李 岚

(闽西职业技术学院 基础部，福建 龙岩 364021)

一类常系数非齐次线性微分方程特解的矩阵表示

李 岚

(闽西职业技术学院 基础部，福建 龙岩 364021)

运用微分逆算子移位定理和矩阵运算将一类一阶常系数非齐次线性微分方程的特解用矩阵的形式表示，并在此基础上利用欧拉公式将另一类一阶常系数非齐次线性微分方程的特解也用矩阵的形式表示，用此方法不仅可以简便快捷地计算出这些微分方程的特解，且容易掌握，还可推广到求高阶常系数非齐次线性微分方程的特解.

常微分方程； 特解； 矩阵； 不定积分； 欧拉公式； 算子多项式； 逆算子； 移位定理

n阶复常系数非齐次线性微分方程的一般形式是

y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)+…+pn-1y′+pny=f(x)，

(1)

一阶复常系数非齐次线性微分方程

y′+py=exp(zx)Qn(x)，

(2)

y′+py=exp(αx)Qn(x)cosβx，

(3)

y′+py=exp(αx)Qn(x)sinβx，

(4)

微分方程的特解的求法通常采用：常数变易法、待定系数法、算子解法和拉普拉斯变换法等，各具特色．如待定系数法虽然解题思路简单，易于掌握，但不具有一般性，计算比较繁琐，容易出错．根据微分方程(2)中的自由项的特点可知，该方程的特解仍然是指数函数exp(zt)与一个多项式的乘积，且此多项式的次数与多项式Qn(x)的次数相同或高一次，是n次或(n+1)次多项式，因此求微分方程(2)的特解只需求出此多项式的系数即可.利用参考文献[1]中给出的结论，通过逆算子移位定理和矩阵计算，将微分方程(2)的特解用矩阵的形式表示，并在此基础上利用欧拉公式将微分方程(3)和(4)的特解也用矩阵的形式表示，从而可以根……