郑慧慧,谷　峰

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州310036)

乘积度量空间中两对自映象的公共不动点定理

郑慧慧,谷峰

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州310036)

摘要：在乘积度量空间中，利用自映象对的弱交换条件，证明了两对自映象的几个新的公共不动点定理，并且提供了一个支持新结果的实际例子. 所得结果改进和推广了Ozavsar和Cevikel的相关结果.

关键词：乘积度量空间；弱交换映象；公共不动点

1引言和预备知识

近年来,在不同压缩条件下映象的公共不动点理论已经取得了许多重要的研究成果.谷峰等[1]在完备度量空间中证明了弱交换映象对的公共不动点定理.Ozavsar等[2]首次引进了乘积度量空间的概念，并在完备乘积度量空间中证明了映象的一些公共不动点定理.后来He等[3]证明了乘积度量空间中弱交换映象的公共不动点定理.本文的目的是在完备乘积度量空间中讨论两对弱交换映象的公共不动点问题，证明了几个新的公共不动点定理.

定义1[2]设X是非空集合，称映象d:X×X→R+是X上的一个乘积度量，如果以下条件被满足：

1)d(x,y)≥1,∀x,y∈X,d(x,y)=1当且仅当x=y；

2)d(x,y)=d(y,x),∀x,y∈X；

3)d(x,y)≤d(x,z)·d(z,y),∀x,y,z∈X.

称(X,d)为一个乘积度量空间.

定义4[2]称乘积度量空间X是完备的，如果其中的任意积性柯西列都积性收敛于X中的某一点.

2主要结果

(Ⅰ)SX⊂BX，TX⊂AX；

(Ⅱ)A和S弱交换，B和T也是弱交换的；

(Ⅲ)S,T,A和B之一连续；

则S,T,A和B在X中有唯一的公共不动点.

使用条件(Ⅳ)可得

同理有

综上，∀n∈N,我们有

于是，对∀n>m，有

令n→∞，得

令n→∞，得

又因为z=Sz∈SX⊂BX,所以∃z*∈X使得z=Bz*. 由条件(Ⅳ)有

由B和T是弱交换映象可知

所以Bz=Tz. 进而

综上得Sz=Az=Bz=Tz=z，于是z是S,T,A和B……