王文庆, 杨振新, 唐 轩

(西安邮电大学 自动化学院, 陕西 西安 710121)

模糊系统作为通用逼近器研究综述

王文庆, 杨振新, 唐 轩

(西安邮电大学 自动化学院, 陕西 西安 710121)

概述Mamdani型和T-S型模糊系统作为通用逼近器的性能及影响因素，讨论改进其结构参数的新方法，总结近年来的相关研究进展情况。针对"维数灾难"问题，分析递阶分层模糊系统和二型模糊系统对此问题的研究思路和最新进展，并分析模糊系统研究的热点问题及研究发展方向和趋势。

Mamdani模糊系统；T-S模糊系统；二型模糊系统；通用逼近器

模糊理论能够利用人类经验及知识，将语言信息有效转化为控制策略的系统方法，从而解决许多复杂的非线性系统建模问题，是一种处理不确定性问题的有效手段。基于模糊理论的研究及应用非常广泛，在工程科技方面，有信号处理[1]、语音识别[2]、故障诊断[3]等;在社会科学及人文科学方面,有决策分析[4]、风险分析[5]等。模糊系统(Fuzzy systems, FS)不仅能利用便于理解的语言信息，而且在算法的收敛速度、结果的可解释性以及逼近精度与复杂度的平衡等方面，都不逊色于B-样条、神经网络、决策树、小波分析等其他方法[6]。

模糊系统作为通用逼近器的研究在21世纪初期已经有了显著的研究成果。文献[7]对2004年以前10年模糊系统作为通用逼近器进行了综述，学者已经在存在性、充分性及必要性等多方面对模糊系统进行论证，并且得到了许多有力的结论，为模糊辨识、模糊控制等方面提供了重要的理论依据。常见的模糊系统有两种，Mamdani型模糊系统及T-S型模糊系统。使用这两种经典模型，必然会面临两个问题，一是随着问题复杂度的增加以及输入维数的增加，不可避免地导致“维数灾难”；二是对于不确定性更强的复杂系统，如何更加有效地建模与表述。

本文综述2004年以来这两类模糊系统作为通用逼近器的研究进展，特别是“维数灾难”问题的缓解办法，以及对一些模糊系统建模新思路(二型模糊系统)的研究进展。最后，通过对当前模糊系统的研究结果引出一些讨论。

1 两类模糊系统作为逼近器的研究

1.1 Mamdani型模糊系统

Mamdani模糊系统由模糊产生器、模糊规则库、模糊推理机及解模糊器构成。在模糊产生时，隶属函数的参数选取对模糊系统的性能影响很大。文献[8]讨论了隶属函数的设计，得出对于典型的模糊系统而言，当输入模糊子集均匀分布，且相邻模糊子集全交叠分布时，模糊系统结构最佳。事实上，只要参数恰当，不同隶属函数对Mamdani型模糊系统的性能影响并不大，而隶属函数论域覆盖的宽度对模糊系统的性能影响较大。对于Mamdani模糊系统隶属函数的优化问题，现存的主要方法是神经网络和遗传算法，并且取得了一定成绩，但是其收敛速度及逼近精度还存在较多的不确定性。文献[9]提出了根据输入输出数据对系统隶属函数优化的方法，将隶属函数优化问题转换成一组线性规划问题求解，相对于遗传算法，降低了计算复杂度及不确定性。

另外，2004年以前的大多数研究都集中在讨论辨识误差的收敛性，而对模型参数的收敛性讨论极少。文献[10]着重研究了模糊系统模型参数误差、辨识误差及模糊模型中参数的收敛性问题，并在文献[11]中对标准的Mamdani型模糊系统，给出了适用于非线性移动平均模型和二阶非线性自回归移动平均模型的算法。文献[12]讨论了一类分段非线性模型，并分析了这种扩展的Mamdani模糊系统对于一类随机过程的逼近能力。

整体来说，2004年以来Mamdani型模糊系统作为通用逼近器的研究文献并不多，文献[13-18]都是模糊系统作为逼近器用于非线性不确定项的例子，实质都是通过增加模糊规则的数目来提高模糊系统性能。从理论上看，只要有足够多的模糊推理规则，就必然能实现对未知系统的有效逼近，但是在实际工程中，这种系统往往是不现实的。学者也尝试从理论上构造最小的模糊系统，但实际上，最小结构只取决于所描述问题本身的复杂性，对于更加复杂系统，这种算法不一定理想。另外，这些文献往往都是针对特定问题，一旦被逼近对象发生变化或者改变精度时，就得重新定义隶属函数，手动构造模糊系统，而这种根据经验主观设置隶属函数或调整隶属函数参数的情况也影响了模糊系统的逼近效率。此外，对具体的实现算法，以及算法的有效性、通用性等方面的研究还是不足。事实上，Mamdani型模糊系统主要还是用于模糊控制，而对于系统辨识问题，T-S型模糊系统更有优势。

1.2 T-S型模糊系统

T-S型模糊系统前件是模糊语言信息，后件是一组函数的线性组合。一般来说，T-S型模糊系统的辨识分为结构辨识和参数辨识。结构辨识是指输入输出空间的模糊划分方式，即模糊规则数的确定问题；参数辨识是调整参数值，使模糊系统性能达到最佳，提高模糊系统的建模精度。其中最核心的还是模糊系统的结构辨识。

结构辨识及参数辨识已有诸多研究。文献[19]充分利用训练数据提供的信息，提出了一种从训练数据抽取和优化模糊规则的学习算法，在参数辨识阶段，基于神经网络推导了自组织特征映射和梯度下降法相结合的混合学习算法。随后，T-S模型也由离线辨识推向在线辨识，文献[20]讨论了T-S模型的在线辨识，它引入了一种基于神经网络的生长和裁剪方法，实时提出模糊规则，并定义其对应的局部模型对输出的影响，在线调整参数，从而准确表达非线性系统的复杂性及变化性。目前，一般都是采用某种聚类实现结构辨识，再使用神经网络反馈学习或者遗传算法学习实现参数辨识。模糊聚类就是把输入输出空间按一定算法分解成一系列模糊区间，每个模糊区间对应一条模糊规则。文献[21]为了更加合理地划分模糊空间，结合递推最小二乘法，提出一种根据相邻聚类中心距离确定模糊空间重叠系数的方法。文献[22]提出了一种基于混合聚类算法的模糊辨识算法，结合了模糊C-均值(Fuzzy C-means, FCM)聚类算法及模糊C-回归模型(Fuzzy C-means Regression Model, FCRM)。

在一般非线性系统辨识方法中，最常见的基于递推最小二乘法、BP神经网络法获得的模型辨识精度不够高，而进化计算方法可提供一种简单有效的方法。文献[23]用蚁群聚类算法进行结构辨识，确定系统的模糊空间和模糊规则数，再利用遗传算法自适应学习得到模糊模型的后件加权参数。文献[24]提出一种基于输入输出数据自动结构辨识及参数辨识的自组织算法，以自组织聚类建立网格结构及参数初值，并通过监督学习优化网格参数。对于复杂的非线性系统，遗传算法仍存在不足之处。文献[25]结合了混沌动力学特性，提出一种混沌DNA遗传算法，优化了T-S模糊递归神经网络。文献[26]结合模糊聚类算法和支持向量机回归算法提出了一种新的T-S模糊模型自组织算法，该算法首先利用一种改进模糊聚类算法提取模糊规则和辨识前件参数，然后将模糊模型后件变换为标准线性支持向量机回归模型，并利用支持向量机(Support Vector Machine, SVM)回归算法辨识后件参数。当支持向量机和核函数思想融合到模糊系统中，模糊建模的性能有效提高，但是这种算法存在稀疏性不强、计算量大、核函数必须满足Mercer条件等缺点。文献[27]提出了一种基于相关向量机(Relevance Vector Machine, RVM)的模糊辨识方法，使用RVM方法提取模糊规则，并使用梯度下降(Gradient Descent, GD)法对模型参数优化。在达到SVM相同性能时使用更少的核函数，并且不需要满足Mercer条件。文献[28]将经验知识与样本数据相结合，提出了模糊规则融合方法，确定初始模糊规则，改进了原梯度下降方法中的目标函数，在参数辨识时引入经验知识，平衡样本数据和经验知识对模型的影响。

另外，经典模糊系统构建时，通常只依赖当前的数据和经验知识，而当其中少部分重要信息丢失时，所得到的模糊系统泛化能力较差。为了解决这一问题，文献[29]采用基于经典的压缩集密度估计(Reduced Set Density Estimator, RSDE)构建Mamdani-Larsen(ML)模糊系统，通过引入迁移学习机制，有效地利用历史知识进行学习，弥补当前缺失的数据信息。文献[30]对传统的T-S模型进行扩展，由规则前件实现输入空间的划分，将成员函数及其函数变换引入规则后件以实现对输入子空间的非线性映射，使用改进量子遗传算法优化规则前件，递推最小二乘法确定规则后件参数，提高了模糊系统的泛化能力。

T-S型模糊系统将整个非线性系统的控制看作是多个局部线性系统控制的模糊逼近，为模糊辨识及模糊控制系统的稳定性分析和设计提供了模型基础。对于非线性广义系统，T-S模糊广义系统模型的建立为非线性广义系统的研究开辟了新途径[31]。

2 对模糊系统一些问题的解决

2.1 对维数灾难的缓解

研究模糊系统的逼近能力，多年来一直是一个重要的热点问题。虽然基于经典模糊系统模型相对结构简单，但是类似这种模糊模型患有严重的“维数灾难”问题。缓解这问题的一个有效途径就是递阶模糊系统[32]。2004年以来，学者对这种模糊系统作了诸多讨论，文献[33]从代数角度给出了分层模糊系统的矩阵模型表示方法，文献[34-35]针对一些特殊模糊系统的分层，研究了其单调性和运行效率问题，这些都获得了许多有益结果，但都未涉及如何缩减推理规则总数问题。文献[36]借助方形分片线性函数(Square Piecewise Linear Function, SPLF)，给出了Mamdani模糊系统在最大模和积分模(maximum modulus and integration modulus)意义下泛逼近器的构造性证明，这为递阶模糊系统的广泛运用提供了理论依据。文献[37]利用分片线性函数，证明了广义Mamdani模糊系统在K-积分模意义下具有泛逼近性，从而将模糊系统的逼近能力扩展到一类可积函数类空间上，并且给出了混合模糊系统的规则数计算公式，但是规则缩减效果并不是特别明显。实际上，递阶分层模糊系统是给模糊系统添加了中间变量，即以一组分层形式链接的低维模糊单元来替代高维模糊系统，从而使得模糊规则的增长由几何增长变为线性增长。但是，这种模型中的中间变量没有明确的物理含义，因此难以表示其模糊化的设计及意义。对此，文献[38]提出了一种新的解决思路，将分层模糊系统中前一层的输出直接作为后一层规则的后件参数，但是这种模型的层次结构过于复杂，并且引入了大量待辨识的参数，增加了系统设计难度。针对这个问题，文献[39]提出一种后件直联型分层模糊系统，该分层模糊系统将各层中间变量作为后一层模糊单元输出结果中的一部分，即直接作为各层模糊单元输出的调节项，这样对不具有物理意义的中间变量模糊处理，有利于利用经验知识，并具有较强的可解释性和较好的实时性。文献[40]引进了实参数将Mamdani及T-S模型统一起来建立广义分层混合模糊系统。文献[41]在文献[40]基础上，通过二叉树分层方法重新引入混合推理规则，研究了二叉树型分层后广义混合模糊系统的输入输出表达式及推理规则总数计算公式，有效地减少了通用情况下的规则数目。但是，这种经过二叉树分型后的系统是否与原系统等效，作者并没有讨论。文献[42]提出的基于子空间划分的模糊系统辨识方法，按照一致、完备的原则划分论域，并将系统模型辨识过程局限在每个子空间。文献[43]提出了一种动态建模方式，沿着所有维度进行动态分区来减少模糊规则。文献[44]提出一种基于遗传算法的方法来寻找一组最优的规则，删除了一些冲突或者冗余的规则。这些方法都是建立在经验之上的一种机器学习方法，相关理论证明还有待进一步完善。

在模糊控制中，模糊树模型是一种高效的T-S模糊模型辨识方法，与采用网格法划分输入空间建立Mamdani型模糊模型构造自适应模糊控制器的方法相比，可以用较少的控制规则达到更好的控制效果，是缓解“维数灾难”的一个有效途径。文献[45-47]都是以模糊树模型逼近未知非线性函数，再通过在线调节模糊树模型的线性参数，通过自适应划分输入空间，减少模糊规则数目的实现方法。无论是文献[45]具有监督控制器的模糊滑块控制方法，还是文献[46]结合神经网络的逆向学习，以离线辨识对象的逆模作为模糊控制器，然后同最小均方差(Least Mean Square, LMS)算法在线调节控制器参数，以及文献[47]基于模糊树模型的间接自适应模糊控制器的设计方法，都在一定程度上缓解了困扰模糊控制的“规则爆炸”问题。

2.2 模糊系统的进一步研究

模糊系统在非线性辨识及自适应控制中已有显著成果，但对于不确定性更强的复杂系统，如传感器测量数据含有噪声，或者不同人理解语言意义的差异性等，使得经典模糊系统的结果存在不确定性。随后，学者们开始研究一种基于二型模糊集的模糊系统，将模糊集合中的隶属度值再次进行模糊化表示。文献[48]提出了二型模糊集的一种约束方式，并详细分析了二型模糊集的形式属性。文献[49]做了详细的证明，二型模糊同样可以作为通用逼近器，能够以任意精度逼近一个紧凑域的任何连续函数。二型模糊集具有更强描述与处理不确定性的能力，面对不确定性更高的应用对象，二型模糊系统理论一方面解决了这样的问题[50-52]，同时具有较强的鲁棒性能。

事实上，二型模糊系统的应用还存在一定困难，尤其是在计算量上，太大的系统开销往往会选择近似的算法去替代。为了解决这个问题，文献[53]提出了具有减少离散型区间值的二型模糊系统模型。在模糊系统建模时，采用模糊C-均值(FCM)聚类算法确定系统结构，通过自学习得到系统的离散区间值，组成相应的隶属函数，变化得到具体值来确定模糊系统的相关不确定项。另外，二型模糊系统还缺乏设计的系统性，很多二型模糊规则提取法则仅仅是经典型模糊系统的简单改进。对此学者做了不懈的努力，文献[54]借助于二型模糊集主隶属函数的期望与次隶属函数值之间的联系，提出一种二型模糊规则算法，并且通过交通控制算例验证了该算法的有效性。文献[55]通过建立不确定的高斯混合模型确定二型T-S模型，即用概率统计的方法设计二型模糊系统，算法的快速性及抗噪性都有所提高。文献[56]设计了基于Mamdani自组织区间二型模糊神经网络，利用不同加权参数的FCM算法对输入数据进行划分，获取规则前件的不确定值，以C均值聚类确定模糊规则数目，并基于梯度下降法和Lyapunov函数稳定收敛定理，给出了规则后件权向量学习速率的自适应学习算法，使得系统有较高的预测精度和很强泛化性能。文献[57]基于聚类提出自组织二型模糊神经网络，能够根据输入输出数据实现规则的自动生成，但没有涉及适当规则数目的判断准则以及网络结构的收敛性。文献[58]采用不对称隶属函数提出动态递归区间二型模糊神经网络，基于Lyapunov稳定性理论得出了参数学习算法稳定收敛的条件，提高了网络的稳定性和对动态系统的辨识能力。文献[59]提出了一种协同进化区间的二型模糊系统实现算法，以协同进化的方式处理应用在时间序列预测中。相对于传统模糊系统，二型模糊系统性能更加稳定。

目前，二型模糊系统已经发展成处理高不确定性复杂系统的重要理论，并且在建模与预测、反馈控制、模式识别等领域获得了成功应用[60]。

3 模糊系统在工业控制中的应用

Mamdani型模糊系统单纯作为模糊逼近器的研究主要集中在T-S模型中。实际上，很容易理解T-S模糊系统的通用逼近性高于Mamdani型模糊系统。Mamdani型模糊系统通过所选择的的隶属函数，对未知系统通过水平的超平面进行拟合，而T-S模糊模型可以利用其输出件是输入变量的线性组合这一特点构造线性动态子系统，再通过模糊规则进行线性子系统的模糊化组合以逼近任意的非线性动态系统，相当于由许多不同倾斜方向的超平面来拟合的光滑曲面。因此，在逼近非线性动态系统的问题上，应用Mamdani型模糊模型就比较吃力，而T-S模型显得得心应手。但在模糊控制中，Mamdani型模糊系统的模糊规则后件参数简明，语言信息明确，被广泛的用于自适应模糊控制当中。

事实上，T-S模糊系统在模糊辨识、模糊预测等方面已广泛应用。文献[61]将T-S模糊系统辨识与平行分布补偿(Parallel Distributed Compensation, PDC)控制器设计相结合，进行完整的模糊控制器设计，提出了一种基于最小二乘法的T-S模糊模型辨识方法的PDC控制器设计方法。文献[62-63]有效实现了非线性预测控制。而对于一般性模糊问题，Mamdani模型则被广泛应用。文献[64]利用模糊控制鲁棒性强的特点，成功应用在装配生产控制中；文献[65]针对带有未知函数和干扰的混沌系统设计了参数自适应的驱动响应同步控制器；文献[66]模糊模型预测控制策略解决了暖通空调系统难以控制的问题；文献[67-68]都是变论域模糊控制器成功应用的例子，通过论域的变化，在保持模糊系统结构简单的同时，又使系统具有很高的稳定性。

可以看出，T-S模糊系统作为通用逼近器成功应用在模糊辨识及模糊控制当中，尤其是多高精度设备的模糊控制器和或者是一些混沌问题时，其表现优于Mamdani模糊系统。而Mamdani型模糊系统对模糊理念的更加深入，能简单有效的将语言信息利用起来，这也正是模糊系统优于其他智能方法的地方，尤其是在模糊搜索、模式识别、模糊专家系统，以及对语义理解要求更高的方面。

4 讨论

2004年以来，无论是模糊系统的逼近性质，还是模糊系统的结构优化，以及在工程应用领域，模糊系统作为通用逼近器都取得很大的进展。对于解决复杂问题输入维数增加而引起的“维数灾难”问题，先后也提出了分层模糊系统、模糊树模型来解决；对于模糊系统的辨识精度，结合聚类算法、BP、遗传算法，提高了模糊系统的精度，并且一定程度上增加了系统的全局稳定性。但是，模糊系统理论还有诸多的重要问题去完善。

(1)现存文献提出的模糊系统都具有较好的精确性，但是这些方法要么是通过牺牲模型的简单性，要么就是通过大量的迭代学习进行规则训练，这样构造模糊系统在一些对精度或者时间要求较高的系统中应用依然有一定的困难。如何在模型的精确性和简单性之间进行良好的折衷，值得讨论。

(2)对于维数灾难问题，目前提出了一些解决方案，并且有效的应用在大型系统的模糊控制当中。但是随着问题复杂度的上升，这些方法的有效性及意义的解释性都不确定，缺乏有力的数学证明及相应物理意义。另外，对于如何避免规则爆炸，并没有完全解决。

(3)模糊系统优于其他智能系统的特点就是能够利用语言信息，随着系统的复杂性增加，模糊隶属函数的语义逐渐缺失，失去了模糊规则的可解释性。文献[69]讨论了模糊模型可理解性与逼近精度的关系。对于高复杂度的问题，如何能有效利用模糊系统的语言特点，使系统不仅满足精度要求，并且有很好的可解释性，值得进一步研究。

(4)在高不确定性场合，二型模糊系统的性能超过传统模糊系统，并且随着不确定性的程度越高，优势也越明显。但是，这些结果也都是通过数据的定性分析，研究如何完善二型模糊系统严格的数学理论体系及设计方法的系统性，将是有意义并且有挑战的问题。

[1] Wu QingE, Cui Guangzhao.Application of Fuzzy Automata to Fuzzy Signal Processing[C]//2008 International Conference on Computer Science and software Engineering. Wuhan: IEEE, 2008: 1283-1286.

[2] Hoseinkhani F, Parcham E, Pournazary M, et al. Speech Recognition by Classifying Speech Signals Based on the Fire Fly and Fuzzy[C]//2012 International Conference on Advanced Computer Science Applications and Technologies (ACSAT). Kuala Lumpur: IEEE, 2012: 187-191.

[3] Salleh I S, Mohd-Yusof K, Zahedi G . Fuzzy logic model for deodorizer troubleshooting in palm oil refining[C]//2012 12th International Conference on Control, Automation and Systems (ICCAS). JeJu Island: IEEE, 2012: 374-378.

[4] Ren Yongchang, Quan Qiang, Xing Tao, et al. Fuzzy Decision Analysis of the software configuration Management Tools Selection[C]//2010 International Symposium on Information Science and Engineering (ISISE).Shanghai: IEEE, 2010: 295-297.

[5] 田芳. 模糊综合评判法在风险分析中的应用[J]. 系统工程与电子技术, 2003, 25(2): 174-176.

[6] 王立新. 模糊系统: 挑战与机遇并存——十年研究之感悟[J]. 自动化学报, 2001, 27(4): 585-590.

[7] 刘慧林, 冯汝鹏, 胡瑞栋, 等. 模糊系统作为通用逼近器的 10 年历程[J]. 控制与决策, 2004, 19(4): 367-371.

[8] 黄卫华, 方康玲, 章政. 典型模糊控制器的隶属函数设计及分析[J]. 模糊系统与数学, 2010, 24(5): 83-90.

[9] 唐少先, 陈建二, 张泰山. Mamdani 模糊系统 I/O 关系的表示及隶属函数优化[J]. 控制理论与应用, 2005, 22(4): 520-526.

[10] 万峰, 孙优贤. 基于模糊模型的非线性离散时间系统辨识: 算法与性能分本[J]. 自动化学报, 2004, 30(6): 844-853.

[11] 万峰, 孙优贤. 非线性系统辨识中模糊模型参数收敛问题的进一步研究[J]. 自动化学报, 2007, 33(1): 109-112.

[12] Bui Cong Cuong, Hoang Viet Long. An approach to the functions approximation problems by Mamdani fuzzy system[C]//10th International Conference on Control, Automation, Robotics and Vision. Hanoi: IEEE, 2008: 850-855.

[13] 王文庆, 佟明安. 一类复杂控制系统分散自适应鲁棒控制器设计[J]. 控制理论与应用, 2004, 20(6): 884-888.

[14] Zhou Shaosheng, Feng Gang, Feng Chunbo. Robust control for a class of uncertain nonlinear systems: adaptive fuzzy approach based on backstepping[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2005, 151(1): 1-20.

[15] Liang Xifeng, Yang Ben, Wang Yiongwei. Simulation and test of trajectory tracking control for tomato harvesting manipulator based on fuzzy logic compensation[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering, 2013, 29(17): 16-23.

[16] Dong Chaoyang, Xu Lijie, Chen Yu, et al. Networked flexible spacecraft attitude maneuver based on adaptive fuzzy sliding mode control[J]. Acta Astronautica, 2009, 65(11): 1561-1570.

[17] Elshafei A L. Robust longitudinal aircraft control based on an adaptive fuzzy logic Algorithm[J]. Control and intelligent systems, 2003, 31(2): 63-70.

[18] Shin JinHol. Robust adaptive fuzzy backstepping control for trajectory tracking of an electrically driven nonholonomic mobile robot with uncertainties[J]. Journal of Institute of Control, 2012, 18(10):902-911.

[19] 李佳宁, 易建强, 赵冬斌, 等. 一种新的基于神经模糊推理网络的复杂系统模糊辨识方法[J]. 自动化学报, 2006, 32(5): 695-703.

[20] 廖龙涛, 李少远, 黄广斌. 规则可生长与修剪的非线性系统 TS 模糊模型辨识[J]. 自动化学报, 2007, 33(10): 1097-1100.

[21] 梁炎明, 刘丁, 伍光宇. 基于自适应重叠系数的 TS 模型在线辨识算法及应用[J]. 控制与决策, 2012, 27(9): 1425-1428.

[22] 施建中, 韩璞, 王东风, 等. 基于混合聚类算法的模糊函数系统辨识方法[J]. 信息与控制, 2011, 40(3): 387-392.

[23] 赵宝江, 李士勇. 基于蚁群聚类算法的非线性系统辨识[J]. 控制与决策, 2007, 22(10): 1193-1196.

[24] 乔俊飞, 王会东. 模糊神经网络的结构自组织算法及应用[J]. 控制理论与应用, 2008, 25(4): 703-707.

[25] 陈霄, 王宁. 基于混沌 DNA 遗传算法的模糊递归神经网络建模[J]. 控制理论与应用, 2012, 28(11): 1589-1594.

[26] 梁炎明, 苏芳, 李琦, 等. 基于支持向量机回归的 TS 模糊模型自组织算法及应用[J]. 自动化学报, 2013, 39(12):2143-2149.

[27] 胡昌华, 王兆强, 周志杰, 等. 一种 RVM 模糊模型辨识方法及在故障预报中的应用[J]. 自动化学报, 2011, 37(4): 503-512.

[28] 徐喆, 毛志忠. 一种基于模糊规则融合的模糊建模方法及其应用[J]. 控制与决策, 2013, 28(2): 169-176.

[29] 蒋亦樟, 邓赵红, 王士同. ML 型迁移学习模糊系统[J]. 自动化学报, 2012, 38(9): 1393-1409.

[30] 李 浩, 李士勇. 一种基于量子遗传算法的扩展 TS 模型辨识[J]. 控制与决策, 2013, 28(8): 1268-1272.

[31] 袁宇浩, 张广明. T-S 模糊广义系统研究综述[J]. 自动化学报, 2010, 36(7): 901-911.

[32] 王广军, 王志杰, 陈红. 基于递阶分解聚类的非线性系统递推模糊辨识[J]. 控制与决策, 2009, 24(12): 1846-1850.

[33] Aja-Fernández S, Alberola-López C. Matrix modeling of hierarchical fuzzy systems[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2008, 16(3): 585-599.

[34] Joo M G, Sudkamp T. A method of converting a fuzzy system to a two-layered hierarchical fuzzy system and its run-time efficiency[J]. Fuzzy Systems, IEEE Transactions on, 2009, 17(1): 93-103.

[35] Kouikoglou V S, Phillis Y A. On the monotonicity of hierarchical sum-product fuzzy systems[J]. Fuzzy sets and systems, 2009, 160(24): 3530-3538.

[36] 张宇卓, 李洪兴. 广义递阶 Mamdani 模糊系统及其泛逼近性[J]. 控制理论与应用, 2006, 23(3): 449-454.

[37] 王贵君, 李晓萍, 隋晓琳. 广义 Mamdani 模糊系统依 K-积分模的泛逼近及其实现过程[J]. 自动化学报 2014, 40(1):143-148.

[38] Joo M G, Lee J S. A class of hierarchical fuzzy systems with constraints on the fuzzy rules[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2005, 13(2): 194-203.

[39] 朱晓东, 王杰. 一种新型分层模糊系统及其逼近性能[J]. 控制与决策, 2013, 28(10): 1559-1563.

[40] 王贵君, 段晨霞. 广义分层混合模糊系统及其泛逼近性[J]. 控制理论与应用, 2012, 29(5): 673-680.

[41] 杨阳, 王贵君, 杨永强. 基于二叉树型分层的广义混合模糊系统推理规则数的缩减[J]. 控制理论与应用, 2013, 30(6): 765-772.

[42] 白裔峰, 肖建. 基于子空间划分的模糊系统模型辨识[J]. 控制与决策, 2006, 21(2): 135-138.

[43] Yan ShiYu, Sun ZengQi, Li Zhe. Universal approximation of TS fuzzy systems constructed dynamically-MISO cases[C]//American Control Conference (ACC), 2010. Baltimore: IEEE, 2010: 6472-6479.

[44] Xiong Ning. Learning flexible structured linguistic fuzzy rules for mamdani fuzzy systems[C]//IEEE International Conference on Fuzzy Systems. Jeju Island: IEEE, 2009: 86-91.

[45] 张伟, 毛剑琴. 基于模糊树模型的自适应模糊滑模控制方法[J]. 控制理论与应用, 2010, 27(2): 263-268.

[46] 丁海山, 毛剑琴, 林岩. 基于模糊树模型的自适应直接逆控制[J]. 自动化学报, 2008, 34(5): 574-580.

[47] 丁海山, 毛剑琴, 林岩. 基于模糊树模型的间接自适应模糊控制[J]. 自动化学报, 2008, 34(6): 676-683.

[48] Garibaldi J M, Guadarrama S. Constrained type-2 fuzzy sets[C]//2011 IEEE Symposium on Advances in Type-2 Fuzzy Logic Systems. Paris: IEEE, 2011: 66-73.

[49] Ying Hao. General interval type-2 Mamdani fuzzy systems are universal approximators[C]//Annual Meeting of the North American Fuzzy Information Processing Society. New York City, NY: IEEE, 2008: 1-6.

[50] 潘永平, 黄道平, 孙宗海. II 型模糊控制综述[J]. 控制理论与应用, 2011, 28(1): 13-23.

[51] 陈薇, 孙增圻. 二型模糊系统研究与应用[J]. 模糊系统与数学, 2005, 19(1): 126-135.

[52] Ngo L T. General type-2 fuzzy logic systems based on refinement constraint triangulated irregular network[J]. Journal of Intelligent and Fuzzy Systems, 2013, 25(3): 771-784.

[53] Uncu O, Turksen I B. Discrete interval type 2 fuzzy system models using uncertainty in learning parameters[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems. 2007, 15(1): 90-106.

[54] 张伟斌, 胡怀中, 刘文江. 二型模糊系统的规则提取算法[J]. 控制与决策, 2009, 24(3): 435-439.

[55] 张钦礼, 王士同,谭左平.二型 Takagi-Sugeno-Kang 模糊模型和不确定高斯混合模型的等价性[J]. 控制理论与应用, 2009, 26(2): 186-188.

[56] 姚兰, 肖建, 王嵩, 等. 自组织区间二型模糊神经网络及其自适应学习算法[J]. 控制理论与应用, 2013, 30(6):785-791.

[57] Abiyev R H, Kaynak O, Alshanableh T, et al. A type-2 neuro-fuzzy system based on clustering and gradient techniques applied to system identification and channel equalization [J]. Applied Soft Computing, 2011, 11(1): 1396-1406.

[58] Lee Ching-Hung, Hu Tzu-Wei, Lee Chung-Ta, et al. A recurrent interval type-2 fuzzy neural network with asymmetric membership functions for nonlinear system identification[C]//IEEE International Conference on Fuzzy Systems(IEEE World Congress on Computational Intelligence). Hong Kong: IEEE,2008: 1496-1502.

[59] Hostos H, Sanabria F, Mendez O, et al. Towards a coevolutionary approach for interval type-2 fuzzy modeling[C]//2011 IEEE Symposium on Advances in Type-2 Fuzzy Logic Systems (T2FUZZ). Paris: IEEE, 2011: 23-30.

[60] 潘永平, 孙宗海, 黄道平. 二型模糊集合与系统研究进展[J]. 控制理论与应用,2011, 28(12):1693-1703.

[61] 王银河,胡钧,崔乐远. 基于参数辨识和 TS 模糊模型的一类非线性系统镇定控制器设计[J]. 控制与决策, 2012, 27(6): 919-922.

[62] 邢宗义, 胡维礼, 贾利民. 基于 TS 模型的模糊预测控制研究[J]. 控制与决策, 2005, 20(5): 495-499.

[63] 王爽心, 董旸, 刘海瑞. 基于 TS 模型和小世界优化算法的广义非线性预测控制[J]. 控制与决策, 2011, 26(5): 673-678.

[64] 莫巨华, 黄敏, 王兴伟. 基于模糊控制的拉式策略在装配生产控制中的应用[J]. 自动化学报, 2011, 37(1): 118-123.

[65] 王银河, 高子林, 王钦若, 等. 基于自适应模糊逻辑系统的一类混沌系统同步控制[J]. 控制与决策, 2013, 28(9): 1309-1314.

[66] 吕红丽, 贾磊, 王雷, 等. 基于模糊线性化预测模型的 HVAC 系统温度控制[J]. 控制与决策, 2006, 21(12): 1412-1416.

[67] 陈富国, 邓冠男, 谭彦华. 一种改进的三级倒立摆变论域模糊控制器设计[J]. 控制理论与应用, 2010, 27(2): 233-237.

[68] 刘胜, 王宇超, 傅荟璇. 船舶航向保持变论域模糊:最小二乘支持向量机复合控制[J]. 控制理论与应用, 2011, 28(4): 485-490.

[69] 于龙, 肖建, 白裔峰. 基于批量模糊学习矢量量化的模糊系统辨识[J]. 控制与决策, 2007, 22(8): 903-906.

[责任编辑:祝剑]

Survey of progress in fuzzy systems as universal approximator

WANG Wenqing, YANG Zhenxin, TANG Xuan

(School of Automation, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

This paper summarizes the related research over the past decade about Mamdani and T-S fuzzy systems, especially the performance of them used as universal approximator. The performance factors and optimal way of the universal approximator are discussed. For the dimensionality-caused catastrophe, hierarchical fuzzy systems and type-2 fuzzy systems are analyzed as new approaches, and the latest achievements are also presented. In the end, the difficulties and its future development of fuzzy systems are discussed.

Mamdani fuzzy system, T-S formal fuzzy system, type-2 fuzzy system, universal approximators

2014-07-07

国家自然科学基金资助项目(61305098)

王文庆(1964-)，男，博士，教授，从事智能信息处理研究。E-mail:wwq@xupt.edu.cn 杨振新(1988-)，男，硕士研究生，研究方向为智能信息处理。E-mail:303897198@qq.com

10.13682/j.issn.2095-6533.2015.01.001

TP15

A

2095-6533(2015)01-0001-08