张平阳，夏才初，周舒威，周 瑜，胡永生

（1.同济大学 土木工程学院 地下建筑与工程系，上海 200092；2.中国大唐集团新能源股份有限公司，北京 100053）

1 引 言

地下岩石工程难免受到周期荷载作用，如周期交通荷载、地震等，这使得诸多学者都对岩石在周期性荷载作用下的性质展开研究[1-4]，但这些研究极少涉及对岩石本构关系的探索。而地下压气储能洞室作为岩石受周期荷载作用的典型例子[5]，在其长期运营阶段，围岩受到内部气压的反复作用，其力学性能将发生改变，从而影响洞室的长期稳定性，因而合理的本构模型将成为预测洞室稳定性的关键。但目前压气储能（特别是有衬隧洞）的岩石本构还只是采用弹性模型[6-7]或弹塑性模型[8-9]，这与实际不甚相符，因此，需要迫切地开展岩石在循环加-卸载作用下的本构模型研究。

对于岩石在循环加-卸载下的本构模型研究，莫海鸿[10]开展了红砂岩和大理岩的循环加载试验，给出了岩石的内时本构方程，但其中的材料函数复杂，参数较多，没有明确的物理意义；王者超等[11]开展了花岗岩三轴循环荷载试验，提出了可以反映循环荷载作用下岩石变形模量变化的内变量疲劳本构模型，但该模型无法完整地描述岩石的应力-应变关系。此外，岩石在循环荷载不断作用下，实际上是一个损伤累积的过程[12]，因此，可以将岩石损伤理论应用到本构模型研究领域。对于岩石损伤，曹文贵等[13]建立了基于Weibull 分布的岩石损伤软化模型，较好地反映了岩石破裂过程的全应力-应变试验曲线，但该模型只是针对单调加载过程，不能反映循环荷载的影响。刘博等[14]对循环剪切荷载作用下的岩石节理变形特性进行了试验研究。

基于以上研究背景，本文将基于Weibull 分布的岩石损伤软化模型进行拓展，并用内变量疲劳本构模型描述每个循环的初始模量和卸载模量的变化，进而提出循环加-卸载作用下的岩石本构模型。该模型能够用于描述每个循环内的应力-应变关系，且与试验数据吻合，该模型的成功建立为循环加-卸载下岩石本构模型的研究提供了新思路。

2 循环加-卸载作用下的岩石本构模型

2.1 本构模型的建立

将循环加-卸载作用下的岩石本构模型分为加载段和卸载段两部分。加载段采用基于Weibull 分布的岩石损伤软化模型[13]：

式中：σ1与 σ3分别为岩石三轴试验中轴向应力和围压；E0和μ为每个循环内的初始弹性模量与泊松比；ε1为每个循环内的轴向应变，每个循环内的初值为应力下限值与初始弹性模量之比；m和F0为岩石微元强度的Weibull 随机分布参数，在每个循环内都会变化，是循环次数的函数，在本文中将通过对试验数据线性拟合得到；F为岩石微元强度；I1为应力张量的第1 不变量；J2为应力偏量的第2 不变量；α为与内摩擦角φ 有关的参数。

为使本构模型简便实用，卸载段本构模型表达式为

式中：σ1p和ε1p分别为循环内峰值应力和应变；E′为每个循环内的卸载模量。

对于每个循环内的初始弹性模量和卸载模量，采用王者超等[11]提出的内变量疲劳本构模型中变形模量的表达式：

式中：A、n和l 均为模型参数；ε1r为残余轴向应变；为等效应力；β为等效应力线倾角，与岩石内摩擦角有关。

这样，通过式（1）、（4）、（5）即可获得全部循环内岩石应力与应变的关系，即得到循环加-卸载作用下的岩石本构模型。

提出的循环加-卸载作用下的岩石本构模型涉及到的参数有式（1）中的m和F0，式（5）中的A、n和l。对于单个循环内m 及 F0的确定，曹文贵等[13]已做了详细地介绍，可基于三轴试验结果，引进线性拟合的方法确定。对于初始弹性模量和卸载模量计算公式的3 个参数，可先将式（5）变形为

然后采用多参数线性拟合方法，即可拟合式（9），确定A、n和l 3 个参数。

2.2 m和F0与循环次数N 的关系

采用了张媛等[15]的试验数据对m、F0随循环次数的变化规律进行研究。首先，获得不同围压下循环内参数m和F0与循环次数的关系，如图1 所示。而曹文贵等通过参数敏感性分析得出[13]：岩石峰值强度随 F0增大而增大，F0反映了岩石宏观平均强度的大小；m 反映岩石微元强度分布集中程度，m 越大，微元强度分布越集中，材料的脆性度越高。从图1 中不难看出，随着循环次数的增加，m 值也相应增加，说明材料的脆性度变高，原因是强度低的微元在循环过程中已发生破坏，故微元强度的分布随着循环次数增加而变集中。随着循环次数的增加，F0值也相应减小，这是因为随着循环次数的增加，岩石的强度在不断降低。

将获得的参数值m和F0随循环次数的变化规律用趋势线描述（见图1），可以获得参数m和F0的表达式为

式中：B、C、D、E为拟合参数；N为循环次数。

图1 循环内拟合参数与循环次数N 的关系Fig.1 Relationships between fitting parameters of every cycle and the cycle number

将式（5）、（10）、（11）代入式（1），最终获得循环加-卸载下加载段的岩石本构模型为

3 模型拟合效果

为了验证本文提出的循环加-卸载作用下的岩石本构模型，采用张媛等[15]的试验数据。张媛等进行了砂岩在循环荷载作用下的三轴压缩试验。首先测定砂岩的三轴抗压强度，然后取抗压强度的25%和70%作为循环荷载的下限值和上限值进行试验，最后给出了与试验结果相关度极高的拟合曲线，从其拟合曲线中可以获得每个循环中的轴向最大应变、轴向残余应变、初始模量和卸载模量等。采用本文提出的循环加-卸载岩石本构模型，对张媛获得的试验数据进行拟合，获得的初始模量和卸载模量参数如表1 所示。

采用表1 的拟合参数，与原始数据进行对比。将不同围压下，初始模量和卸载模量的试验数据和拟合曲线进行对比，在图2 中给出。从图中可以看出，虽然原始数据有一定的波动，但初始模量和卸载模量的拟合曲线与原始数据还是基本吻合，采用式（5）能够反映初始模量和卸载模量的变化趋势。

表1 文献[15]试验拟合参数Table 1 Fitting parameters of tests in literature[15]

图2 砂岩初始模量拟合曲线与试验数据对比Fig.2 Comparision of fitting curves and test data of initial modulus of sandstone

循环加-卸载作用下的岩石本构模型重点是描述每个循环内的应力-应变关系，因此，对循环内的拟合尤为重要。选取不同围压下，第5、10、15 次循环内的试验数据和拟合曲线进行比较，对比结果分别见图3～5。从这些图中可以看出，拟合曲线与原始数据基本保持一致。

图3 20 MPa 围压下加载段拟合曲线与试验数据对比Fig.3 Comparisons of fitting curves and test data in the loading stages under a confining pressure of 20 MPa

图4 40 MPa 围压下加载段拟合曲线与试验数据对比Fig.4 Comparisons of fitting curves and test data in loading stages under a confining pressure of 40 MPa

图5 60 MPa 围压下加载段拟合曲线与试验数据对比Fig.5 Comparisons of fitting curves and test data in loading stages under a confining pressure of 60 MPa

从图3～5 可以看出，采用本文提出的本构模型获得的每个循环内的应力-应变曲线与试验数据完全吻合。在不同围压、不同循环数下，本文提出的本构模型均能够获得与试验数据一致的应力-应变关系，能够准确获得与循环荷载上、下限值相对应的轴向应变，也能反映在循环内部变形模量衰减的趋势，这些都体现了本文方法的可行性以及准确性。

4 结 论

本文将基于Weibull 分布的岩石损伤软化模型进行拓展，并用内变量疲劳本构模型描述每个循环的初始模量和卸载模量的变化，得到以下结论：

（1）提出了循环加-卸载作用下的岩石本构模型。该模型物理意义明确，涉及的参数较少，且便于拟合。

（2）提出的循环加-卸载下岩石本构模型对试验数据拟合效果较好，能较准确地反映循环荷载上、下限值对应的轴向应变，也能反映出循环内部变形模量衰减的趋势。

（3）该模型的成功建立为循环加-卸载下岩石本构模型的研究提供了新思路。

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