田录林， 张庆， 田亚琦， 贾嵘

(1．西安理工大学 水利水电学院，陕西 西安 710048； 2．重庆江北中学，重庆 400714)

矩形和直角三角形截面永磁体磁力解析模型

田录林1， 张庆1， 田亚琦2， 贾嵘1

(1．西安理工大学 水利水电学院，陕西 西安 710048； 2．重庆江北中学，重庆 400714)

针对永磁体间的磁力用数值法计算复杂、计算工作量大，且不便于永磁体结构参数优化的不足，本文基于磁荷法和虚位移法得到两细长永磁体磁力公式，采用四重积分法建立了全新的矩形和直角三角形截面永磁体磁力解析模型，分析了磁力与永磁体结构参数关系，ANSYS仿真验证了该解析模型的正确性。结果表明，该解析模型计算值和ANSYS仿真值吻合，采用该解析模型进行磁力计算相对简单且计算时间大大减小，计算精度提高。

矩形； 直角三角形； 永磁体； 磁力解析模型； ANSYS仿真

传统的机械导轨由于有接触摩擦，所以存在振动、噪音及发热等问题。如何实现高速机床导轨节能、高效高速可靠运行，就必须解决高速运动支承这一关键技术问题。磁悬浮技术是利用磁场力将运动机械无机械接触地悬浮起来，它对改善设备的振动、噪音、高速性能及提高节能和使用寿命等有重要意义。与电磁[1-2]、超导磁浮[3-5]相比，永磁悬浮[6-13]具有无功耗、结构简单、体积小、成本低等优点。1980年Halbach提出一种新型的永磁体排列方式，它将不同磁化方向的永磁体按照一定的顺序排列，使得阵列一边的磁场显著增强，另一边的磁场显著削弱。由矩形截面永磁体构成Halbach永磁导轨时，由于磁场在磁体接缝处不能顺畅过渡，直接影响其承载力。采用横截面为梯形永磁体构成Halbach 永磁导轨时，当磁力线经过梯形永磁体两个腰斜面接缝时更能顺畅过渡，可实现汇集磁能于永磁导轨工作间隙，达到提高其承载力及刚度的目的。梯形截面永磁体可视为是由两个直角三角形截面和一个矩形截面永磁体构成[14]。两个梯形截面永磁体的磁力解析计算，涉及两个直角三角形截面永磁体磁力计算、两个矩形截面永磁体磁力计算及截面为矩形和直角三角形永磁体间的磁力解析计算。但迄今国内外文献还没有横截面为矩形和直角三角形永磁体间的磁力解析计算模型，截面为梯形的两永磁体间的磁力及由其构成的Halbach 永磁导轨的磁力计算只有数值算法。数值计算的优点是适应范围宽，但数值算法计算复杂、计算工作量大，不便于永磁体结构参数优化，不便于一般工程人员掌握。而磁力解析模型具有计算量小且便于永磁体结构参数优化的优点。因此，建立设计计算精度高、计算量小且便于结构参数优化的矩形和直角三角形截面的两永磁体磁力解析模型具有基础性、实用性和必要性。本文基于磁荷法和虚位移法得到两细长永磁体磁力公式，采用繁杂的四重积分法建立了目前国内外还没有的全新矩形和直角三角形截面永磁体磁力解析模型，分析了磁力与永磁体结构参数的关系。用ANSYS软件仿真验证了模型的正确性，结果表明，该解析模型磁力计算时间大大减小，计算精度较高，误差满足工程应用的要求。

1 矩形和直角三角形截面永磁体磁力解析式

两长直细条形永磁体，一个过P(x1,z1)点与y轴重合，一个过M(x2,z2)点与y轴平行(见图1)。

基于点磁荷二维磁场和虚功原理法可得单位长度的两细条形永磁体之间的磁力[15]为：

(1)

(2)

式中：J1和J2为永磁体磁极化强度矢量的模，其在y轴方向的分量为0，量值分别等于永磁体剩磁感应强度Br1和Br2；μ0=4π×10-7H/m为真空磁导率；rPM为同一横截面内两细条形永磁体间的距离；β1和β2分别为J1和J2与x轴正方向的夹角；θ为rPM与x轴正方向的夹角；ds1、ds2为两长直细条形永磁体的横截面微面积。

纵向长度为L的矩形截面和三角形截面永磁体的4种布置方式如图2所示，参数在图中标注，箭头为磁化矢量方向。

以下是采用四重积分法推导出的两永磁体磁力解析模型的z轴方向和x轴方向磁力解析表达式。

对式(1)积分(取β1+β2=0)可得两永磁体在z轴方向的磁力Fz。

-Br1Br2L×10-6/πμ0×[±Φ(n,g,f)]

(3)

Φ(n,g,f)={[a/(2×(1+f2))×arctan((h-f×(c+e-g))/(c+e-a))]+[(-h+f×(c+e-g)-f×(c+e-a))/(4×(1+f2))×ln((c+e-a)2+(-h+f×(c+e-g))2)]+[(h-f×(c+e-g)+f×(c+e))/(4×(1+f2))×ln((c+e)2+(-h+f×(c+e-g))2)]+[(-(c+e)-f×(-h+f×(c+e-g)))/(2×(1+f2))×arctan((a-c-e)/(h-f×(c+e-g)))]+[(c+e+f×(-h+f×(c+e-g)))/(2×(1+f2))×arctan((-c-e)/(h-f×(c+e-g)))]+[-a/(2×(1+f2))×arctan((b+h-f×(c+e-g))/(c+e-a))]+[(b+h-f×(c+e-g)+f×(c+e-a))/(4×(1+f2))×ln((c+e-a)2+(-(b+h)+f×(c+e-g))2)]+[(-(b+h)+f×(c+e-g)-f×(c+e))/(4×(1+f2))×ln((c+e)2+(-(b+h)+f×(c+e-g))2)]+[(c+e+f×(-(b+h)+f×(c+e-g)))/(2×(1+f2))×arctan((a-(c+e))/(b+h-f×(c+e-g)))]+[(-(c+e)-f×(-(b+h)+f×(c+e-g)))/(2×(1+f2))×arctan((-(c+e))/(b+h-f×(c+e-g)))]+[-a/(2×(1+f2))×arctan((h-f×(c-g))/(c-a))]+[(h-f×(c-g)+f×(c-a))/(4×(1+f2))×ln((c-a)2+(-h+f×(c-g))2)]+[(-h+f×(c-g)-f×c)/(4×(1+(d/e)2))×ln(c2+(-h+f×(c-g))2)]+[(c+f×(-h+f×(c-g)))/(2×(1+f2))×arctan((a-c)/(h-f×(c-g)))]+[(-c-f×(-h+f×(c-g)))/(2×(1+f2))×arctan(-c/(h-f×(c-g)))]+[a/(2×(1+f2))×arctan((b+h-f×(c-g))/(c-a))]+[(-(b+h)+f×(c-g)-f×(c-a))/(4×(1+f2))×ln((c-a)2+(-(b+h)+f×(c-g))2)]+[(b+h-f×(c-g)+f×c)/(4×(1+f2))×ln(c2+(-(b+h)+f×(c-g))2)]+[(-c-f×(-(b+h)+f×(c-g)))/(2×(1+f2))×arctan((a-c)/(b+h-f×(c-g)))]+[(c+f×(-(b+h)+f×(c-g)))/(2×(1+f2))×arctan(-c/(b+h-f×(c-g)))]+[-a/2×arctan((h+n)/(c+e-a))]+[(h+n)/4×ln((c+e-a)2+(h+n)2)]+[-(h+n)/4×ln((c+e)2+(h+n)2)]+[(c+e)/2×arctan((a-c-e)/(h+n))]+[-(c+e)/2×arctan((-c-e)/(h+n))]+[a/2×arctan((b+h+n)/(c+e-a))]+[-(b+h+n)/4×ln((c+e-a)2+(b+h+n)2)]+[(b+h+n)/4×ln((c+e)2+(b+h+n)2)]+[-(c+e)/2×arctan((a-c-e)/(b+h+n))]+[(c+e)/2×arctan((-c-e)/(b+h+n))]+[a/2×arctan((h+n)/(c-a))]+[-(h+n)/4×ln((c-a)2+(h+n)2)]+[(h+n)/4×ln(c2+(h+n)2)]+[-c/2×arctan((a-c)/(h+n))]+[c/2×arctan(-c/(h+n))]+[-a/2×arctan((b+h+n)/(c-a))]+[(b+h+n)/4×ln((c-a)2+(b+h+n)2)]+[-(b+h+n)/4×ln(c2+(b+h+n)2)]+[c/2×arctan((a-c)/(b+h+n))]+[-c/2×arctan(-c/(b+h+n))]}

(4)

对应图2(a)、(b)、(c)、(d)四种结构，两永磁体z轴方向磁力分别如下：

其中：

对式(2)积分(取β1+β2=0),可得两永磁体在x轴方向的磁力Fx：

-Br1Br2L×10-6/πμ0×[±Ψ(m,g,f)]

(5)

Ψ(m,g,f)={[-(h+d)/2×arctan((c+m-a)/(h+d))]+[(b+h+d)/2×arctan((c+m-a)/(b+h+d))]+[-(c+m-a)/4×ln((h+d)2+(c+m-a)2)]+[(c+m-a)/4×ln((b+h+d)2+(c+m-a)2)]+[(h+d)/2×arctan((c+m)/(h+d))]+[-(b+h+d)/2×arctan((c+m)/(b+h+d))]+[(c+m)/4×ln((h+d)2+(c+m)2)]+[-(c+m)/4×ln((b+h+d)2+(c+m)2)]+[h/2×arctan((c+m-a)/h)]-[-(b+h)/2×arctan((c+m-a)/(b+h))]+[(c+m-a)/4×ln(h2+(c+m-a)2)]+[-(c+m-a)/4×ln((b+h)2+(c+m-a)2)]+[-h/2×arctan((c+m)/h)]+[(b+h)/2×arctan((c+m)/(b+h))]+[-(c+m)/4×ln(h2+(c+m)2)]+[(c+m)/4×ln((b+h)2+(c+m)2)]+[(h+d)/(2×(1+f2))×arctan((g-f×d-a)/(h+d))]+[-(b+h+d)/(2×(1+f2))×arctan((g-f×d-a)/(b+h+d))]+[(g-f×d-a+f×(h+d))/(4×(1+f2))×ln((h+d)2+(g-f×d-a)2)]+[(-(g-f×d-a)-f×(b+h+d))/(4×(1+f2))×ln((b+h+d)2+(g-f×d-a)2)]+[-(h+d)/(2×(1+f2))×arctan((g-f×d)/(h+d))]+[(b+h+d)/(2×(1+f2))×arctan((g-f×d)/(b+h+d))]+[(-(g-f×d)-f×(h+d))/(4×(1+f2))×ln((h+d)2+(g-f×d)2)]+[((g-f×d)+f×(b+h+d))/(4×(1+f2))×ln((b+h+d)2+(g-f×d)2)]+[(-f×(g-f×d-a))/(2×(1+f2))×arctan(-(h+d)/(g-f×d-a))]+[(f×(g-f×d-a))/(2×(1+f2))×arctan(-(b+h+d)/(g-f×d-a))]+[(f×(g-f×d))/(2×(1+f2))×arctan(-(h+d)/(g-f×d))]+[-(f×(g-f×d))/(2×(1+f2))×arctan(-(b+h+d)/(g-f×d))]+[-h/(2×(1+f2))×arctan((g-a)/h)]+[(b+h)/(2×(1+f2))×arctan((g-a)/(b+h))]+[(-(g-a)-f×h)/(4×(1+f2))×ln(h2+(g-a)2)]+[((g-a)+f×(b+h))/(4×(1+f2))×ln((b+h)2+(g-a)2)]+[h/(2×(1+f2))×arctan(g/h)]+[-(b+h)/(2×(1+f2))×arctan(g/(b+h))]+[(g+f×h)/(4×(1+f2))×ln(h2+g2)]+[(-g-f×(b+h))/(4×(1+f2))×ln((b+h)2+g2)]+[(f×(g-a))/(2×(1+f2))×arctan(-h/(g-a))]+[-(f×(g-a))/(2×(1+f2))×arctan(-(b+h)/(g-a))]+[-(f×g)/(2×(1+f2))×arctan(-h/g)]+[(f×g)/(2×(1+f2))×arctan(-(b+h)/g)]}

(6)

对应图2(a)、(b)、(c)、(d)四种结构，两永磁体x轴方向磁力分别如下：

其中:

适用任意磁化方向的两永磁体磁力解析模型为：

cos(β1+β2)sin(3θ)]ds1ds2=

Ksin(β1+β2)[±Ψ(m,g,f)]-Kcos(β1+β2)[±Φ(n,g,f)]

-Kcos(β1+β2)[±Ψ(m,g,f)]-Ksin(β1+β2)[±Φ(n,g,f)]

式(3)～(6)为一对纵向长度为L、横截面分别为矩形和直角三角形的两永磁体磁力解析模型，以上解析模型永磁体参数应满足：c>a或h>0。式中磁力单位为N，长度单位为mm。

2 ANSYS仿真分析

本文采用ANSYS仿真软件来验证文中解析模型的正确性。选用的NdFeB为永磁材料,其性能如下：

Br=1.13 T,Hc=800 kA/m,μr=Br/(μ0Hc)=1.124

2.1 磁力Fx与参数的关系分析

下文图中的Fx(M)或Fz(M)为解析模型计算值，Fx(A)或Fz(A)为ANSYS仿真值。下文计算取永磁体长度L=1 000 mm。下图中将解析计算与仿真计算进行了4组对比，分别对应图2中的4种相对位置。

2.1.1 磁力Fx与参数a的关系

取永磁体参数b=d=15 mm,c=5 mm,e=10 mm,h=2 mm。将相关参数代入式(5)，解析模型计算结果及ANSYS仿真结果见图3。

由图3可以看出：磁力Fx随着参数a的增大呈先增大后减小的趋势。其最大误差为15.5%，最小误差为1.6%，平均误差为6.2%。

2.1.2 磁力Fx与参数b的关系

取永磁体参数a=e=10 mm,c=5 mm,d=15 mm,h=2 mm。将相关参数代入式(5)，解析模型计算结果及ANSYS仿真结果见图4。

由图4可以看出：磁力Fx随着参数b的增大呈单调递增趋势，增大到最大后趋于平缓。图4中最大误差为16.7%，最小误差为0.76%，平均误差为4.9%。

2.1.3 磁力Fx与参数c的关系

取永磁体参数a=e=10 mm,b=d=15 mm,h=2 mm。将相关参数代入式(5)，解析模型计算结果及ANSYS仿真结果见图5。

由图5可以看出：磁力Fxb随着参数c的增大在正值的时候呈单调递减的趋势，减到负值之后呈单调递增的趋势；Fxd呈缓慢减小的趋势；Fxa和Fxc呈先增大后减小的趋势。图5中最大误差为15.5%，最小误差为0.4%，平均误差为3.3%。

2.1.4 磁力Fx与参数d的关系

取永磁体参数a=e=10 mm,b=15 mm,c=5 mm,h=2 mm。将相关参数代入式(5)，解析模型计算结果及ANSYS仿真结果见图6。

由图6可以看出：磁力Fxb和Fxd随着参数d的增大而减小；Fxa和Fxc呈单调递增的趋势。图6中最大误差为18.3%，最小误差为1.3%，平均误差为12.0%。

2.1.5 磁力Fx与参数e的关系

取永磁体参数a=10 mm,b=d=15 mm,c=5 mm,h=2 mm。将相关参数代入式(5)，解析模型计算结果及ANSYS仿真结果见图7。

由图7可以看出：磁力Fxb随着参数e的增大而增大；Fxa、Fxc、Fxd呈单调递增的趋势,最后趋于平稳。图7中最大误差为13.3%，最小误差为0.3%，平均误差为9.2%。

2.1.6 磁力Fx与参数h的关系

取永磁体参数a=e=10 mm,b=d=15 mm,c=5 mm。将相关参数代入式(5)，解析模型计算结果及ANSYS仿真结果见图8。

由图8可以看出：磁力Fx随着参数h的增大呈单调递减趋势，最后趋于平稳。图8中最大误差为14.8%，最小误差为1.7%，平均误差为10.1%。

2.2 磁力Fz与相关参数关系分析

2.2.1 磁力Fz与参数a的关系

取永磁体参数b=d=15 mm,c=5 mm,e=10 mm,h=2 mm。将相关参数代入式(3)，解析模型计算结果及ANSYS仿真结果见图9。

由图9可以看出：磁力Fza、Fzc、Fzd随着参数a的增大在正值部分先增大后减小，减小到负值之后呈先增大后减小的趋势，最后趋于平稳；Fzb单调递增最后趋于平稳。图9中最大误差为16.1%，最小误差为0.9%，平均误差为7.1%。

2.2.2 磁力Fz与参数b的关系

取永磁体参数a=e=10 mm,c=5 mm,d=15 mm,h=2 mm。将相关参数代入式(3)，解析模型计算结果及ANSYS仿真结果见图10。

由图10可以看出：磁力Fz随着参数b的增大而单调递增，最后趋于平稳。图10中最大误差为17.5%，最小误差为0.25%，平均误差为3.6%。

2.2.3 磁力Fz与参数c的关系

取永磁体参数a=e=10 mm,b=d=15 mm,h=2 mm。将相关参数代入式(3)，解析模型计算结果及ANSYS仿真结果见图11。

由图11可以看出：磁力Fz随着参数c的增大在负值部分逐渐减小，到达正值之后逐渐增大。图11中最大误差为14.8%，最小误差为1.8%，平均误差为6.8%。

2.2.4 磁力Fz与参数d的关系

取永磁体参数为：a=e=10 mm,b=15 mm,c=5 mm,h=2 mm。将相关参数代入式(3)，解析模型计算结果及ANSYS仿真结果见图12。

由图12可以看出：磁力Fzb随着参数d的增大先增大后减小，最后趋于稳定；Fza、Fzc、Fzd逐渐增大。图12中最大误差为14.6%，最小误差为4.0%，平均误差为12.7%。

2.2.5 磁力Fz与参数e的关系

取永磁体参数a=10 mm,b=d=15 mm,c=5 mm,h=2 mm。将相关参数代入式(3)，解析模型计算结果及ANSYS仿真结果见图13。

由图13可以看出：磁力Fza和Fzd随着参数e的增大在负值部分先增大后减小，到达正值后逐渐增大；Fzb呈单调递增趋势；Fzc先增大后减小。图13中最大误差为14.7%,最小误差为0.8%，平均误差为9.2%。

2.2.6 磁力Fz与参数h的关系

取永磁体参数a=e=10 mm,b=d=15 mm,c=5 mm。将相关参数代入式(3)，解析模型计算结果及ANSYS仿真结果见图14。

由图14可以看出：磁力Fza和Fzd随着参数h的增大先增大后减小，最后趋于平缓；Fzb和Fzc呈单调递减趋势。图14中最大误差为16.7%，最小误差为0.1%，平均误差为10.6%。

误差分析：由于该模型存在个别奇异点(即在积分过程中分母为零的点)，因此，接近奇异点的参数计算误差偏大；其次，ANSYS仿真所施加的边界范围及条件大小不同也影响了仿真计算的精度。但总体来看，平均误差都在工程误差允许的范围内。

3 结 语

本文建立了截面为矩形和直角三角形的两永磁体磁力解析模型，分析了4种不同布置方式两磁体间各个参数之间的关系。结果表明：解析模型计算结果与ANSYS仿真结果吻合，平均误差在工程误差的允许范围内。该文填补了截面为矩形和直角三角形的永磁体磁力计算只有复杂的数值算法，而没有便于工程设计计算的磁力解析模型的空白,为截面为梯形的两永磁体间的磁力及由其构成的Halbach 永磁导轨的磁力研究奠定了坚实的基础。

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(责任编辑 王卫勋，王绪迪)

Magnetic force analytic model of rectangle and right triangle section PM

TIAN Lulin1， ZHANG Qing1， TIAN Yaqi2， JIA Rong1

(1.Faculty of Water Resources and Hydroelectric Engineering, Xi’an University of Technology,Xi’an 710048, China; 2.Chongqing Jiangbei High School, Chongqing 400714, China)

With an aim at the shortage of numerical method calculation permanent magnet(PM) magnetic force complicacy, large calculation workload, and inconvenience for the permanent magnet structure parameter optimization, and based on magnetic charge method and virtual displacement method,this paper obtains two slender PM magnetic force formula, and establishes a new magnetic force analytical model( MFAM) of a rectangular cross-section PM and an aright-angled triangle cross-section PM using a complicated quadruple integral. The relationship between PM magnetic force and PM structure parameters is analyzed. The correctness of the analytical model is validated by ANSYS simulation. The results shows that the MFAM and ANSYS simulation result inosculate,and that the adoptation of this analytical model in calculating magnetic force is relatively simple and calculation time can be greatly reduced with high calculation accuracy.

rectangle； right-angled triangle； permanent magnet； magnetic force analytical model； ANSYS simulation

1006-4710(2015)04-0414-08

2015-01-04

陕西省科学技术研究计划资助项目(2010K733);国家自然科学基金资助项目(51279161；E090604)。

田录林，男，博士，教授，研究方向为磁浮轴承动力学、机电故障检测。E-mail:lulintianxs@126.com。

TM133.3

A