徐兆鹏，朱化凤，刘 鑫，王天阳，刘 佩，李 超

(中国石油大学(华东)理学院，青岛266580)

引 言

随着光学技术的发展，偏振器件在科学研究和实际应用中起着越来越重要的作用。由于冰洲石具有光学性能稳定、透射光谱范围宽(240nm～2800nm)、双折射率大、具有极好的抗光损伤能力等优点［1-3］，因此，当前所用的偏光器件有相当一部分是利用天然冰洲石晶体制作而成。在许多情况下偏振器都是成对使用，一个充当起偏器，一个充当检偏器。理论上，一束线偏振光在通过起偏器后，其光强透射比会随着检偏器(格兰-付科棱镜)的旋转满足马吕斯定律曲线。然而实际研究表明，随着检偏器的旋转，曲线不会完全服从马吕斯定律曲线，而是光强透射比随着入射角、入射波长等的变化，在马吕斯定律曲线的基础上，产生一些上下的周期性波动［4］。这种波动对格兰-付科棱镜表现得尤为明显。这一现象会给实际应用，特别是在一些检偏器需要调整的环境下带来不利影响［5-6］。格兰-付科棱镜是偏振器件的一种，是由两块光轴平行于入射面而垂直于三角平面的两块三角形的冰洲石晶体胶合在一起构成的［7-9］，它在激光技术中被广泛应用［10-12］。

目前来看，偏光棱镜光强透射比波动产生的原因相关方面的研究只有定性的结果和解释［6，9］，提出光强透射比波动与空气隙间光的干涉有关，但理论与实验结果还相差较大。有学者进行了格兰-付科棱镜空气隙厚度的测量，考虑了光在空气隙间的干涉，分析了棱镜对单模高斯光束的影响，认为透射光束随光束在棱镜端面上的入射角变化呈现周期性震荡，且震荡特性与入射光的波长、光强分布特性、棱镜结构角及空气隙的厚度有关［5，13］。

作者利用偏振光实验系统对格兰-付科棱镜的光强透射比进行了实验，并且通过设定棱镜参量利用光的干涉原理对实验过程进行数值模拟，把得到的数值模拟结果和实验结果比较分析，结果二者符合得非常好。

1 格兰-付科棱镜的光学透射特性实验

1．1 实验装置图

如图1所示，一束激光出射后穿过起偏器后变成线偏振光，然后通过固定在高精度步进电机上的检偏器(由格兰-付科棱镜充当)，再用光电探测器收光强信息，用信息控制与处理系统对光强进行处理。为了便于比较，调整初始状态为起偏器与检偏器的偏振方向垂直。这样便可方便地比较透射光强随旋转角的变化关系曲线。

Fig.1 Schematic of optical path

1．2 实验结果

实验表明，对同一格兰-付科棱镜进行多次实验，其光强透射比曲线的形状有多种形式。当所用格兰-付科棱镜的空气隙的厚度约为20μm、入射波长为632.8nm时，图2中给出了一些实验中所得的棱镜在一个旋转周期内的几条典型光强透射比曲线。从这些曲线可以看出，格兰-付科棱镜的光强透射比曲线在马吕斯定律所给出的曲线的基础上出现了一些明显的波动。

Fig.2 Typical transmittance curve with the rotation of prism

2 光强透射比公式

当一束光入射到格兰-付科棱镜的时候，大部分光直接透射，由于棱镜的胶合面光洁度非常高，部分光在空气隙间要发生多光束干涉。

格兰-付科棱镜的结构如图3所示。n2和n′的反方向代表入射光和折射光的波矢方向，n1是入射端面的法线方向，n2是剖面的法线方向。由n1和n2确定的平面为棱镜主截面。n1和n2之间的夹角等于结构角S。中间带点的圆圈代表晶体的光轴。下面提到的轴线指的是从交点O开始、方向向上的射线。

Fig.3 Illustration model for Glan-Foucault prism experiments

为表示检偏器在图1中所示的实验装置中的空间位置，假设检偏器的在步进电机上的旋转轴为n0′，以n1为轴线，俯视逆时针方向从主截面到入射面之间转过的角度为Ψ，为入射光的方位角。入射角j和方位角Ψ的组合被称为空间入射角。旋转轴n0′和出射面的法线n1间的夹角为α;入射光的法线n′和旋转轴n0′间的夹角为 β;平面 n0′-n2绕 n0′逆时针旋转到面n0′-n′所转过的角度为 Φ′，检偏器的旋转角 Φ =Φ′-Φ0，其中Φ0是Φ′的初始值。角度Ψ，α，β，Φ 和Φ0共同决定了随着检偏器转动时的空间入射角。

根据几何关系，随着空间入射角以及转轴方位的不同，光束在空气隙上的入射角就不同。设光束在空气隙上的折射角和入射角分别为i和j，如图4所示。光束在空气隙表面的光强反射比R符合菲涅耳公式s分量的表达式，可表示为:

式中，n为空气折射率，ne为晶体中e光的折射率。

考虑到多光束干涉的影响，当从起偏器出射的线偏振光入射到格兰-付科棱镜，随着检偏器的转动光强透射比可表示为［13］:

Fig.4 Structure of air gap

式中，h为空气隙厚度，λ为入射光波长，I为透射光强，I0为入射光强。

3 数值模拟实验

结合上面的实验参量，格兰-付科棱镜空气隙厚度h=20μm，He-Ne激光器的出射波长为632.8nm，棱镜结构角取S=38.8528°，晶体中 e光主折射率 ne=1.48515。一个棱镜的空气隙、结构角等量是固定不变的，因此通过改变Ψ，α，β，Φ0的值可以得到不同数值模拟曲线。利用MATLAB可以模拟出这些角度取不同值条件下的光强透射比曲线(如图5所示)。

Fig.5 Simulated graph in different initial conditions

图5 中曲线 a、曲线 b、曲线 c分别为当 Ψ =0°，α =0．06°，β =0．76°，Φ0=10°;Ψ =0．5°，α =0．3°，β =1．6°，Φ0=8°;Ψ =0．4°，α =0．4°，β =1°，Φ0=15°时所对应的曲线，它们分别可与图2中的曲线a、曲线b、曲线c 3条线对应。

比较图5和图2可知，数值模拟的结果与实验结果相一致，有所差别的地方主要来源于棱镜经过胶合之后，空气隙的厚度很难与理论设计相一致，会在一定程度上影响干涉的强弱，致使模拟曲线和实验曲线略有差别。图中只是给出了部分理论模拟和实验结果，其它大量的实验曲线都可以找到其对应的理论模拟结果，只是对应的初始角度有所不同。实验中所得曲线的光强透射比值整体上较数值模拟所得值偏小，这是由于实际的实验中除了存在反射损失外，还存在其它形式的光能损失，如散射存在光能量损失等。

4 讨论

从图5与图2的比较结果也可以看出，数值模拟图和实验图在透射比峰值对应转角以及曲线形状等方面还存在一定差异。针对此差异，分析其主要来源是在对实验进行模拟的过程中所取的各个参量不一定跟实验过程中的实际参量完全一致，而且有些参量取值的微小变化都会对曲线有一定的影响。举例说明如下。首先讨论在Ψ，α，β，Φ0的值相同的条件下，改变空气隙厚度h、棱镜结构角S以及入射光波长λ时所得到的图像的形状。为了使模拟结果便于分析，采用控制变量法进行数值模拟，取 Ψ =0°，α=0．06°，β =0．76°，Φ0=10°保持不变，依次改变空气隙厚度 h、棱镜结构角S以及入射光波长λ得到数值模拟图。图5中曲线a为对照组模拟图线，参量为h=20μm，S=38.8528°，λ =632.8nm。曲线 b、曲线 c、曲线 d 为实验组模拟图线，参量分别为h=21μm，S=38.8528°，λ =632.8nm;h=20μm，S=38.8°，λ =632.8nm;h=20μm，S=38.8528°，λ =631nm。

从图6中的曲线a、曲线b、曲线c和曲线d可以看出，在Ψ，α，β，Φ0保持不变的条件下，通过微小改变棱镜空气隙厚度h、棱镜结构角S以及晶体入射光波长λ中的任何一个值都会使曲线的峰值与形状发生一定的变化，这说明微小的角度、厚度、入射波长等的变化都会使实验模拟图像与对照模拟图像有角度上和形状上的不对应。而在实验中，想要得到准确的棱镜空气隙厚度h、棱镜结构角S的值以及单一波长的入射光是不容易的，总会存在一定误差，要模拟出完全相同的曲线非常困难。除此之外，任何其它的角度参量Ψ，α，β，Φ0的微小变化也都会产生曲线的微小平移或形变。因此，在本文中的数值模拟与实验结果的对比中，只考虑曲线的大体形状与峰值个数等主要特征而忽略其诸如峰值对应转角的细节。

Fig.6 Simulated graph of controlled experiment with slight varing of h，S，λ

模拟实验中，同一参量比较大的变化会使曲线产生比较大的形变。例如格兰-付科棱镜空气隙厚度在胶合过程中会与预设的值有差别。根据(1)式和(2)式，h的变化会影响干涉条件，从而影响光强透射比曲线的波动。在实际研究与应用中，一般在胶合过程中，(1)式和(2)式中的空气隙厚度h不能取为0(甚至接近于0)，否则就将产生倏逝波;h也不能太大，否则空气隙的直接透射光束和反射之后透射的光束之间的光程差超出了相干长度，将无法发生干涉，要讨论厚度的影响，可以在15μm～35μm范围内讨论。图7中曲线a、曲线 b、曲线 c为当参量 Ψ =0°，β =0．1°，α =0．4°，Φ0=15°，h 分别为 15μm，25μm，30μm 时根据(2)式所得的数值模拟曲线。

Fig.7 Simulated intensity transmittance curve of the prism with the same initial angle for different thickness of air gap

从图7中可以看出，格兰-付科棱镜在一个旋转周期内，随着空气隙厚度h的增大，光通过棱镜后的光强透射比曲线上会出现数量越来越多的波动。从这个角度出发，可以考虑通过控制格兰-付科棱镜空气隙的厚度的方法来适当减少格兰-付科棱镜光强透射比曲线的波动。

5 曲线上波动的抑制

根据以上棱镜的透射比曲线上的波动的成因，有两种方法可抑制曲线上的波动。

方法一:根据马吕斯定律的修正公式［14］:

式中，ξ为空气隙的胶合误差，x为光斑的某部分在空气隙上相对于中心的坐标位置，d为入射光束的光斑直径，h0为棱镜空气隙厚度。取不同的空气隙的胶合误差进行数值模拟。图8中a，b，c 3条曲线所示分别对应的参量分别为 α =0．06°，β =0．76°，Φ0=10°，ξ=0．1°;α =0．06°，β =0．76°，Φ0=10°，ξ=0．2°，Ψ =0°，α =0．06°，β =0．76，Φ0=10°，ξ=0．3°。图8 中3 条曲线参量与图5中曲线a参量相比，不同之处只有图5中曲线a的空气隙的胶合误差 ξ=0°。

Fig.8 Simulated graph of modified formulas of the Malus law

由图8可见，格兰-付科棱镜的光强透射比曲线波动曲线的波动可以通过在棱镜胶合的过程中给定一个合适的误差得以抑制。

方法二:令图3中入射光的法线n′和旋转轴n0′间的夹角β=0°，可以实现光强透射比曲线上波动的完全抑制。图9中3条曲线为图5中3条曲线在β=0°且其余参量均相同的情况下的数值模拟图，两图中a，b，c 3条曲线依次对应。从图9和图5的比较结果可以看出，令β=0°可以有效抑制格兰-付科棱镜光强透射比曲线上的波动。

Fig.9 Simulated graph when β =0°

6 结论

通过实验测量了格兰-付科棱镜的光强透射比，对可能出现的情况进行了数值模拟，模拟结果与实验结果相一致，证实了格兰-付科棱镜光强透射比曲线上的波动产生的具体原因，即是由于光束的空间入射角的不同致使其在胶合面上的入射角变化，进而引起光束在空气隙间多光束干涉条件的变化所产生的，这为设计出能抑制光强透射比曲线波动的格兰-付科棱镜提供了一种思路。根据透射比曲线上波动的成因，提出了抑制光强透射比波动的方法两种方法，令棱镜的转轴和系统的光轴重合或给棱镜设定一个合适的胶合误差，两种方法均可有效地抑制光强透射比曲线的波动。

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