王小霞, 姜金平, 赵宁宁, 李萍

(延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安 716000)



不可数空间的可数补拓扑的几类连通性

王小霞, 姜金平, 赵宁宁, 李萍

(延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安 716000)

讨论了不可数空间的可数补拓扑的θ-连通性、θ-弧连通性和局部道路连通性.

不可数空间; 可数补空间; 连通性

连通性是拓扑空间研究的一个重要课题,文[1]讨论了一般拓扑空间的连通性，文[2]讨论了θ-连通性空间与θ-连通性，文[3]研究了θ-弧连通空间和θ-弧连通性,文[4]讨论了局部道路连通性,文[5]讨论了一类可数补空间的连通性和弧连通性。在文[5]的基础上，讨论了不可数空间的可数补拓扑的θ-连通性、θ-弧连通性和局部道路连通性,进一步完善可数补空间的连通性理论.

1 预备知识

定义3[2]设(X，T)、(Y，ω)为两个拓扑空间,f:X→Y是映射,若∀θ -开集B∈Y,有f-1(B)是X中的θ -开集,则称f为θ-连续映射.

定义5[3]设(X，T)为拓扑空间,若对X中任意两点x、y都有X中θ-连续映射f:[0,1]→X,使得f(0)=x,f(1)=y,则称(X，T)为θ-弧连通空间.

定义6[4]设X为拓扑空间, ∀x∈X,若∀U∈Ux,∃x∈X的道路连通邻域V,使得x∈V⊂U,则称X是局部道路连通空间.

定义7设X为拓扑空间,若X包含不可数多个点,则称X为不可数空间.

2 主要结论

定理1设(X，T)是包含不可数多个点的可数补空间,则X是θ-连通的.

定理2[5]X为可数集,T={X-C:C为可数集}∪{Φ},则(X，T)为离散空间.

定理3如果Y为不少于两点的离散空间,则拓扑空间X为θ-连通空间当且仅当有一θ-连续映射f:X→Y都是常值映射.

定理4设(X，T)是包含不可数多个点的可数补空间,则X不是θ-弧连通空间.

证明∀x、y∈X,且x≠y,假设x、y是θ-弧连通的,由文……