邓小亚

(四川文理学院 计算机学院,四川 达州 635000)

基于四元数改进人工蜂群算法的彩色图像边缘检测*

邓小亚

(四川文理学院 计算机学院,四川 达州 635000)

摘要：提出了一种基于四元数表示彩色图像的改进人工蜂群算法的彩色图像边缘检测方法。传统的彩色图像边缘检测方法采用三色分离的方法进行，因而计算量较大，速度较慢，漏检和错检点较多。首先在彩色图像表示中引入四元数理论，用四元数表示彩色图像，运用改进人工蜂群算法求出所有次优解和全局最优解就是彩色图像的边缘点，所有边缘点的集合就构成了彩色图像边缘。仿真试验表明，所提出的方法不仅对影响彩色图像边缘检测的复杂细节和混合噪声问题有明显改进，而且检测出的边缘效果好，计算量也大为减少，能完全满足实际的彩色图像边缘检测的需要。

关键词：彩色图像；四元数；蜂群算法；边缘检测

图像边缘检测[1]在图像处理中至关重要。一直以来，大多数研究都集中在灰度图像边缘检测中，因而在灰度图像边缘检测中已取得了明显成效。彩色图像边缘检测处理虽然也取得了一定进步，但由于彩色像素表示的复杂性，使其始终成为一个困惑的问题[2]。其主要原因是彩色图像的表示是3色分离，即红、绿、蓝3种颜色分别用3个矩阵表示，而割裂了3种颜色的内在联系，后来虽然取得了一定进步，但是离理想结果仍然有不小的差距。

爱尔兰数学家W.R. Hamilton爵士提出了四元数理论，随着四元数理论的发展，将四元数引入了数字图像边缘处理中，即用一个四元数矢量表示一个彩色像素，这样在图像边缘处理中就可以将彩色像素的3种颜色作为一整体[3]，但所采用算法的限制效果仍然不够理想。

土耳其的Karaboga在2005年系统地提出了ABC算法(Artificial Bee Colony Algorithm)，此算法源于数学上求解多元函数数值的最优解问题，后来发现在解决非限制性求优问题方面有着如粒子群算法、蚁群算法无法比拟的优越性，因而近年来得到较快发展。

本文以四元数表示彩色图像，运用一种改进人工蜂群算法作用于此四元数表示的彩色图像上，先求解出初始最优解和次优解作为彩色图像检测中的候选边缘点，然后以这些候选边缘点为基础不断运用改进蜂群算法迭代求解，再根据一定条件来判定出所有彩色图像边缘点，最终求解出所有边缘点就构成图像边缘。

1四元数的相关基础知识

四元数理论从提出至今虽然还有些问题有待解决，但以其方便、简捷的表示方法，已在图像处理中得到了广泛应用[4-5]。在四元数理论中，若设q是四维空间中的一个数，它包含1个实部a和3个虚部b、c和d，记这个四维空间的基为{1,i,j,k}，则四元数q可以表示为：

q=a+bi+cj+dk

式中，a、b、c和d是实数；i、j和k是3个正交的虚单位，并满足i2=j2=k2=ijk=-1，ij=k，jk=i，ki=j，ji=-k，kj=-i，ik=-j。

四元数的加减法遵从实数加减法规则，是实部和虚部对应相加减，而四元数的乘法却不遵守实数乘法规则，它们的乘法是不可交换的。

对于四元数q=a+bi+cj+dk,令：

(1)

则四元数用极坐标表示为:

q=|q|(cosθ+μsinθ)=|q|eμθ

式中，θ是特征角；μ是特征轴，也是模为1的纯虚四元数，又称单位纯虚四元数。

若en是一单位矢量，且为平面的旋转方向，而矢量α、β垂直于此平面，设矢量β为矢量α旋转θ角后的转后矢量，且两矢量α、β和转轴方向均遵从右手法则，则有下式成立：

β=(cosθ+ensinθ)α

(2)

当上述矢量逆向旋转，则有：

β=[cos(-θ)+ensin(-θ)]α

若初始旋转矢量与转轴方向矢量不垂直，则有如下公式成立：

(3)

2改进人工蜂群算法的彩色图像四元数边缘检测原理

人工蜂群算法相比蚁群算法、粒子群算法有着明显的优势，但在实际解决相应问题时，其搜索方程对平衡局部搜索和全局搜索还是显得不足，且速度也还需要进一步提高。本文提出一种改进的搜索方程，在四元数表示彩色图像的基础上，运用基于此改进搜索方程的人工蜂群算法来求次优蜜源和全局最优蜜源，也就是求出了局部最优解和全局最优解，这些次优解和全局最优解在满足一定设定条件的情况下构成彩色图像的边缘点。

2.1人工蜂群算法的基本搜索方程

在人工蜂群算法中，一个蜜源的位置就对应着一个可行解，每个蜜源的质量代表着对应可能解的适应度，雇佣蜂的数量和蜜源的数量相等，在初始位置产生了一组随机解L∈EB，EB是初始蜜源的位置个数，也表示雇佣蜂或观望蜂的多少。

令CXi={cxi,1,cxi,2,…，cxi,D} 是在一定范围内随机产生的一组位置，那么蜜源位置更新的初始公式如下：

CXi,j=CX1,j+β(CXu,j-CX1,j)

β∈[-1,1]u≠l

(4)

式中，i=1,2,…，EB；j=1,2,…，D，且D是问题的维度；CXu,j和CX1,j是维度j的下界和上界。

在初始化后，蜜蜂的群体规模不断发生变化，3种蜜蜂不断进行搜索，位置不断发生变化，不断抛弃旧的蜜源，寻找新的较优蜜源，其选择某个蜜源的概率pi和适应度值fiti公式如下：

(5)

式中，fiti是对应于第i个解的适应度值。

人工蜂群算法中其从旧的局部最优解中更新为一个新的可行解的位置公式如下：

CVi,j=CXi,j+μi,j(CXi,j-CXk,j)

(6)

式中，k≠i，k∈{1,2,…，EB}；j∈{1,2,…，D} 并且k和j都是随机选择参数；μi,j是一个随机数并且μi,j∈[-1,1]。

如果一个蜜源位置在达到一定搜索条件后仍不被进一步更新，将被抛弃重新寻找新的可行蜜源位置。

2.2改进的人工蜂群算法搜索方程

要改进人工蜂群算法的性能，提高人工蜂群算法的收敛速度，防止陷入局部最优，关键是要改进搜索方程，就是要寻求适合的搜索方程来平衡局部搜索速度和全部搜索速度之间的关系，即不能因片面强调局部搜索而忽视了全部搜索从而陷入局部最优，又不能因一味追求全局搜索而忽视局部搜索，造成漏解；因此，所求出的全部解根本就不是全局最优解。目前，已经出现了人工蜂群算法的一些改进搜索方程，但这些搜索方程都是仅限于某一方面改进，如改进了局部搜索而全局搜索又减慢了，或全部速度加快而局部减慢甚至有些改进搜索方程求出的不是全局最优解，其中比较突出的对人工蜂群算法的搜索方程进行改进的是GABC算法[6]，该算法提出的搜索方程如下式所示：

CVi,j=CXi,j+σi,j(CXbest,j-CXi,j)+

μi,j(CXi,j-CXk,j)

(7)

式中，CXbest,j是全局最优解的第j个元素；σi,j∈[0,1.5]是一个随机数。

从上面的GABC算法的搜索方程来看，比标准ABC算法的搜索方程增加了第2项σi,j(CXbest,j-CXi,j)，由于其中CXbest,j是全局最优解的第j个元素，因而实际上σi,j(CXbest,j-CXi,j)增加了此搜索方程的全局最优搜索性能，但是从试验结果来看，其性能改进得并不明显。

为了进一步提高人工蜂群算法的性能，笔者对搜索方程进行了进一步的改进，由于高斯变异的优良性能，在GABC算法基础上加入了高斯变异如下：

CVi,j=CXi,j+σi,j(CXbest,j-CXi,j+g)+

μi,j(CXi,j-CXk,j)

(8)

式中，g=Gaussian(μ,σ2)，μ、σ2分别是相应的均值和方差。

高斯变异因子在式7促进全局最优的基础上进一步有助于蜂群算法跳出局部最优，因而，式8在局部和全局方面都得到了提高，从而提高了蜂群算法的整体性能。

2.3运用改进人工蜂群算法进行彩色图像边缘检测

为了用四元数解决彩色图像的边缘检测问题，首先要把四元数用极坐标的形式来表示，采用四元数的极坐标时，根据前面四元数的基础理论可得：当以单位矢量μ=i+j+k作为四元数空间的旋转轴时，其极坐标形式为R=eμθ=i+j+k，根据文献[7]中所描述的方法，对任一纯虚四元数矢量X，RXR*表示将X转到了以矢量μ为对称轴的相反方向上，X+RXR*其结果矢量的三分矢量值一定相等，也就是结果矢量是灰度矢量。故任两个彩色像素矢量q1和q2，若q3=q1+Rq2R*，且q1和q2这两个矢量相同，则|q1+Rq2R*|=0；若q1和q2色调接近，那么q3必位于灰度矢量μ附近，即存在任意小的正数δ，有|q1+Rq2R*|<δ，2个彩色像素矢量q1和q2就在图像边缘，以此方法就可以判断出某点是否为边缘点，这也是人工蜂群算法求出的图像边缘点的适应度函数，其适应度值δ究竟多大才判断为边缘点，可以根据具体条件确定。

2.4本文提出的算法

本文提出的算法是在人工蜂群算法基础上改进而来的，先根据试验具体条件对人工蜂群算法的循环次数进行设置(如约为120次)，或将循环条件设置为前N个适应度大于某预定的阈值。在如此设定条件下，所求解出的前N个适应度值大于某预定阈值时的改进人工蜂群算法并没有收敛，而是得到了N个局部最优解，这些解在图像边缘中是分散分布的，然后以这些分散点也就是蜜蜂所得到的次优蜜源为基础，在此邻域附近继续搜索与之适应度值相等或相近的点(也就是蜜源效益度相等或相近的蜜源)，如此循环，直至满足结束条件为止。将所得出的全部点标记出来就构成了图像边缘，其算法流程如下：1)初始化，设定初始蜂群参数，所有蜜蜂出发寻找蜜源，设定雇主蜂对应的蜜源为参考蜜源，记每只蜜蜂的局部最优位置为pbest()，最大迭代次数为nmax，迭代计数器nc=0；2)当雇主蜂数量不为零时；3)在初始蜜源的八邻域内雇主蜂根据改进搜索方程搜索新蜜源S，若雇主蜂搜到的新蜜源的适应度值与参考蜜源的适应度相等或近似相等时，将原参考蜜源进行标记，标记后的参考蜜源则变成标志蜜源(对应彩色图像边缘点)；4)运用相应数据表记录所有蜜蜂的适应度值EK，若适应度值增大，则更新；5)将搜索到的新蜜源转变成参考蜜源，若是观望蜂则升级为雇主蜂；6)ifS≥1，则雇主蜂可以招募S-1个观望蜂，然后将S个新参考蜜源分配给雇主蜂和新招募S-1个观望蜂，继续比较相应的个体局部适应度值和群体全局适应度值，若更好，则更新；7)elseS=0，将该雇主蜂降级为侦察蜂；然后转到b；8)若达到结束条件(适应度值不再增大或达到最大迭代次数)，endwhile，否则转到b；9)输出全局最优解时的所对应点，算法结束。

3试验与结果分析

本试验在配置为主频2.6GHz的P4处理器、4G内存的计算机上进行，对多张图片进行了多次试验，本文选取的是一张从实验室得到的农村风光图，对基于标准人工蜂群算法、基于GABC算法和基于本文提出的IABC算法分别进行彩色图像边缘检测试验，本试验分为两部分：第1部分对3种算法在农村风光图上进行边缘检测的时间进行比较(见表1)；第2部分是3种算法在农村风光图片的边缘检测效果比较(见图1)。

表1　3种算法分别进行彩色图像边缘检测的运行时间　(ms)

图1　原始图像和3种算法效果图

从表1可以看出，基于四元数的标准ABC彩色图像边缘检测所消耗的时间最多，因而边缘检测速度最慢，而基于四元数的IABC彩色图像边缘检测所消耗的时间最少，因而边缘检测速度最快，其中，基于四元数的IABC彩色图像边缘检测所消耗的时间大约是基于四元数的标准ABC彩色图像边缘检测所用时间的63%，而相应的GABC算法用在彩色图像边缘检测的时间是标准ABC算法所消耗时间的84%，因而从试验的结果来看，本文提出的IABC算法在作用于彩色图像边缘检测时，相比GABC算法和标准ABC算法是速度最快的一种算法。

从3种算法分别进行边缘检测得到的3张效果图来看，图1c效果最好，图1a效果最差，而图1b效果比图1a略好，比图1c效果明显差些。在图1a中近处水面上的4只鹅的边缘都有许多断点和漏点现象，而远处的房屋屋顶和屋墙的边缘断点和漏点现象更多，还有屋前的灯笼和房屋的门窗边缘许多都未检测出来；在图1b中彩色图像边缘检测效果比图1a略好；而图1c中近处的4只鹅及远处的房屋边缘都比较完整地检测出来了，房屋的门窗边缘和灯笼边缘都比较清楚，其中漏点和断点现象比图1a和图1b明显减少。这表明以四元数表示彩色图像而进行的标准ABC图像边缘检测效果最差，基于四元数的GABC彩色图像边缘检测方法比基于四元数的标准ABC彩色图像边缘检测效果略好，本文提出的基于四元数的IABC算法彩色图像检测算法效果最好。

4结语

以四元数表示彩色图像为基础，对标准ABC算法、GABC算法和本文提出的IABC算法进行了详细的研究，试验结果证明，本文提出的IABC算法在对彩色图像进行边缘检测时，效果是最好的。

参考文献

[1] 陈彦燕,王元庆.常用边缘检测算法的定量比较[J].计算机工程,2008,34(17):202-204.

[2]LukacR,SmolkaB,MartinK,etal.Vectorfilteringforcolorimaging[J].IEEESignalProcessingMagazine, 2005, 22(1):74-86.

[3]CaiC，MitraSK．Anormalizedcolordifierenceedgedetectorbasedonquaternionrepresentation[C].ProceedingsofIEEEInternationalConferenceonImageProcessing．Vancouver,2000：816-819.

[4] 雷印杰,余艳梅,周激流，等.四元数奇异值分解与彩色图像去噪[J].四川大学学报：自然科学版,2007,44(6):1268-1274.

[5] 黎云汉,朱善安,祝磊.基于四元数主成分分析的人脸识别算法[J].信号处理,2007,23(2):214-216.

[6]ZhuG,KwongS.Gbest-guidedartificialbeecolonyalgorithmfornumericalfunctionoptimization[J].AppliedMathmaticsandComputation, 2010,217(7): 3166-3173.

[7] 金海良,李德华.彩色图像滤波与基于四元数的彩色图像处理方法[D].湖北：华中科技大学,2008.

*四川省教育厅科研项目(15ZB0323)

责任编辑彭光宇

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Quaternion-based Improved Artificial Bee Colony Algorithm for Color Image Edge Detection

DENG Xiaoya

(School of Computer, Sichuan University of Arts and Science, Dazhou 635000, China)

Abstract：Propose an improved artificial bee colony algorithm in color image based on quaternion for color image edge detection. The traditional color image edge detection method uses three-color separation method performed, thus there is a large amount of computation, a slower speed and wrong and missed points are greater. Quaternion theory is introduced with color image representation, then use a quaternion vector represent a pixel color image. The improved artificial bee colony algorithm is used to find all suboptimal solutions and global optimal solution which contains color image edge points. Simulation results show that the proposed method has significantly improved complexly detailed and mixed noise problems of affecting the color image edge detection. And there is good edge effect detected, also greatly reduce the amount of calculation, fully be able to meet the needs of the actual color image edge detection.

Key words:color image，quaternion, colony algorithm，edge detection

收稿日期：2014-03-19

作者简介：邓小亚(1977-)，男，讲师，硕士，主要从事图像处理、软件工程、知识工程和计算机应用等方面的研究。

中图分类号：TP 391 4)关键词的遴选要有益于读者通过搜索引擎查找，数量为(3~5个)，关键词应为三级学科名称。1~2个(参见《中国图书馆分类法(第四版)》一书)。

文献标志码:A