曹 勇，马 林

(辽宁工业大学，锦州121001)

0 引 言

以永磁同步电动机(以下简称PMSM)作为驱动对象，实现恒转矩和恒功率区域的全速运行受到广泛关注，如数控机床［1］、机器人［2］、电动汽车［3］等应用场合。由于PMSM 直接转矩控制(以下简称DTC)系统是基于定子磁场定向，克服了矢量控制易受参数变化影响的缺点，因此具有结构简单、转矩响应快、易于实现、鲁棒性好、可靠性高等特点［4］。

近年来，针对PMSM DTC 控制系统的全速运行做了大量研究工作，更多内容体现在转矩脉动抑制［5］、磁链准确观测［6］、弱磁升速运行［7］及无速度传感器［8］等方面，而对转矩控制系统的非线性问题及系统效率优化等方面的研究较少。因此，针对PMSM DTC 系统的上述问题，本文提出采用泰勒级数一阶近似方法来解决系统的线性化问题，同时采用最大转矩电流比(MTPA)控制并配合弱磁控制实现系统的全速运行。实验结果表明，系统响应速度快、速度跟踪准确、抗扰性能好、系统效率更加优化。

1 PMSM 直接转矩控制系统

图1 全速运行条件下的PMSM DTC 结构框图

(1)转矩和磁链观测器

在定子两相静止坐标系αβ 下，通过电机端电压uα，uβ和定子电流iα，iβ，可以观测到系统所需的定子磁链ψα和ψβ、电磁转矩Te以及定子磁链位置角γ:

式中:Rs为定子绕组相电阻。

(2)定子磁链给定分量计算模块

(3)电压给定分量计算模块

2 转矩控制线性化设计

PMSM DTC 系统的本质是转矩的直接控制，因此能够得到快速而准确的速度响应，需考虑如下电机运动方程:

式中:ωr为转子电角速度;J 为转动惯量;Tm为轴上机械负载转矩。

图2 转矩闭环控制系统传递函数结构图

从图2 可以看出，转矩调节器ATR 为PI 调节器，其输出为定子磁链位置角的修正量Δγ，经过采样(周期为Ts)和计算后得到定子磁链矢量旋转电角速度ωs，该值与转子磁链矢量旋转电角速度ωr进行比较，并经过积分运算可以得到磁通角δ，送入式(1)后得到转矩闭环控制系统的输出量Te。

由式(1)可以看出，电磁转矩Te与磁通角δ 之间为非线性函数关系Te(δ)，因此很难推导转矩控制系统的闭环传递函数，以得到满足控制性能要求的转矩调节器参数Kp(比例系数)和Ki(积分系数)。

进一步观察转矩函数Te(δ)，可以看出该函数在磁通角δ=δ0(即初始磁通角)的邻域内具有直到n+1 阶的导数，说明转矩函数为光滑函数，因此就可以使用泰勒级数来解决转矩函数Te(δ)的非线性问题。其方法是将转矩函数变成泰勒级数形式，利用泰勒级数的一阶近似，将转矩函数的非线性问题转化为线性问题，即转矩控制的线性化设计。

转矩函数Te(δ)在δ =δ0邻域内的n 阶泰勒级数形式:

略去式(8)中二次以上的部分，只保留一次项，则可以得到转矩函数Te(δ)一阶近似的线性函数:

将该线性函数TeL(δ)替换图2 中的非线性函数Te(δ)，则完成转矩闭环控制系统的线性化问题。此时，通过传递函数结构图的变换，能够得到转矩控制系统的闭环传递函数:

从式(11)可以看出，转矩闭环控制系统为二阶系统，其特征方程式的基本形式可表示:

式中:ξ 为阻尼比;ωn为角频率。

这样，转矩控制系统与二阶系统基本形式之间具有如下参数对应关系:

对于二阶闭环系统来说，一般情况下在欠阻尼0 ＜ξ ＜1 下才可以获得较好的动态性能，因此这里取阻尼比ξ =0.5，角频率ωn= 800 rad/s。设置采样周期Ts=1 ×10-4s，并计算初始磁通角δ =δ0时的一阶导数KTe，则通过式(13)和式(14)能够求得转矩PI 调节器的参数值:比例系数Kp=0.02，积分系数Ki=16，该值可以满足转矩控制系统的性能要求。

3 MTPA 及弱磁控制器

3.1 恒转矩区MTPA 控制

式中:id，iq分别为d 轴，q 轴电流。设定子电流矢量is与d 轴之间的夹角为α，则有如下电流模型:

将式(16)代入式(15)中，得到:

此时求得转矩Te关于α 的一阶导数:

进一步推导可以得到关于d 轴电流id的一元二次方程:

由于定子电流幅值为恒值，因此满足该方程的解id就是MTPA 控制问题中的极点值:

该值可以实现恒转矩区最大转矩电流比控制，将其代入式(17)并化简可以得到关于定子磁链ψq的一元四次非线性方程G(ψq)=0，即:

这里采用牛顿迭代法求出式(21)关于ψq的近似解，并保证在方程G(ψq)=0 的单根附近具有二阶收敛，求得:

同时，通过式(17)可以得到:

这样可以确定恒转矩区MTPA 控制下的定子磁链给定值:

3.2 恒功率区弱磁控制

因为PMSM 由转子永磁体所产生的励磁磁场是固定的，因此弱磁控制过程中需要调节电机定子电流，其产生的电枢磁场对励磁磁场发生电枢反应，进而削弱电机气隙磁场，实现弱磁控制。

弱磁控制中需要考虑如下限定条件:

(1)定子电流限定以达到定子绕组一定温升要求并避免转子永磁体永久去磁，具体满足如下限定条件:

式中:Ismax为定子电流最大值;Idmax为最大直轴电流;Iqmax为最大交轴电流。

(2)定子电压限定以满足逆变器输出要求，具体满足如下限定条件:

式中:Usmax为定子电压最大值，即逆变器所能输出电压的最大值。

由于弱磁运行时电机工作于高速范围，因此可以忽略定子电阻压降影响，此时电机定子绕组电压:

结合式(26)，可以得到:

即:

这样就将id和iq分量限定在一个椭圆形范围内部，该椭圆具有如下特性:

弱磁运行过程中，在满足如上电流和电压限定条件的情况下，根据电机转速可以计算出弱磁运行时的定子磁链给定值:

式中:ωm为转子机械角速度。

3.3 MTPA 及弱磁控制下的定子磁链给定

PMSM DTC 全速运行过程中需要给定定子磁链，图3 为MTPA 及弱磁控制下的定子磁链给定结构图。由定子磁链运行法则决定电机是运行在恒转矩区域还是恒功率区域，其中，ωN为电机额定角速度，ωMTPA为MTPA 控制下电机所能达到的最大角转速。

实际运行过程中通过式(22)～式(24)计算可以得到MTPA 控制表，以方便程序运行。同时在弱磁控制中，根据逆变器和电机参数以及电流和电压限定条件，可以得到如下实际运行数据:Ismax=20 A，Idmax=10 A，Iqmax=20 A，Usmax=115 V，ωN=157 rad/s，ωMTPA=201 rad/s。

图3 MTPA 及弱磁控制下的定子磁链给定结构图

4 仿真研究

在MATLAB 7.1 环境下建立PMSM DTC 实验模型。电机参数:Rs=0.05 Ω，Ld=0.656 mH，Lq=0.874 mH，ψf=0.192 Wb，J =0.011 kg·m2，p =2，nN=1 500 r/min;转矩调节器参数Kp=0.02，Ki=16;采样周期Ts=1 ×10-4s;仿真时间0.5 s。仿真实验内容包含两方面:(1)电机带载5 N·m 全速运行:0 ～2.5 s 内给定转速为1 200 r/min，2.5 ～5 s 内给定转速为3 000 r/min，覆盖恒转矩和恒功率运行区域;(2)电机抗负载扰动运行:空载起动，在0.3 s时加入10 N·m 负载扰动。

电机带载全速运行曲线包含转速运行曲线(图4)、定子磁链响应曲线(图5)和电磁转矩响应曲线(图6)。从图中可以看出，电机转速无超调且跟踪准确，响应速度快，从0 上升1 200 r/min，用时0.031 s，从1 200 r/min 上升到3 000 r/min，用时0.08 s，满足恒转矩和恒功率全速运行要求。电机定子磁链为动态给定，定子磁链初始值为0.286 3 Wb，当弱磁控制升速达到3 000 r/min 时，定子磁链给定值减弱为0.182 9 Wb。电磁转矩在限幅时达到1 4.5 N·m，在1 200 r/min和3 000 r/min稳定运行情况下为5 N·m，与负载转矩平衡。

图4 DTC 全速运行曲线(1 200 ～3 000 r/min)

图5 DTC 全速运行条件下定子磁链圆形响应曲线

图6 DTC 全速运行条件下电磁转矩响应曲线

电机抗负载扰动时的运行曲线包含转速1 200 r/min 突加负载10 N·m 时的响应曲线(图7)和MTPA 控制与常规控制时定子电流响应曲线(图8)。从图7 可以看出，0.3 s 突加10 N·m 负载扰动时转速降落小(50 r/min)，再次准确跟踪1 200 r/min 的恢复时间仅为0.012 s，表明MTPA 控制下的恒转矩运行区域具有良好的负载能力。同时从图8可以看出MTPA 控制与常规控制时定子电流大小的比较情况，其中常规控制为定子磁链给定为恒值。空载情况下跟踪1 200 r/min 给定速度时，MTPA 控制得到的定子电流幅值为0.8 A，而常规恒磁链控制得到的定子电流幅值为11.2 A;突加负载10 N·m 且恢复准确跟踪1 200 r/min 时，MTPA 控制得到的定子电流幅值为17.7 A，而常规恒磁链控制得到的定子电流幅值为18.9 A。因此能够说明在达相同负载转矩能力的同时，MTPA控制与常规恒磁链控制相比，获得更小的定子电流，也即实现恒转矩运行条件下的最大转矩电流比控制，达到系统效率优化的目的。

图8 MTPA 控制与常规控制时定子电流比较

5 结 语

由实验运行结果可知，本文提出的基于转矩控制线性化的PMSM DTC 全速运行系统:

(1)经过泰勒级数一阶近似线性化处理的转矩闭环控制系统为二阶线性系统，按照典型二阶系统设计的调节器参数满足转矩控制系统的性能要求。

(2)MTPA 控制与常规恒磁链控制相比，在获得相同转矩能力的同时，只需要更小的定子电流，提高了系统效率。

(3)在满足弱磁运行限定条件下，PMSM DTC系统可以实现恒转矩和恒功率区域的全速运行，系统响应速度快、速度跟踪准确，同时具有良好的抗扰性能。

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