胡 川 陈 义，2 朱卫东 钱承军

1 同济大学测绘与地理信息学院，上海市四平路1239号，200092

2 现代工程测量国家测绘地理信息局重点实验室，上海市四平路1239号，200092

3 上海海洋大学海洋科学学院，上海市浦东新区南汇新城镇沪城环路999号，200120

三维空间直线拟合是工业测量中一个常见问题［1］。空间直线不能直接应用最小二乘法（least squares，LS）［2］，而是采用点到直线距离平方和最小的拟合准则［3］进行拟合。该准则是一个非线性估计问题，文献［4］将其线性化后采用带约束条件的间接平差模型进行迭代求解。这种基于高斯迭代解的算法对初值非常敏感，可能出现不收敛情况。文献［3］用特征值分解法解决上述不收敛问题，并提出基于选权迭代的稳健空间直线拟合算法。因点到直线的距离不是直接观测值，该准则的最大困难是无法直接采用观测精度定权。

空间直线可用与坐标平面垂直的两个相交平面来表示。假设其中一个平面上的坐标观测值无误差，用LS法估计两个平面的参数，最后用两个拟合的平面恢复空间直线［5］。如果仅拟合其中一个平面，然后拟合空间直线在该平面上的投影线，即是文献［6］提出的无迭代算法。文献［7］将空间直线垂直投影到平面上，进行两两组合，选择其中点到直线距离和最小的组合作为空间直线参数的拟合结果。上述3 种方法都假设某些坐标无误差，这与实际不符。文献［2］提出采用整体最小二乘（total least squares，TLS）法拟合两个垂直投影平面，考虑了所有坐标误差，更符合实际，但没有考虑加权情况。

本文模拟各坐标点等精度、非等精度和各坐标分量非等精度的观测数据。将空间直线投影到坐标平面上，采用整体最小二乘法和最小二乘法对投影直线进行拟合。比较3 种模拟场景下TLS和LS估计的参数和验后方差，并比较三维激光扫描数据的拟合结果。

1 TLS拟合空间直线

1.1 拟合公式推导

假设一条空间直线通过点P0（x0，y0，z0），方向向量为（F，G，H），则直线的对称式方程为：

将上述空间直线投影到坐标平面上，有：

以XOY投影面上直线为例。设ey和ex分别是y和x的误差矢量，大小为m×1。它们的随机属性可以表达为［8，9］：

式中，L是由m个y分量组成的m×1矢量；A是m×2系数矩阵，其第一列由与y分量相对应的x分量组成，第二列全为常数1；ξ是待估计参数矢量；转换矩阵K计算公式为：

式（7）为矢量导数公式。引入TLS平差准则［8］：

将式（9）分别对ey、ex、λ和ξ求偏导，并令其等于零，有［8］：

求解式（10）～（13），可以得到：

验后单位权方差为［8］：

1.2 空间直线重建

根据拟合的平面直线，可以找到一个过该直线且垂直该坐标平面的平面，3个坐标平面得到3个垂直平面，平面两两组合可以重建出3条空间直线［7］。平面y－a1x－b1＝0和z－a2y－b2＝0的交线为：

平面z－a2y－b2＝0和x－a3z－b3＝0的交线为：

平面x－a3z－b3＝0和y－a1x－b1＝0的交线为：

根据交叉出的3条空间直线的对称式，可以得到直线上的一个已知点和方向。可以采用下式计算点到直线的距离：

Δxi、Δyi和Δzi是测量点与对称方程中已知点的差值。

2 比较分析

2.1 模拟对比

设有已知空间直线：

在空间直线上任取10个精确坐标点。设置如下3种场景：

1）设所有测量点等精度观测，给各坐标点附加期望为零、方差分别为0.000 001、0.000 1、0.001、0.01、1.0m2的随机误差；

2）设所有测量点非等精度观测，按点的先后顺序附加上期望为零、方差从0.1m2增加到1m2的随机误差；

3）设所有测量点的坐标分量非等精度观测，给x、y、z坐标分量附加上期望为零、方差分别为0.8、0.4和0.2m2的随机误差。

在场景1中，协因数矩阵Qx、Qy和Qz都是单位阵，先验单位权方差分别为0.000 001、0.000 1、0.001、0.01、1.0 m2。在不同方差条件下，用LS和TLS各计算1 000次。参数估计值和验后单位权方差估计值的平均值列于表1。可以发现，在误差比较小时，LS和TLS估计的参数值几乎相同。当误差增大时，没有证据表明TLS获得的参数估计值比LS 更接近真实值。但是，多数情况下TLS的结果更接近真实值。不管在哪种方差条件下，TLS估计的验后单位权方差都比LS更接近先验值。

在场景2中，协因数矩阵Qx、Qy和Qz的对角线元素对应于各点模拟方差值，非对角线元素全为零，先验单位权方差为1。用LS和TLS分别计算10 000次。表2描述了场景2中LS和TLS计算的参数和验后单位权方差估计值。可以看出，不管是参数估计还是单位权方差估计结果，TLS明显要比LS更接近真实值，特别是方差估计值。

在场景3中，协因数矩阵Qx、Qy和Qz分别是0.8、0.4和0.2与单位矩阵的乘积，先验单位权方差为1m2，同样用LS和TLS分别模拟计算1 000次，将计算的平均值和平均值与真值的差值列于表3。可以发现，TLS 获得的参数估计值比LS更接近真实值。选择不同的坐标平面作为投影面，TLS 估计的参数与真值的差异非常小，但是LS对应不同的投影面，其估计结果与真值的接近程度不相同。换言之，TLS估计参数的准确性对投影面的依赖性比较小，而LS 依赖性较大。TLS获得的验后单位权方差比LS更接近真值。

表1 场景1中LS和TLS计算的参数和验后单位权方差平均值Tab.1 Comparisons of the means of estimated parameters and variance of unit weight with LS and TLS in scenario 1

表2 场景2中LS和TLS计算的参数和验后单位权方差平均值以及与真值之差Tab.2 Comparisons of the mean of estimated parameters and variance of unit weight with LS and TLS，and the differences between the estimated value and real value in scenario 2

表3 场景3中LS和TLS计算的参数和验后单位权方差平均值以及与真值之差Tab.3 Comparisons of the mean of estimated parameters and variance of unit weight with LS and TLS，and the differences between the estimated value and real value in scenario 3

2.2 工程实践

用Faro三维激光扫描仪对新建的南京青奥步行桥进行三维激光扫描，提取六面体钢结构桥梁上两条边相交处的部分扫描点（图1）。菱形点是空间点在XOY面上的投影，五角星是空间点在XOZ面上的投影，小圆圈是空间点在YOZ面上的投影。

图1 扫描的三维坐标点Fig.1 Laser scanned data points

假设各点是等精度观测，权阵为单位矩阵，用LS法和TLS法分别拟合3条平面投影直线，将拟合的参数和验后单位权方差列于表4。可以看出，在XOY投影面的直线，两种方法拟合结果和验后方差完全相同。在其他两个投影面上，LS和TLS估计的参数和单位权方差出现较大差异，这与前面的模拟计算相符。但是，TLS估计的验后单位权方差也出现较大值，即明显较大。

表4 LS和TLS拟合扫描点的参数估计值Tab.4 Estimated parameters and variance of unit weight with LS and TLS using the laser scanned data points

将拟合的平面直线参数按照式（20）、（21）和（22）重建空间直线，分别称为空间直线（20）、（21）和（22）。采用式（23）分别计算各点到拟合空间直线的距离。图2描述了各点到LS和TLS拟合的空间直线（20）、（21）和（22）的距离。可以发现，扫描点到TLS拟合的空间直线的距离都非常接近，相反到LS拟合的空间直线的距离存在较大的差异。这说明，不管选择怎样的投影面，TLS法都可以得到近似相同的一条空间直线，而LS法不行。

图2 扫描点到拟合空间直线的距离Fig.2 The distance between the measured points and the fitted spatial lines

将各点到拟合空间直线距离之和的最大距离、最小距离和最大最小距离差列于表5。可以看出，TLS 重建的3 条直线的距离总和非常接近，而LS法重建的3 条直线距离总和存在较大差异，而且LS 的距离总和大于TLS 的距离总和。可以发现，TLS结果比LS 更加稳定。这与前面的结论相同，LS拟合结果对投影面的选择依赖性较强，而TLS的依赖性较弱。

表5 各点到空间直线的距离总和、最大值、最小值和最大小值之差／mTab.5 The sum of d，max d，min dand the differences between max and min，where dis the distance between the measured points and the fitted spatial lines／m

3 结 语

1）当已知各点坐标等精度观测的情况下，LS和TLS估计的空间直线参数几乎完全相同，但是TLS的验后方差分量估计值比LS的更接近先验值。此时，如果仅仅是为了估计参数，为了简便可以直接采用LS拟合空间直线；如果需要对参数估计结果进行统计评价，建议采用TLS拟合法。

2）当各点非等精度观测时，TLS估计的参数和验后单位权方差都比LS 的要更接近真实值。因此，此种情况建议使用TLS拟合法。

3）当各坐标分量非等精度观测时，LS拟合结果对投影面的选择具有较强的依赖性，而TLS的依赖性较弱。此时建议采用TLS进行空间直线拟合，选择任何两个投影面皆可。

4）对于三维激光扫描数据，TLS的拟合结果比LS更优。此时建议采用TLS法拟合，如果需要进一步提高拟合精度，需要合理确定各坐标分量的权值。

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