虑如下非线性系统［24］:

式中:f:U×R→Rn在U×R连续;U为原点x=0的一个开邻域.

定理2 对于系统(23)，给定任意初始时刻t0的初始状态x(t0)=x0∈U，存在一个依赖于x0的收敛时间T≥0，使系统方程以x0为初始状态的解x(t)有定义，且有

当 t∈［t0，T(x0))，φ(t;t0，x0)∈U{0}，那么系统的平衡点x=0是局部有限时间收敛的，如果U=Rn，则平衡点是全局有限时间收敛的.

引理2［24］考虑式(23)所描述的非线性系统，假设V(x)是定义在原点的邻域U⊂R的C1光滑正定函数.存在实数1＞β＞0及ρ＞0，使得)是定义域U⊂R的半负定函数，则存在定义域U0⊂U⊂R，使得定义在U0⊂R上的任意V(x)均能以有限时间收敛至原点.若Tr为V(x)收敛至零的时间，则

式中:x0为原点x=0某一开邻域中的任何一点.如果U0=Rn且V(x)是径向无界的(V(x)→+∞，当，那么系统(23)的原点是全局有限时间收敛的.

定义如下的Lyapunov函数:

由式(26)对时间t求导可得

式中:0＜δ0＜1.函数 V收敛至零的时间满足式(30):

式中:S0为S的初值.

参数k，σ能够保证当滑模面S较大时，系统状态量能以较大的速度趋近于滑动模态，且随k，σ增大系统有限时间收敛性越好，S的收敛速度越快.但过大的k，σ会导致系统的控制量过大，并产生抖振.通过调整参数η的值，可保证系统状态量远离滑动模态(S较大)时，能以较大的速度趋近于滑动模态，当系统状态量趋近滑动模态(S较小)时，保证较小的控制增益，以降低抖振.

4 仿真结果及分析

导弹在惯性坐标系中的初始位置为xm(0)=50000m，ym(0)=0m，目标的初始位置为xt(0)=yt(0)=0 m.导弹的初始航迹角 γm0∈［90°，160°］，目标的初始航迹角 γt0∈［0°，90°］，导弹的加速度am=20 g.

由于式(22)中的符号函数sgn(S)会导致控制量的抖振，从而导致制导精度下降.选择Sigmod函数代替，表达式为

式中:ε为边界层;参数 a为幅值增益可调节sig(S，a，b)函数的幅值;参数b为指数因子可调节sig(S，a，b)函数的近似线性区间的范围.本文选取的参数分别为 a=2，b=40，ε =0.2.

基于有限时间收敛理论设计的制导律(FTCG)是以零化视线角速率为目标设计的，本文利用FTCG与NDOGC相对比，分析两类制导律的不同.FTCG采用如下形式［9］:

式中:N为大于2的常数;μ＞0;0≤n＜1;f为目标加速的上界.

两种制导律相关参数分别为k=3，σ=5，η=0.5，L=80，λ0=1.5，λ1=1.1，N=10，μ =1.5，n=0.5，f=80.

4.1 拦截非机动目标

选取导弹和目标的初始航向角分别为γm0=160°和γt0=20°，导弹和目标的初始速度分别为Vm0=1 500m/s和 Vt0=3 000 m/s，仿真结果如图2、图3所示.

图2 导弹和非机动目标相对运动轨迹Fig.2 Trajectories of missile and nonmaneuvering target relative motion

图3 导弹和非机动目标的攻角变化Fig.3 Variation of angle of attack for missile and nonmaneuvering target

在NODGC制导律的作用下，导弹命中目标需要9.94 s，脱靶量为0.18m，命中时刻导弹的速度为3431.3m/s，对于FTCG制导律，命中目标需要10.87 s，脱靶量为 0.38m，命中时刻的速度为2942.8m/s.

从仿真结果可以看出，两种制导律都可以有效地命中目标.从图2可以看出，在NDOGC制导律的作用下，导弹的速度方向始终指向碰撞点，运动轨迹近似一条直线.在制导律FTCG的作用下，导弹通过改变航迹角使视线角速率趋近于零，这种方式迫使导弹以曲线运动轨迹命中目标.从图3可以看出，导弹在NDOGC制导律的作用下，消除了初始航向误差后，攻角近似为零，使导弹获得更高的命中速度，这对提高动能拦截器的杀伤效果是非常重要的.对比制导律FTCG，为保持视线角速率趋近于零需要不断地调整导弹的攻角并最终收敛于常值，直至命中目标.这说明导弹的加速度方向与速度方向不重合，难以充分利用导弹的加速度提高自身动能.

4.2 拦截机动目标

选取导弹和目标的初始航向角分别为γm0=160°和γt0=20°，导弹和目标的初始速度分别为Vm0=1 500m/s和Vt0=3 000m/s，目标以加速度at=8 g sin(0.5t)做正弦机动.仿真结果如图4、图5所示.

图4 导弹和机动目标相对运动轨迹Fig.4 Trajectories of missile and maneuvering target relative motion

图5 导弹和机动目标的攻角变化Fig.5 Variation of angle of attack for missile and maneuvering target

在NODGC制导律的作用下，导弹命中目标需要10.28 s，脱靶量为 1.32m，命中时刻导弹的速度为3425.3m/s，对于FTCG制导律，命中目标的时间为12.21 s，脱靶量为 4.06m，命中时刻的速度为 2369.2m/s.

从仿真结果可以看出，在目标做大机动运动时，制导律NDOGC的脱靶量更小，命中时间更短，命中速度更高.如图4可知，相比于制导律FTCG，制导律NDOGC使导弹的运动轨迹更加平直，命中目标耗时更短.其控制量变化如图5，由于NDO对目标加速度的实时估计，并在控制量中对目标加速度变化带来的扰动进行了有效的补偿，降低了导弹需求的法向过载，故制导律NDOGC的攻角变化范围更小，更有利于弹体的飞行稳定.

考虑NDO对目标加速度的观测性能，如图6所示.观测器的估计值a^t可以稳定地跟踪目标加速度的实际值at，说明本文的干扰观测器具有良好的性能，估计误差较小.

图6 目标加速度的估计Fig.6 Estimation of target acceleration

如图7所示，设计的状态反馈控制律能够保证滑模面在有限时间趋近于零，实现基于碰撞航线的拦截策略.

图7 滑模面随时间变化曲线Fig.7 Curve of sliding mode surface changing with time

4.3 可拦截区域分析

可拦截区域是评判制导律的主要指标之一，是在有效拦截目标并满足一定约束条件下的导弹与目标初始航迹角的集合.

本文定义当脱靶量小于5m即认为能够有效拦截目标.选取导弹和目标的初始航向角集合分别为 γm0∈［90°，160°］和 γt0∈［0°，90°］，导弹和目标的初始速度分别为Vm0=1 500m/s和Vt0=3000m/s，目标的最大过载为5g.

图8 FTCG的拦截区域Fig.8 Capture zone of FTCG

图9 NDOGC的拦截区域Fig.9 Capture zone of NDOGC

仿真结果如图8、图9所示.图中MISS表示导弹脱靶，HIT表示导弹命中目标.由结果可以看出，制导律NDOGC的可拦截区域远大于FTCG.NDOGC 仅在 γm0∈［90°，140°］，γt0∈［0°，17°］的小部分区域难以拦截目标，在余下区域均可成功拦截.而 FTCG 在 γt0∈［0°，17°］及 γt0∈［34°，90°］的大部分区域都难以命中目标.故制导律NDOGC可适用的弹目初始航向角范围更广.

4.4 可拦截目标速度范围

对导弹而言，成功拦截目标的速度区间也反应了制导律的适用范围.由于篇幅所限，本文仅以导弹和目标的初始航向角分别为γm0=120°及γt0∈{20°，40°，60°}为例，分析两种制导律的适用范围.导弹的初始速度为Vm0=1 500m/s，目标以加速度at=5g sin(0.5t)做正弦机动.

仿真结果如表1，在导弹初始航迹角、初始速度及加速度恒定的条件下，制导律NDOGC在目标初始航迹角分别为 20°，40°，60°的条件下所拦截目标的速度范围均明显大于制导律FTCG.仿真结果表明，对于高速机动目标拦截，NDOGC更加适用.

表1 两种制导律拦截目标的速度范围Table 1 Velocity range of intercepting target for two guidance law

5 结论

针对动能拦截器在大气层外拦截机动目标且目标加速度不可测等问题，本文提出基于NDO和碰撞航线的新型滑模制导律.并与以零化视线角速率为目标设计的有限时间收敛制导律对比，本文所述制导律能够保证导弹以更短的时间、更小的过载、更大的末端速度实现对目标的拦截.同时，扩展了导弹的可拦截区域及可拦截目标的速度范围，具有较好的工程应用前景.

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