崔萍

全等三角形在各地中考试卷中是必考题型，而且有一类以等腰三角形为背景的图形问题更是经典中的经典.下面以一道中考题为例，变式拓展，带领同学们做一题，会一类，通一片.

考题 （2015·浙江杭州，8分）如图1，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC.求证：DM=DN.

【思路分析】可以把目光盯在△AMD和△AND中，排列条件，发现AM=AN不能直接获得，但是可以根据“AM=2MB，AN=2NC”推得，从而可以根据“SAS”证得△AMD≌△AND.

证明：因为AM=2MB，所以AM=AB，同理，AN=AC，又因为AB=AC，所以AM=AN.

因为AD平分∠BAC，所以∠MAD=∠NAD.

在△AMD和△AND中，

AM=AN，

∠MAD=∠NAD

AD=AD，，

所以△AMD≌△AND，所以DM=DN.

【成果扩大】在△AMD≌△AND基础上，我们不仅可以得出DM=DN这样的结论，稍加推证，不难发现图1中还有很多线段相等、角相等，都是可以成为设计考题的考点.除了在原图上的探究，我们还可以把点D动起来，也就是在AD上找一点E，设计出内容更丰富的问题，比如：

如图2，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E在AD上.

（1） 求证：AD是△ABC的中线；

（2） 求证：AD是△ABC的高；

（3） 求证：BE=CE；

（4） 求证：∠DBE=∠DCE；

（5） 求证：ED平分∠BEC；

（6） 求证：点E到AB、AC两边距离相等；

（7） 求证：点E到AB、AC两边中点的距离相等.

【解答提示】问题（1）～（5）都不需要添加辅助线，而第（6）题在答题时则需要作出相应的垂线段（综合同学们的作业情况，不少同学会误认为点E到AB、AC的距离就是EB、EC的长，这是对“点到直线的距离”概念的误解）；第（7）题则需要先找出AB、AC两边的中点M、N，再连接EM、EN并证明相等.

（作者单位：江苏省南通市第一初级中学）