魏 静， 葛世刚， 刘海生， 仓定帮

(华北科技学院 基础部 河北 三河 065201)



带干扰的多险种复合负二项风险模型的破产概率

魏 静， 葛世刚， 刘海生， 仓定帮

(华北科技学院 基础部 河北 三河 065201)

考虑到投保集体的非同质性，建立了保费收取和赔付为负二项过程、干扰为标准Wiener过程的多险种随机风险模型，通过分析盈余过程的性质，得到终极破产概率公式和破产概率上界的Lundberg不等式.

多险种； 干扰； 负二项过程； 破产概率

0 引言

经典的风险模型及其推广[1-3]只考虑了单一险种的破产问题，但在实际的保险实务中，险种往往不是单一的，随着风险经营规模的不断扩大及风险经营险种的多样化,建立多险种风险模型比单一险种更加符合客观实际.近年来，有学者研究了多险种风险模型的破产概率.文献[4]将经典风险模型推广为双险种负二项风险模型,考虑保费收取次数服从参数为pi的负二项分布且与理赔过程相互独立,得到了推广后模型的破产概率.文献[5]建立了带干扰的双险种Poisson风险模型，并在理赔额服从指数分布下研究了破产概率的具体表达式.文献[6]研究了带干扰的多险种二项风险模型，通过分析盈余过程的性质，得到了破产概率的表达式及Lundberg上界.文献[7]针对带干扰的双险种风险模型，分析了险种间的相关性对调节系数的影响.

考虑到在实际的经营风险中，保费收取次数的期望和方差不一定相等，本文建立了保费收取次数和理赔次数均服从负二项分布、干扰为标准Wiener运动的多险种随机风险模型，通过分析盈余过程的性质，得到终极破产概率公式和破产概率上界的Lundberg不等式，推广了文献[4-8]的结论.

1 干扰影响下的多险种风险模型

由定义1可知，负二项分布的方差大于期望.考虑到在保险实务中，投保集体存在一定的非同质性，比如对于疾病保险来说，身体不好的人需要赔付的次数会多，而对于身体健壮的人，理赔则很少，这就会导致理赔次数的方差大于期望.鉴于此，本文考虑投保次数和理赔次数均服从负二项分布，建立带干扰的多险种风险模型，

(1)

Yki为第k类保单第i次的理赔额，i=1,2,…，k=1,2,…,n，

(2)

2 盈利过程{S(t),t≥0}的性质

引理1盈利过程{S(t),t≥0}具有平稳独立增量.

证明由负二项过程和Wiener过程的平稳独立增量性及模型的独立性假设即可得证.

引理2

3 破产概率

定理1对于盈利过程{S(t),t≥0}，存在函数g(r)，使得E(exp(-rS(t)))=exp(tg(r))，并且方程g(r)=0在(0,r),r>0上存在唯一正解R∈(0,r)，称R为调节系数.

证明

其中MXk(-r)=E(exp(-rXk))为第k类保单的保费{Xki}的拉普拉斯变换，MYk(r)=E(exp(rYk))为第k类保单的理赔额{Yki}的矩母函数.

定理2本文所建立的多险种随机风险模型(1)的最终破产概率为

证明对于t>0和r>0，有

E[exp(-rU(t))]=exp(-ru)E[exp(-rS(t))]，

取r=R，则E[exp(-RU(t))]=exp(-Ru)exp(tg(R))=exp(-Ru)，由条件期望公式可得

(3)

对于给定的T

U(t)=U(T)+U(t)-U(T)=U(T)+S(t)-S(T)，

而{S(t)}具有平稳独立增量，所以U(t)=U(t)+S(t-T),

,

下证(3)式右端第二项为0，令

(4)

由切比雪夫不等式，得

当t→∞时，(4)式→0.

推论1随机风险模型(1)的终极破产概率上界满足Lundberg不等式ψ(u)

4 结论

本文对经典风险模型进行了如下推广：

1) 本文的模型考虑了n个相互独立的险种，更具一般性；

2) 考虑到实际保险业务中，保费收取次数的期望和方差不一定相等，引入更加符合实际的负二项过程；

3) 在市场经济的大环境下，考虑到各种市场因素的影响，加入了干扰条件；

4) 通过对盈余过程性质的分析，得出了破产概率的表达式和Lundberg上界，所得结论与经典风险模型一致，证明了结果的正确性.

[1] Jan Grandell.Aspects of Risk Theory[M]．New York: Springer-Verlag,1991：152-168．

[2] Feller W．An Introduction to Probability Theory and its Application[M]．New York:John Wiley & Sons，1970：10-156．

[3] 龚日朝，杨向群．复合二项风险模型的破产概率[J].经济数学,2001，18(2)：38-42．

[4] 陈贵磊，张相虎，边平勇．带干扰的保费随机收取的双险种风险模型[J]．经济数学，2011，28(1)：68-70．

[5] 贠小青．带干扰的泊松风险模型的破产概率及推广[J]．统计与决策，2013(1)：18-21．

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[8] 陈凤丽，施齐焉．一类双险种风险模型的破产概率研究[J]．福州大学学报：自然科学版，2012，40(4)：449-452．

[9] 汪嘉冈．现代概率论基础[M]．上海：复旦大学出版社，2005：94-185．

[10]谢志刚，韩天雄．风险理论与非寿险精算[M]．天津：南开大学出版社，2000：121-187．

(责任编辑：王海科)

Ruin Probability for Negative Binomial Multi-type Insurance Risk Model with Interference

WEI Jing， GE Shi-gang， LIU Hai-sheng， CANG Ding-bang

(DepartmentofBasicCourse,NorthChinaInstituteofScienceandTechnology,Sanhe065201,China)

Considering the non-homogeneity of the policyholders, a multi-type insurance risk model, disturbed by standard Wiener movement, was established with the premium frequency and the claim frequency being negative binomial stochastic series. Through analyzing the properties of the surplus process, the ultimate ruin probability and the Lundberg inequality formula of upper bound for ruin probability were obtained.

multi-type insurance； interference； negative binomial process； ruin probability

2015-01-12

河北省高等学校科学研究计划项目，编号Z2014032；华北科技学院重点学科资助项目，编号HKXJZD201402；中央高校基本科研业务费项目，编号3142013025, 3142013023, 3142014039, 3142014127.

魏静 (1980-)，女，河北邢台人，讲师，硕士，主要从事保险精算研究，E-mail：weijing_jcb@ncist.edu.cn．

魏静，葛世刚，刘海生，等.带干扰的多险种复合负二项风险模型的破产概率[J].郑州大学学报：理学版，2015,47(2)：33-36.

O211.6

A

1671-6841(2015)02-0033-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.02.007