反对角算子矩阵及其平方的单值延拓性质

崔苗苗，曹小红
（陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710119）

本文主要证明了，复无限维可分Hilbert空间上的反对角算子矩阵及其平方具有单值延拓性质的摄动的等价性.

单值延拓性质；紧摄动；反对角算子矩阵

1预备知识

在本文中，H表示一个复无限维可分Hilbert空间.B（H）表示H上有界线性算子的全体，K（H）表示H上所有紧算子构成的双边理想.对T∈B（H），令N（T）和R（T）分别表示算子T的零空间和值域.称算子T为半Fredholm算子，若R（T）闭且n（T）或n（T∗）有限，其中n（T）=dimN（T），n（T∗）=dimN（T∗）且T∗表示T的共轭算子.此时T的指标记为ind（T）=n（T）-n（T∗）.Wolf谱σSF（T）定义为称ρSF（T）=CσSF（T）为算子T的半Fredholm预解集.记逼近预解集ρa（T）=｛λ∈ρSF（T）：n（T-λI）=0｝，ρSF+（T）=｛λ∈ρSF（T）：n（T-λI）＜∞｝.若T是半Fredholm算子，当-∞＜ind（T）＜+∞，则称T是Fredholm算子；当ind（T）=0时则称T是Weyl算子.算子T的升标asc（T）为满足N（Tn）=N（Tn+1）的最小的非负整数，若这样的整数不存在，则记asc（T）=∞；算子T的降标des（T）为满足R（Tn）=R（Tn+1）的最小的非负整数，同样当这样的整数不存在，则记des（T）=∞.当T为有有限升标和有限降标的Fredholm算子时，称T为Browder算子.本质谱σe（T），Weyl谱σw（T）分别定义为

2单值延拓性质的摄动

在本文中，将单值延拓性质简写为SVEP，T有单值延拓性质记作T∈（SVEP）.算子的单值延拓性质最早是N.Dunford在研究谱算子类的时候提出来的（参见文献［1-3］等），该性质在Fredholm理论和局部谱理论中都有很重要的地位.近年来，许多作者研究了单值延拓性质的摄动［4-5］.事实上很多重要的算子类的单值延拓性质受到了广大学者的关注，例如亚正规算子，可分解的算子［6-8］及加权移位算子［9］等等.与此同时，某些具有特殊性质的算子也满足单质延拓性质.例如，T满足intσp（T）=∅，或满足Bishop's（β）性……