□浙江省长兴县第二实验小学　吴慧婷

多元表征，建构模型——“数的奇偶性”教学实践与思考

□浙江省长兴县第二实验小学吴慧婷

2013年教育部审定的义务教育教科书数学五年级下册第二单元“因数和倍数”中，增加了用数的特征解决问题。如教材15页例2，研究两数之和的奇偶性的纯数学问题。

人教版义务教育课程标准实验教科书五年级下册第二单元“因数和倍数”中，在总结了2的倍数的特征的基础上，介绍了偶数与奇数的概念。只在练习三中，以星号题（第十三题）的形式呈现，让学生结合具体的数来理解奇数和偶数的性质。

“数的奇偶性”一课以探索两数之和的奇偶性为例，让学生在探究过程中获得数学活动的经验，丰富解决问题的策略。如何实施教学，落实并检测教学目标呢？笔者尝试解决问题与数学建模活动有效结合。

一是用算式表征数学问题。“奇数与偶数的和是奇数还是偶数？奇数与奇数的和是奇数还是偶数？偶数与偶数的和呢？”该例题属于“解决问题”，学生首先要阅读并理解题意。小学高年级学生已具有一定的学习经验，可将题意转化为三组算式：

奇数+偶数=奇数奇数+奇数=奇数偶数+偶数=偶数

奇数+偶数=偶数奇数+奇数=偶数偶数+偶数=奇数

学生有意识地用算式表征问题，这是数学建模的起点。问题简洁明了，学习目标明确，有利于自主探索。

二是多种方法获取模型。解决问题的中心环节是分析与解答，即怎样研究。这也是数学建模的重要环节。传统教学数的奇偶性，只采用举例法，属于不完全归纳法。在实践中发现，学生在举例时清楚数的奇偶性，但在应用时，较多学生凭猜测或死记硬背，错误率较高。如何让学生正确理解数的奇偶性，并能熟练灵活应用，需要多种方法结合获取结论，掌握科学的学习方法。

课前有孕伏。奇数、偶数概念产生后，教师有意识地为“数的奇偶性”教学做了两次孕伏。奇数、偶数概念的产生以2的倍数特征为基础，学生生活经验丰富，对奇数、偶数不陌生，并得出规律：奇数除以2余数是1，偶数除以2余数是0。这一知识为用语言解释数的奇偶性做了第一次孕伏。在学生认识奇数和偶数后，引导其动手操作，用1个小正方形表示1，一个接一个摆成两行。在不断的操作中，学生发现：偶数个小正方形总能摆成一个长方形，而奇数个小正方形总缺1个（也可以说多1个）。这一发现为以形助数获取数的奇偶性做了第二次孕伏。

课中有体现。课前孕伏，事半功倍。“你准备怎么研究？除了举例，还有其他的方法吗？”激起学生的研究兴趣。学生首选方法是举例验证，接着是画图和用语言描述。笔者收集了课堂上学生的作品，学生介绍了每种方法的好处：举例，采用小数字，易发现规律；画图，数形结合，形的直观帮助理解抽象的数的奇偶性；语言描述，两个加数分别除以2有无余数，决定了和有无余数，即奇数还是偶数。举例、图示、说理，三种方法结合使用，得出结论：奇数+偶数=奇数、奇数+奇数=偶数、偶数+偶数=偶数，提高了数的奇偶性的可靠性，增强了学生对结论的理解。学生自主探索，通过观察、分析、抽象、概括等数学活动，完成了模式抽象，得到数的奇偶性模型。

三是多维度验证模型。得到模型，要通过模型去求出结果并讨论结果的意义。即获得结论，需要验证。

举例验证。在获取结论时学生往往采用小数字例子，便于得出规律。在验证时，往往会用大数字例子检验。如教材中的534+319=853，用上述获得的结论解释应得到奇数，算出得数也是奇数，结论与检验结果吻合。

联想验证。从一年级上册起，学生就在接触加减法四式练习，高年级学生已学会用加减法的关系解释简单的数学问题。若“奇数+偶数=奇数”是对的，那么“奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数”一定成立。学生只要用举例、图示或说理等方法去验证“奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数”是否正确。同理，奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，可以去验证“偶数-奇数=奇数，偶数-偶数=偶数”。不仅验证了和的奇偶性，又获得了差的奇偶性结论。

四是应用模型体现价值。用模型解决所有这类问题，体现模型价值。建立数的奇偶性模型，通过不同层次的练习来加强理解。

1.基本练习促巩固。在以往的教学中，对奇偶性的教学比较单一，只用举例。学生在判断奇偶性时盲目性较大，错误率高。现在学生解决类似的题目，方法多样。作业反馈时，正确率位94％。在访谈中问学生是怎样想的，较多人回答用图示和说理，图示的直观性、余数的判断更有效，并且判断后再用数字验证是否正确。

2.变式练习用迁移。教材16页第4题，奇数与奇数的积是奇数还是偶数？奇数与偶数的积是奇数还是偶数？偶数与偶数的积呢？学生经历了和、差的奇偶性的学习过程，用迁移独立解决积的奇偶性，甚至商的奇偶性，举一反三。

3.对比练习清本质。

该题将数的奇偶性与质数、合数综合应用，区分各概念的本质含义。学生在解决该题时，首先判断两个偶数的和、差、积、商，再判断质数还是合数。将习题用足用透，若将“A和 B都是偶数”改为“A、B都是奇数”呢？学生熟悉了数的奇偶性特征，以及奇数与偶数、质数与合数的分类依据。

解决问题是按照一定的目标，应用各种认知活动、技能等，经过一系列的思维操作，使问题得以解决的过程。教师要培养学生解决问题的能力，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，帮助学生建立思维习惯。解决问题，常常经历猜想、验证、获得结论的过程，让学生学会从一般到特殊，研究特殊情况发现一般方法；学会从抽象到具体，化难为易；学会数形结合，直观形象助理解。同时在解决问题中，学会寻找数学模型，建立数学模型及应用数学模型。