刘 宝 周奇郑

(海军工程大学 武汉 430033)



计算薄板辐射声功率的波叠加原理应用*

刘 宝 周奇郑

(海军工程大学 武汉 430033)

给出了利用基于体积速度匹配的波叠加原理计算薄板辐射声功率的方法。该方法在获得薄板表面振动速度以后,通过线性化的欧拉方程建立虚拟声源强度与单元体积振速的代数方程,求解虚拟声源的强度,获得薄板的辐射声功率。文中以简支矩形有障薄板为例进行了声功率求取,并与解析法获得的结果进行了对比,表明波叠加计算法不需要获得结构的辐射阻就可以使用较少的单元数目获得较高的计算精度,从而提高了计算效率。

波叠加; 虚拟声源; 声辐射; 辐射声功率

Class Number O348.8

1 引言

结构的辐射声功率的确定一直是声学界关注的主要问题,对结构的声优化设计等具有重要意义。通常需要运用数值方法分析辐射体的振动特性,获得逼近真实结构表面的振速,并运用有限元/边界元(FEM/BEM)进行辐射声场的数值计算[1～4],但上述方法都存在不足,如边界元存在着表面奇异积分问题。为了克服上述方法的不足,Koopmann于1989年提出了波叠加原理[5～6],即结构外辐射的声场可以采用结构内虚拟声源的和函数形式表示,并利用此原理求得了结构的辐射声功率。由于声源所在的曲面与结构的表面不重合,从而避免了奇异性积分问题,计算上简单,易于实现。向阳、Koopmann利用波叠加原理获得了刚性球面上的活塞源、脉动球源的表面声压,并进一步讨论了通过实验获得结构表面振速的条件下单元、节点数目以及形状对算法效率与精度的影响[7～8]。本文以四边简支的矩形有障薄板为例,介绍了基于单元体积速度匹配的波叠加原理,并给出了利用波叠加原理计算薄板的平均辐射声功率的方法,讨论了波叠加计算法对于离散单元数目的敏感性。

2 板模型及表面振速

为了说明利用波叠加原理计算薄板辐射声功率的求解过程,本文以四边简支的矩形有障薄板为例进行说明。设板的密度为ρs,它沿x、y轴方向的长度分别为a、b,板的厚度为h,且位于平面z=0上。z≥0的半空间内充满密度为ρf的轻介质,板由于外力的作用振动并向该半空间内辐射声功率。z<0的半空间为真空状态。如图1所示。由于与板接触的介质为轻介质,因此忽略介质对板所产生的声压作用。

图1 薄板坐标示意图

对于一个简支矩形薄板,板的振速可以表示为振动模态的线性叠加:

(1)

上式表示成矩阵形式为

(2)

式中,Amn为相应于振动模态的待定系数。ψmn(x,y)=sin(mπxa)sin(nπy)表示板的(m,n)阶振动模态。

考虑一个点力F作用在板面(x0,y0)处,则由文献[9]可知:

(3)

3 基于体积速度匹配的波叠加计算法

离散薄板的表面S为N个面积为Sμ(1≤μ≤N)的单元,记单元μ的体积振速uμ为单元μ上的法向速度之和,即

(4)

将式(1)代入上式可得

(5)

上式表示成矩阵形式为

u=ΦA

(6)

离散的单元根据其表面振速总可以分为类似活塞振速的声源和零体积振速的声源。如图2、图3所示。

图2 类似活塞的声源部分

图3 零体积振速的声源部分

由于类似活塞振速的声源反映的是振体向远场辐射声功率的能力,而零体积的振速声源反映了近场处动能和势能间相互转化的能力。因此辐射的能量主要来自类似活塞振速的声源部分。由上述分析可知,在不获得板面声压精确值的前提下,如果板面每个划分单元ν上的速度在平均情况下可以得到满足,那么就可能求得辐射声能量的精确值,即辐射声功率。因此我们考虑用板每个单元上的平均速度代替板实际的法向速度,将其作为边界条件,达到准确预测薄板声辐射功率的目的。

基于该思想提出的利用体积速度匹配的波叠加原理采用虚拟声源函数的组合来描述场点r=(x,y,z)处的声压[10]:

(7)

G(r,rs)=eik|r-rs|/|r-rs|

(8)

则可知:

(9)

场点r处声压p(r)与振速v(r)的关系根据线性化的欧拉方程,可得:

(10)

将式(9)关于声压p的虚拟声源函数的组合形式代入上式可得:

(11)

将上式代入式(4),即在板面单元μ上对振速进行积分,可得

(12)

上式写成矩阵形式为

u=Us

(13)

则通过矩阵的逆运算可以获得:

s=U-1u

(14)

将式(6)代入上式,由此可以获得虚拟声源强度矩阵s:

s=U-1ΦA

(15)

求得虚拟声源强度矩阵s以后,即可获得结构的辐射声功率

4 板的平均辐射声功率计算公式

由文献[7]可知,无限大障板上结构的平均声辐射功率计算公式为

(16)

式中,j0(kRμν)=sin(kRμν)/(kRμν)表示0阶球贝塞尔函数,Rμν=|rμ-rν|,表示虚拟声源之间的间距。

上式表示成矩阵形式为

(17)

式中,H表示矩阵的共轭转置。j为N×N阶的矩阵,其相应ji,j=j0(kRij)。

当Rμν=0时,由于声辐射功率为有限值,则j0(kRμν)不能取为无穷大。又由于

(18)

因此当Rμν=0时,取j0(kRμν)=1。由于虚拟声源强度矩阵s可以从式(15)运算获得,将求得的矩阵s代入式(17)中,即可计算出板的平均辐射声功率。

5 波叠加计算法的应用举例

取一个简支矩形有障薄钢板,其长度a为1m,宽度b为0.7m,厚度h为0.003m。几何中心处受到幅值为1N的点力激励,板的密度为ρs=7800kg/m3,泊松比υ=0.3,弹性模量E=2.16×1011N/m2,介质取为空气,密度ρf=1.21kg/m3,声速c=343m/s,模态阻尼系数η=0.01,参考声功率Wf=10-12W。本文着重讨论波叠加计算法在声功率计算应用中离散单元数目对计算精度的影响。

(19)

式中,

α=kasinθcosφ,β=kbsinθsinφ

将薄板的表面离散为三种数目的矩形单元,第一种、第二种、第三种单元的数目分别为5×5(前一个数字表示x方向布置的行数,后一个数字表示y方向布置的行数)、10×10、15×15。

采用上述三种数目的矩形单元用本文介绍的波叠加计算法进行了声功率求取,并将所得结果与解析法获得的结果进行了对比。相对的最大误差在表1中列出。图4～图6分别为第一种、第二种、第三种单元离散情况下基于波叠加原理计算出的平均辐射声功率和解析法获得的平均辐射声功率的对比图。

表2 不同单元数目下最大相对误差比较表

图4 5×5的矩形单元划分波叠加法与解析法对比

图4表明,当频率较低时(ka≤7时),使用三种不同数目的虚拟声源计算结果几乎相同。从表2可以看出,随着频率的增加,相对误差逐渐增大。随着单元数目从5×5增加到10×10,计算产生的相对误差迅速减小,从18.8%减小到7.1%。不过,随着进一步增加单元数目到15×15,相对误差从7.1%减小到5.5%,相对误差的减小速度变慢,波叠加计算法的结果逐渐趋于解析法的结果。图4、图5反映出当采用更多单元时,波叠加计算法得到的辐射声功率可以在相对较高的频率处很好地收敛于解析结果,这说明了波叠加法在相对较广频率范围内的适用性。

图5 10×10的四边形单元划分波叠加法与解析法对比

图6 15×15的四边形单元划分波叠加法与解析法对比

6 结语

通过上述的研究结果表明,波叠加计算法在获得结构声辐射面振速的情况下,通过求解虚拟声源和函数的系数可以很好地估算辐射体表面的辐射声功率,在低频范围内,利用较少数目的结构单元可以较好地估计结构的辐射声功率。

从矩形板的算例可以看出,波叠加计算法相对于其他算法具有以下的优点。相对于边界元法,它无需处理奇异性问题,计算得到简化;在求解结构的辐射声功率时,不需要计算结构的辐射声阻抗,计算效率得到进一步提高;波叠加计算方法具有广泛的频域适用性,在低频范围内只需要较小数目的离散单元就可以获得较高的精确度。

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Application of Wave Superposition in Calculation of Sheet Radiation Sound Power

LIU Bao ZHOU Qizheng

(Naval University of Engineering, Wuhan 430033)

A method for calculating the radiation sound power from a thin plate is described using the principle of wave superposition. After getting the velocity of the surface, the method can be used to calculate the strength of virtual sound source and then getting sound power through building the equations between the virtual source strength and unit volume velocity using Euler equation. In this paper, an example of rectangular baffled plate with simply supported boundary is given to compare the compution result with the analytic result. It is shown that the mention method can reduce the unit and node number while it can ensure high precision without calculating the radiation resistance. The method reduces computing time and improves the efficiency.

wave superposition, virtual sound source, sound radiation, sound power

2014年11月13日,

2014年12月21日

商洛学院科研项目(编号:14SKY006)资助。 作者简介:刘宝,男,硕士研究生,研究方向:振动噪声。周奇郑,男,博士研究生,研究方向:振动噪声。

O348.8

10.3969/j.issn1672-9730.2015.05.040