王昱魏延明李永于洋边炳秀，2（北京控制工程研究所，北京 00080） （2中国空间技术研究院通信卫星事业部，北京 00094）

基于粒子群算法的电帆轨迹优化设计

王昱1魏延明1李永1于洋1边炳秀1，2
（1北京控制工程研究所，北京 100080） （2中国空间技术研究院通信卫星事业部，北京 100094）

电帆是一种利用太阳风动量的新颖的无工质空间推进系统，文章研究了以电帆为对象的行星际转移轨迹优化问题。以地球轨道转移到火星、金星轨道为任务对象，采用连续推力模型，研究极坐标系下最小时间转移轨迹优化设计问题。提出了两种基于粒子群算法（PSO）的直接优化方法，避免对协态变量初值敏感的两点边值问题（TPBVP）求解。方法一是通过打靶法直接离散化控制量输入，将最优控制问题转化为非线性规划参数优化问题，采用PSO算法寻优，获得近似最优的转移轨迹。方法二是针对任何连续控制律曲线都能以一定精度的多项式函数进行曲线拟合的特性，设计逼近最优转移轨迹控制律的多项式函数，通过PSO算法优化多项式函数参数获得逼近最优解的转移轨迹。仿真结果表明采用上述两种方法进行转移轨迹优化设计，具有随机猜测初值、全局收敛、鲁棒性强的特点。

电帆；轨迹优化；粒子群算法；星际探测

1 引言

电帆是近年来提出的一种全新的无工质推进技术［1－2］；系统主要由一定数量的细长导线离心展开构成。电帆中心的离子枪向外发射电子，使导线保持较高的电势，从而在导线周围产生很强的电势结构，形成一个虚拟帆面。使太阳风中的质子发生偏转，通过动量交换的方式使航天器获得推力，具体组成原理如图1所示。电帆能以无推进剂损耗的方式进行空间旅行，因此，它能实现目前所有的空间行星际轨道转移，甚至飞出太阳系进行全新的科学探测。相比另一种无工质推进方式——太阳帆［3］，两者表现方式十分类似，但是电帆由于其虚拟帆面的结构组成特性，能极大地减少系统质量，增大电帆航天器的加速度。同时，由于工作机理的不同，电帆产生的推力随着距离太阳的增加以的速度衰减，而太阳帆推力以减小。因此，在深空探测和星际航行等航天领域，电帆将具有广阔的应用前景。

目前，国内外针对电帆的研究工作开展较少。文献［4］首先研究了使用电帆逃离太阳系的任务，通过使电帆先向太阳系内部转移获取较大的速度，然后以双曲线轨道逃离太阳系。在上述基础上，文献［5］研究了利用电帆实现两个日心圆轨道之间的最小时间转移问题，文献［6］研究了利用电帆向太阳系内危险小行星转移轨迹问题。

图1 电帆组成原理Fig.1 Conceptual sketch of an electric sail

针对电帆转移轨迹优化问题，现有文献［4－7］多采用间接法，通过Pontryagin极大值原理，获得一阶必要条件，合理猜测协态变量初值，求解两点边值问题来获得最优轨迹。该方法对初值具有很强的依赖性与敏感性，不合理的初值猜测往往收敛不到最优解。目前，国内少有关于电帆轨迹优化方面的研究，文献［8］中采用高斯伪谱法和序列二次规划（SQP）法求解电帆最优轨迹，克服了对协态变量初值敏感的问题。但是，伪谱法同时离散控制变量与状态变量，为获得满足高精度动力学方程约束时需选取大量配点，设计变量将变得十分庞大，且不当的初值选取会使问题收敛不到可行解。本文提出了两种基于粒子群算法的直接求解最优轨迹方法，采用直接打靶法仅离散控制变量。该方法不仅避免对初值敏感的协态变量的猜测，而且设计变量数目较少，具有随机猜测初值、全局收敛和鲁棒性强的特点。

方法一：本文通过打靶法直接离散控制变量，将连续的最优控制问题转化为非线性规划的参数优化问题，为保证控制量的连续性，在离散后的控制量节点间采用线性插值，通过粒子群算法（PSO）优化各节点处的离散控制量，获得近优转移轨迹。方法二：任何连续的最优控制律都能在一定精度下，采用多项式函数进行曲线拟合。针对上述特性，如果在轨迹设计时具有一定的先验知识，能够得到大致的控制律曲线，就能选用合适的算法优化该控制律参数，使其逼近最优控制律曲线。而实际中，对于一个未知的任务对象，通常具有较少的先验知识，很难直接获得控制律的多项式函数。本文在方法一获得的近优控制律的基础上结合理论分析，设计待优化的控制律多项式函数，通过约束处理，采用PSO算法对多项式函数参数进行优化，最终获取逼近全局最优的控制律曲线。

为验证上述算法的有效性和鲁棒性，本文以从地球轨道出发向太阳系外部和内部飞行到火星、金星轨道为例设计最小时间转移轨迹。

2 转移轨迹优化问题描述

2.1 动力学模型

图2 极坐标系和推力方向Fig.2 Reference frame and thrust angle

本文以空间共面圆轨道之间的转移轨迹为例，在极坐标系下建立电帆航天器的转移轨道模型（见图2）［7］。为了提高数值计算效率和精度，引入参考距离和参考时间对电帆动力学方程进行量纲为1化处理。参考距离为一个天文单位（AU），参考时间为，式中rs为地球到太阳的距离，μs为太阳引力常数，归一化后的动力学方程如方程组（1）所示：式中为电帆相对太阳的量纲为1距离；为电帆在极坐标系中的极角，逆时针为正，角度本身量纲为1；为电帆量纲为1的径向速度；为电帆量纲为1的切向速度；α为推进角，即推力方向与太阳－电帆连线夹角；a为电帆特征加速度，即相对太阳距离为1AU时的加速度；τ为电帆推力开关切换函数。

2.2 性能指标选取

由于电帆是一种无工质推进系统，轨迹转移过程中不消耗推进剂的质量，因此选取优化的性能指标为电帆航天器轨道转移过程中的时间最小，表示为

式中 tf为轨迹转移末端时刻；J为优化性能指标。

2.3 约束条件

（1）终端约束

为保证电帆航天器顺利完成与目标轨道的交会任务，必须满足以下终端约束条件：式中 rp为目标轨道相对太阳的距离。

（2）控制变量约束

由于电帆工作机理的特殊性，使得电帆在调整推力角的同时能改变推力的大小，即推力矢量的大小与方向是解耦的［9］。因此，本文选取推力角与推力大小作为控制变量。

在轨道转移过程中，受帆面稳定性限制，推力角绝对值应小于αmax，Mengali通过理论分析，估计αmax在20°～35°之间，本文假设αmax＝30°。电帆推力产生的加速度大小受导线数量、长度与航天器自身质量等因素影响，根据现有技术，电帆特征加速度a能达到2mm／s2，为方便与文献［8］中的结果进行比较，本文选取最大特征加速度为0.5mm／s2。综上所述，电帆在轨道转移过程中，控制变量受约束如下：

显然，当特征加速度为0时，相当于电帆停止工作，即开关函数τ＝0；当特征加速度为0.5mm／s2时，相当于电帆以最大推力工作，即开关函数τ＝1。因此，针对电帆特殊的作用机理，选取连续推力模型比选取固定推力模型更加精确。

3 基于打靶法＋PSO算法的轨迹优化策略

本文采用直接打靶法离散控制变量将最优控制问题的求解转化为非线性规划的参数寻优问题，优化算法选用PSO算法。理论上，只要选取的节点足够多，就能无限逼近连续最优控制律。而实际中，当选定的节点数较多时，给定的设计变量会变得非常多，不仅降低优化算法的计算效率，且可能收敛到局部最优解。

3.1 直接打靶法

打靶法［10］是一种仅离散控制变量的直接法，将连续的控制量参数化，把最优控制问题转化为非线性规划问题进行求解。本文以离散时间节点上的控制变量作为优化变量，时间节点之间的控制变量值采用分段线性插值的方式来近似，以获得较高的精度。上述过程的数学表达为

由于打靶法只离散控制变量，电帆动力学方程采用数值积分的方式进行计算，虽然积分过程会消耗大量时间，但是更能保证所获得结果的正确性与精度。

3.2 PSO算法

PSO［11］算法是一种基于群智能理论发展成的智能优化算法，将群体中的成员描述为空间内的一个质点，所有个体通过适配度函数来描述其与目标位置的距离。通过适配度函数选取种群中最优的粒子和每个粒子最优的位置，进而更新粒子的位置与速度信息，最终实现适配度函数收敛，智能优化目的。该算法是一种随机搜索，全局收敛的智能算法，原理简单，易于实现。数学描述为

式中 x表示空间粒子的位置；v表示粒子的速度，本文粒子中的参数为各离散时刻控制变量；w为惯性权重，用来调节粒子速度大小；δ1，δ2为两个学习因子；rand1，rand2为两个0～1之间的随机数，用来描述种群内部信息交换的学习程度；pi表示该粒子迄今为止最优的位置；pg表示该粒子群迄今为止最优的位置；下标i表示粒子编号，下标j表示粒子维度，即指粒子向量的长度。

将PSO算法应用到轨迹优化中需要合理地把终端约束条件反应到适配度函数中。本文采用静态罚函数法对终端约束进行处理，则适配度函数可表示成如下形式：式中 σ1，σ2，σ3，σ4为惩罚因子；rp，vp为电帆到达目标轨道时相对太阳的距离和速度。

对于转移轨迹过程中控制量的约束，采用投影法，在PSO算法中将超出飞行区域的粒子随机投影到限定范围内，满足控制量的约束。

3.3 仿真计算及结果分析

基于上述直接打靶法＋PSO算法的优化策略对电帆转移轨迹进行仿真计算。控制量离散化参数n＝10，即待优化的参数为10个推力角α，10个特征加速度a和一个终端时刻tf，共21个参数。PSO算法中粒子个数为40，迭代次数200次，学习因子δ1＝δ2＝2.1，惯性权重为w＝1－0.003t，惩罚因子σ1＝σ2＝σ3＝1 000，σ4＝2。

图3 地球至火星近优最小时间转移轨道Fig.3 Near time－optimal trajectory for an Earth－Mars transfer

（1）地球到火星转移轨迹优化

电帆从地球至火星共面圆轨道转移轨迹量纲为1化后的初始条件为（0）＝1，（0）＝0，（0）＝0，（0）＝1。末端量纲为1化的约束条件为（tf）＝1.523 6，（tf）＝0，（tf）＝0.810 1。

根据以上参数对电帆从地球至火星最优转移轨迹进行仿真计算，转移轨迹精度如表1所示，结果表明本文数据较好地满足了终端约束条件，到达预定轨道时剩余速度约为3.6m／s，总的轨道转移时间为505.22天，相比文献［7］中只增加了3天。电帆从地球至火星的近优最小时间转移轨迹如图3所示。转移轨迹过程中，相对太阳的距离、速度、特征加速度和推力角随时间变化曲线如图4所示。

表1 （地球—火星）状态量终端约束情况Tab.1 （Earth－Mars）values of state variables and terminal constraints

从图4可以看出，电帆在轨迹转移全程中都使用最大的推力进行工作，即特征加速度最大（数值为0.5mm／s2）。因为电帆是无工质推进系统，在不考虑能量最优的情况下，这一结论符合实际的工作原理。整个轨道转移过程中的推进角变化平滑，易于控制操作，平均帆面姿态改变小于1（°）／d，对姿态控制要求较低，说明这个近优转移轨迹是可实现的。另外，转移轨迹过程中距离和速度两个状态量变化平滑，飞行过程中数值不发生突变，能很好地收敛到终端约束值，表明该电帆近优转移轨迹能精确地从地球轨道转移到火星轨道。

图4 直接法＋PSO优化的地球－火星转移轨迹中状态及控制量变化曲线Fig.4 Time history of state variables and control using direct method plus PSO optimization

（2）地球到金星转移轨迹优化

表2 （地球－金星）状态量终端约束情况Tab.2 （Earth－Venus）values of state variables and terminal constraints

结果表明地球至金星最小转移时间为279.65天，且满足终端约束精度较高，到达金星轨道时航天器剩余速度小于10m／s。在整个转移过程中距离及速度各状态量变化平滑，表明该电帆近优转移轨迹能精确地从地球轨道转移到金星轨道。

图5 直接法＋PSO优化的地球－金星转移轨迹中状态及控制量变化曲线Fig.5 Time history of state variables and control using direct method plus PSO optimization

4 控制律设计＋PSO算法的轨迹优化策略

通过对地球到火星的轨道转移任务进行分析，可以知道当航天器远离初始轨道，向外飞行时，一种最小时间控制方式为：首先使推力方向沿着航天器运动方向，最大程度地增大轨道半径，同时使离心率增加，然后在某一时刻改变推力的方向，使轨道半径和离心率满足目标轨道要求。

然而通过上述简单的理论分析，依旧无法得到具体的控制律函数。因此，本文对直接打靶法＋PSO算法优化策略所得结果进行分析，发现维持该最优轨迹的推力角控制律曲线大致可以用三段二阶多项式函数来近似描述，而特征加速度为常值（0.5mm／s2）。因此，设计三段二阶多项式函数来逼近该最优推力角控制律，其数学描述为

式中 ai，bi，ci（i＝1，2，3）分别为多项式参数。

4.1 约束处理

通过对多项式函数性质的分析、电帆推力角的限制及各段控制律曲线的连接条件，为保证电帆航天器顺利完成与目标轨道的交会对接任务，本文选取的三段二阶多项式函数应分别满足如下约束条件，为使篇幅简洁，此处只给出地球－火星转移轨迹约束处理。

第一段多项式函数约束：

第二段多项式函数约束：

第三段多项式函数约束：

4.2 仿真计算与结果分析

对满足上述约束条件的多项式函数用PSO算法进行参数优化，因此一共需要优化9个多项式系数及3个时间节点，共12个参数。选用式（7）作为适配度函数，适配度函数中的惩罚因子与PSO算法中的参数采用与前面仿真计算相同的参数。电帆航天器地球－火星的转移轨迹精度如表1所示，地球－金星的转移轨迹精度如表2所示。地球—火星最优转移轨迹的距离、速度和推力角随时间的变化曲线如图6所示。

图6 控制律设计＋PSO优化的地球－金星转移轨迹中状态及控制量变化曲线Fig.6 Time history of state variables and control using control law design plus PSO optimization

由仿真结果可以看出，采用控制律设计＋PSO算法优化策略设计的转移轨道，地球至火星的最小转移时间为502.86天，与文献［7］中的结果相同。地球－金星最小转移时间为278.6天。能更好地满足终端约束条件，距离与速度状态量的终端相对误差均为10－6，表明该电帆最优轨迹能精确地从地球轨道转移到火星、金星轨道，这种轨迹优化策略能极大程度上逼近最优控制律曲线。从图6中可以看出，整个轨迹转移过程中控制量及状态量均变化平滑，数值无明显突变，表明该最优轨迹具有良好的实现能力。

5 结束语

电帆航天器的转移轨道优化设计对深空探测及星际航行具有重要的意义。本文针对上述问题提出了两种原理简单、随机猜测初值、鲁棒性强的最优轨迹设计策略。方法一是采用直接法离散控制变量，将最优控制问题转化为非线性规划参数优化问题，并通过PSO算法求解。方法二是一种新颖的轨迹优化设计思路，通过对任务对象进行分析，设计一种控制律函数，然后对该控制律函数的参数进行优化，获得逼近实际最优的连续控制律函数。两种算法均具有随机猜测初值、全局收敛的特性，且针对不同任务对象具有良好的计算精度，鲁棒性强。仿真结果表明，采用本文提出的两种最优轨迹设计策略，能很好地满足终端条件的约束，且最终轨迹转移时间接近最小时间。

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Trajectory Optimization of Electric Sail Based on Particle Swarm Algorithm

WANG Yu1WEI Yanming1LI Yong1YU Yang1BIAN Bingxiu1，2
（1Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100080）
（2Institute of Telecommunication Satellite，China Academy of Space Technology，Beijing 100094）

The electric sail is an innovative non－propellant propulsion in space which takes advantage of the momentum of the solar wind.The minimum－time interplanetary transfer problem of the electric sail was studied.The mission scenarios about transferring from the Earth to the Mars and Venus were investigated，using a continuous steering law model，in a polar inertial frame.Two direct methods based on the particle swarm optimization（PSO）algorithm were proposed，which avoided solving the two point boundary value problem （TPBVP）which was sensitive to the initial value of the costate variables.The first method used the shooting method to discretized the control variables，transforming the optimal control problem into a parameter optimization problem of nonlinear propramming.Based on the PSO algorithm，the near optimal transfer trajectory was obtained.The second method focused on the characteristics that all the continuous control laws can be fitted using the polynomial function under certain precision.A control law was designed to approximate the optimal transfer trajectory based on the analysis of the results from the first method，and the PSO algorithm was used to optimize the parameters of the designed control law.The simulation results show that both methods have the advantages of the random initial variable selection，large convergence range and good robustness.

Electric sail；Trajectory optimization；Particle swarm algorithm；Interplanetary exploration

10.3780／j.issn.1000－758X.2015.03.004

王 昱 1986年生，2012年获北京工业大学化学工程专业硕士学位，现为中国空间技术研究院控制理论与控制工程专业博士研究生。研究方向为航天器轨道设计及姿态控制。

（编辑：杨婵）

2014－08－11。收修改稿日期：2015－01－20。