范文武

根据方差的定义可以推导如下公式：

D（ξ）=E（ξ-E（ξ））2=E（ξ2-2ξE（ξ）+（E（ξ））2）=E（ξ2）-2（E（ξ））2+（E（ξ））2=E（ξ2）-（E（ξ））2.因为D（ξ）≥0，所以E（ξ2）≥（E（ξ））2.在求含多元变量最值的题目中，可以根据题目结构特征，巧妙的构造离散型随机变量的概率分布列，利用E（ξ2）≥（E（ξ））2解决问题.

例1 已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为

______.

解 构造随机变量ξ的分布列为

ξa2b3c

P131313

所以E（ξ）=a+2b+3c3，E（ξ2）=a2+4b2+9c23.根据E（ξ2）≥（E（ξ））2，所以a2+42+9c23≥（a+2b+3c3）2，整理可得a2+4b2+9c2≥12，即a2+4b2+9c2的最小值为12.

例2 设x，y是正实数，且x+y=1，求x2x+2+y2y+1的最小值.

解 因为x+y=1，所以x+24+y+14=1.构造随机变量ξ的分布列为

ξxx+2yy+1

Px+24y+14

所以E（ξ）=x4+y4=14，E（ξ2）=14（x2x+2+y2y+1），根据E（ξ2）≥（E（ξ））2，所以14（x2x+2+y2y+1）≥116，整理可得

x2x+2+y2y+1≥14，即x2x+2+y2y+1的最小值为14.

例3 已知x>0，y>0，且x+y=1，求

2x+1+2y+1的最大值.

解 构造随机变量ξ的分布列为

ξ

2x+12y+1

P1212

所以E（ξ）=12（2x+1+2y+1），E（ξ2）=12（2x+1+2y+1）=2.根据E（ξ2）≥（E（ξ））2，所以2≥14（2x+1+2y+1），整理可得2x+1+2y+1≤22，即2x+1+2y+1的最大值为22.

例4 设不等式

x+y≤ax+y对任意正实数x，y恒成立，求a的取值范围.

解 构造随机变量ξ的分布列为

ξxyP1212

所以E（ξ）=12（x+y），E（ξ2）=12（x+y）.根据E（ξ2）≥（E（ξ））2，所以12（x+y）≥14（x+y）2，整理可得x+yx+y≤2，即a的取值范围[2，+∞）.

例5 已知x2+y2=16，求证：x+y≤42.

证明 显然x=0时，y=4，满足x+y≤42;y=0时，x=4，满足x+y≤42.

当x≠0且y≠0时，由x2+y2=16，变形得

x216+y216=1

，所以设x216与y216为概率.构造随机变量ξ的分布列为

ξ

1x1y

Px216y216

E（ξ）=116（x+y），E（ξ2）=18.根据E（ξ2）≥（E（ξ））2，所以18≥1256（x+y）2，整理可得x+y≤42.

例6 若正数a，b，c满足a+b+c=1，求13a+1+

13b+2+13c+2

的最小值.

证明 由（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）9=1，所以设3a+29、3b+29与3c+29为概率.构造随机变量ξ的分布列为

ξ13a+213b+213c+2

P3a+293b+293c+29

所以E（ξ）=13，E（ξ2）=19（13a+2+13b+2+13c+2）.

根据E（ξ2）≥（E（ξ））2，

所以19（13a+2+13b+2+13c+2）≥19，

整理可得13a+2+13b+2+13c+2≥1.

练习 1.已知a，b∈R，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac.

2.若4x+1y=4，x>0，y>0，则x+2y的最小值为______.