于冬冬 王乐洋，2，3

1 东华理工大学测绘工程学院，南昌市广兰大道418号，330013

2 江西省数字国土重点实验室，南昌市广兰大道418号，330013

3 流域生态与地理环境监测国家测绘地理信息局重点实验室，南昌市广兰大道418号，330013

在测量数据处理中，病态问题会造成参数估值与真值相差较大且参数解极不稳定。当前病态总体最小二乘问题的处理方法主要有岭估计法［1］、Tikhonov 正 则 化 方 法［2］、广 义 正 则 化 方法［3］等。然而，岭估计法及正则化方法破坏了方程原有的等量关系且解是有偏估计［4－5］。针对此不足，王新洲等［5］提出病态问题的最小二乘谱修正迭代法，不仅保持了方程的等量关系，且解是无偏估计。文献［6－7］分别对谱修正迭代法和改进的谱修正迭代法的收敛性进行研究。目前谱修正迭代法及其改进算法已应用在GPS快速定位研究［8］、Bursa模型空间直角坐标转换［9］、有理多项式参数求解［10］等问题中。本文在最小二乘谱修正迭代法基础上，提出病态总体最小二乘问题的谱修正迭代法，保留了最小二乘谱修正迭代法解无偏和保持方程的等量关系等优点。

1 最小二乘谱修正迭代法

对于观测方程：

式中，L为n×1 观测向量；e为观测向量的随机误差；B为n×m系数矩阵；X为m×1未知参数向量。

根据最小二乘原理，有法方程：

式中，N＝BTB，U＝BTL。将式（2）两边同时加上，整理得［5］：

式中，Im为m阶单位阵。

LS谱修正迭代法公式为［5］：

或

2 病态总体最小二乘谱修正迭代法

总体最小二乘平差问题的函数模型是：

式中，L∈Rn×1为观测向量；e为观测向量的随机误差；B∈Rn×m为列满秩系数矩阵；EB为系数矩阵的误差；X为m×1 待估参数向量。假设系数矩阵和观测向量相互独立且为等精度观测，则其随机模型为：

式中，eB是将矩阵EB按列拉直得到的列向量；为观测值和系数矩阵元素的验前单位权方差；Im和In分别为m阶和n阶单位阵；vec（·）表示矩阵的拉直运算；⊗表示Kronecker积。

根据总体最小二乘平差准则：

得法方程为［11］：

将式（8）两边同时加上，整理得：

病态总体最小二乘谱修正迭代法步骤如下：

4）重复第2）、3）步，当

时，迭代终止。ε可选一较小正值。

（BTB＋Im）是秩为m的满秩矩阵［5］。由于式（8）的解与奇异值分解（SVD）法等价［11］，此时的总体最小二乘解为无偏［12］，谱修正迭代法只是在式（8）的两端同时加上，因此谱修正迭代法得到的解也是无偏的。与岭估计及正则化法相比，病态总体最小二乘谱修正迭代法没有改变方程的等量关系，也不存在正则化因子的确定问题。

3 总体最小二乘谱修正迭代改进算法

谱修正迭代算法虽然对法方程系数矩阵的病态性进行了一定的修正，但在有些情况下，修正后的法方程系数矩阵（BTB＋Im）的条件数仍然很大，病态性依然存在。为此，本文在最小二乘谱修正迭代的改进算法［6－7］基础上提出总体最小二乘谱修正迭代改进算法。

总体最小二乘谱修正迭代改进算法的计算步骤如下：

4）重复第2）、3）步，当

时，迭代终止。ε可选一较小正值。

选择谱修正参数α的基本思想为：令α的取值区间为0至一个相对较大的数值，选择一个相对较小的步长，让α以该步长取区间内的所有值，对每一个确定的α值都可以得到相对应的修正法方程系数矩阵（BTB＋αIm）的条件数。以谱修正参数α为横坐标，（BTB＋αIm）的条件数为纵坐标，画出修正后的法矩阵的条件数随加入的谱修正参数α的变化曲线图，根据对法矩阵条件数的改善程度来确定α的最终取值。

4 算例及分析

4.1 算例1

模拟平差模型为病态的情况，病态设计矩阵和观测量的真值为［13］：

未知 参 数X＝［x1x2x3x4x5］T，真 值Xtrue＝［1 1 1 1 1］T。加入随机噪声，对于观测值L，其观测噪声。设计矩阵B中的元素与观测值之间的元素相互独立，且其误差。随机误差由MATLAB随机数发生器产生。加入随机误差后的设计矩阵和观测向量为：

法方程系数阵N＝BTB的条件数为2.083 7×104，病态性严重，利用谱修正参数进行改正后，法方程系数矩阵（BTB＋αIm）的条件数随谱修正参数的变化如图1所示。在不同迭代初值和谱修正参数α下分别利用LS算法、LS谱修正迭代算法、TLS 算法及TLS 谱修正迭代算法进行求解，结果见表1。

图1 法方程系数矩阵条件数随谱修正参数α的变化Fig.1 The picture of the condition number of the corrected normal equation coefficient matrix byα

4.2 算例2

采用文献［14］“Regularization Tools”中病态模拟数据“ilaplace”。其中，系数矩阵条件数的数量级为1033，病态性非常严重。分别对系数矩阵和观测向量加入σ0＝0.001的随机误差。加入谱修正参数后的修正法矩阵（BTB＋αIm）的条件数与谱修正参数α的关系如图2所示，最小二乘谱修正迭代法和总体最小二乘谱修正迭代法分别在不同迭代初值和谱修正参数下得到的结果如图3（a）、（b）、（c）所示。图中，IMCCV－LS（0.4）表示最小二乘谱修正迭代法在初值为0.4＊ones（60，1）下得到的结果、IMCCV－TLS（0.4）表示总体最小二乘谱修正迭代法在初值为0.4＊ones（60，1）下得到的结果，图中其他注释同上。各方法所得参数估值与真值的偏差范数及迭代次数见表2。

图2 修正法方程系数矩阵条件数随谱修正参数α的变化图Fig.2 The picture of the condition number of thecorrected normal equation coefficient matrix byα

表1 不同方法得到的结果Tab.1 The results from different methods

图3 解算结果对比图Fig.3 Comparison of different methods

表2 偏差范数与迭代次数Tab.2 Bias norm and iteration steps

4.3 算例分析

2）TLS谱修正迭代法尽管能得到较好的效果，但受迭代初值的影响很大，不同的迭代初值得到的结果差异较大，在初值选择不合理的情况下，TLS谱修正迭代方法甚至不收敛。

5 结 语

本文在最小二乘谱修正迭代算法的基础上对其进行拓展研究，提出总体最小二乘的谱修正迭代法及其改进算法。该方法保持了最小二乘谱修正迭代方法中方程的等量关系，解是无偏估计。通过算例分析了TLS谱修正迭代法的优势和缺点。文中的迭代初值为多次试验下的经验值，谱修正参数α选取的主观性较强，如何更加合理有效地选取迭代初值及谱修正参数α还需进一步研究。

［1］王乐洋，许才军，鲁铁定.病态加权总体最小二乘平差的岭估计解法［J］.武汉大学学报：信息科学版，2010，35（11）：1 346－1 350（Wang Leyang，Xu Caijun，Lu Tieding.Ridge Estimation Method in Ill－posed Weighted Total Least Squares Adjustment［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2010，35（11）：1 346－1 350）

［2］Golub G H，Hansen P C，O’Leary D P.Tikhonov Regularization and Total Least Squares［J］.SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications，1999，21（1）：185－194

［3］葛旭明，伍吉仓.病态总体最小二乘问题的广义正则化［J］.测绘学报，2012，41（3）：372－377（Ge Xuming，Wu Jicang.Generalized Regularization to Ill－posed Total Least Squares Problem［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2012，41（3）：372－377）

［4］Shen Y Z，Xu P L，Li B F.Bias－Corrected Regularized Solution to Inverse Ill－posed Models［J］.Journal of Geodesy，2012，86（8）：597－608

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［10］刘斌，龚健雅，江万寿，等.基于岭参数的谱修正迭代法及其在有理多项式参数求解中的应用［J］.武汉大学学报：信息科学版，2012，37（4）：399－402（Liu Bin，Gong Jianya，Jiang Wanshou，et al.Improvement of the Iteration by Correcting Characteristic Value Based on Ridge Estimation and Its Application in RPC Calculating［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2012，37（4）：399－402）

［11］鲁铁定，宁津生.总体最小二乘平差理论及其应用［M］.北京：中国科学技术出版社，2011（Lu Tieding，Ning Jinsheng.Total Least Squares Adjustment Theory and Its Applications［M］.Beijing：China Science and Techndogy Press，2011）

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［13］王乐洋，于冬冬.病态总体最小二乘问题的虚拟观测解法［J］.测绘学报，2014，43（6）：575－581（Wang Leyang，Yu Dongdong.Virtual Observation Method to Ill－posed Total Least Squares Problem［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2014，43（6）：575－581）

［14］Hansen P C.Regularization Tools：A Matlab Package for Analysis and Solution Discrete Ill－posed Problems［J］.Numerical Algorithms，1994，6（1）：1－35