关 虓，牛荻涛，吴 博，王家滨

(西安建筑科技大学土木工程学院，陕西 西安 710055)

近些年来，众学者将不同纤维掺入到普通混凝土中，对其力学性能进行了研究，取得了不少的有益成果[1-3].与普通混凝土相比，纤维混凝土，由于其中乱向分布的纤维能够分担混凝土所承受的应力，可提高混凝土的力学性能.而混凝土在单轴受压作用下的损伤机制实质上由拉应力引起的，纤维的加入可以有效的抑制这种拉应力引起的裂纹，故研究纤维混凝土单轴受压损伤本构具有重要意义.

随着连续介质损伤力学理论的逐步发展及对混凝土在不同尺度上进行的大量基础研究，基于损伤理论的本构模型研究取得了一些有益的成果，但如何定义损伤变量及损伤变量如何与宏观力学量建立联系依然是一个难点问题[4-6].李兆霞、余寿文等[7-12]认为基于细观统计损伤理论的模型可以将细观损伤变量与宏观力学量较好的联系起来，将是今后损伤力学的发展趋势.

基于细观统计损伤理论及平行杆模型[13]，建立了损伤变量为极限应变的损伤演化方程，并对具有统计意义（样本空间大于30）的应力应变试验结果进行统计分析及假设检验，以此确定了微损伤系统的概型分布，导出了确定该分布函数变化的统计演化方程，提出了考虑塑性变形及损伤阈值的纤维混凝土单轴受压细观统计损伤本构模型.

1 统计损伤本构模型的建立

根据文献[13]的力学模型基础，将混凝土试件视为由无穷多个微元体组成的，各微元体由相互平行且等间距分布的弹脆性链杆来模拟，链杆的断裂表示微损伤的产生.在宏观裂缝出现之前各微元体都可能发生损伤，且发生断裂的链杆是随机的.

假设链杆的断裂应变服从某一分布函数F(x)，并且我们视混凝土材料的损伤现象为一连续过程，即F(x)在其自变量取值空间域中为连续的，则存在一个f(x)，使得

我们给微元体施加一个微小扰动εΔ，使得整个系统应变变为εε+Δ，根据概率分布函数的性质可知，增加的微小扰动εΔ所引起链杆断裂的概率可表示为

则微元体的平均断裂密度函数为

对上式取极限即为当系统压应变为ε时，链杆断裂的概率密度函数，表达式如下：

它反映了密度函数 f(x)在系统应变为ε时，在其领域（ ε ± Δε,Δ ε→0）范围内的密集程度，即变化率.

如前所述，材料的损伤变量D是反映材料损伤程度的一种度量，即混凝土在损伤过程中表示微单元损伤率的一种度量，而损伤程度则与链杆断裂的数量有关，链杆的断裂则直接由断裂应变得大小所决定，故我们可认为链杆的断裂应变ε与损伤变量D之间存在着某种映射关系，即某种函数关系g(ε)，令

式(3)反映了损伤变量D，在系统应变为ε时，在其领域（ ε ± Δε,Δ ε→0）范围内的变化率.根据式(2)的性质可知， g (ε)和 f (ε)具有相同的函数性质及几何意义，故可用密度函数 f (ε)表达 g (ε)，则

对式(4)进行积分，即为损伤变量D，表达式如下：

式中：f(x)为链杆极限断裂应变服从的概率密度函数，F(x)为其分布函数.

混凝土在变形过程中，有很大一部分应变是不可恢复的，我们称这种不可恢复的变形为塑性应变，塑性应变随应变的增大而增大.系统应变ε由弹性应变εe和塑性应变εp两部组成，即ε = εe+εp.

根据内变量理论[14]，不考虑温度影响时，各向同性材料的损伤状态可以通过弹性应变εe、塑性应变εp以及损伤因子D来描述.通常假定材料的弹性自由能势与塑性自由能势不相关，则 Helmholtz自由能势可以表示为

式中：d为损伤内变量，εp为塑性内变量.

根据热力学第二定律可知，并考虑等温绝热条件，则可得下式：

其中，eTs=-Φ为Helmholtz自由能状态函数.

对式(7)及Helmholtz自由能状态函数微分，并代入Clausius-Duheim不等式，并考虑εe的任意性，可得

将式(5)及式(7)代入式(8)，即可得到混凝土损伤本构方程为

2 试验概况

2.1 混凝土配合比

所用钢纤维为剪切波浪型钢纤维，长30 mm，直径0.5 mm，长径比为60，抗拉强度＞380 MPa.水泥为 P·O42.5R普通硅酸盐水泥.霸河中砂，细度模数2.7.粗骨料为碎石，粒径5～20 mm.效减水剂掺量为1 %.采用3种混凝土配合比，水胶比均为0.46，钢纤维体积掺量ρs为1 %，聚丙烯纤维体积掺量ρp也为1 %，具体配合比如表1所示，其中编号“PC”表示钢纤维掺量为零的普通混凝土，“SFC”表示掺有钢纤维的混凝土，“PFC”表示掺有聚丙烯纤维的混凝土.

2.2 试验方法

试验共制作80个100 mm×100 mm×300 mm的棱柱体试件，其中PC组31个，SFC组38个，PFC组 11个，用于测试混凝土单轴受压应力-应变曲线.试验采用人工采点，采取加载过程中力和位移值.为了保证试件轴心受压，在加载面铺垫细砂找平，使试件受力均匀.试验最小加载速率为 0.1 mm/min.

3 损伤变量的确定

表1 不同纤维混凝土配合比Tab.1 Different fiber reinforced concrete mixing proportion and mechanical property

不同混凝土单轴受压应力-应变曲线峰值应变的统计结果如表2所示.

表2 峰值应变统计结果Tab.2 Statistical results of peak strain

从表 2可以看出，掺有纤维的两组混凝土试件的峰值应变大于普通混凝土，这是因为在混凝土受到应力作用时，纤维分担了一部分应力作用，改善了混凝土的抗拉性和韧性，从而提高了混凝土的变形能力；而钢纤维混凝土峰值应变的标准差和变异系数大于其他两组，是由于其样本数量最大，样本分布的离散性相对较大.

假定三组试件的峰值应变均服从三参数weibull分布，考虑检验的显著水平α=0.05，本次检验采用 χ2法进行检验.计算假设的三参数 weibull分布公式下式所示.

其均值与方差分别为:

通过中位秩公式[15]求得，)(gΓ为伽马函数.

采用二阶矩法确定三参数γ、m、η的估计值，具体如表3所示.

对不同试验结果进行卡方检验，检验结果如表4所示.

表3 参数估计结果Tab.3 The parameters ofWeibull distribution function

表4 参数检验结果Tab.4 Test result of Weibull distribution

由表4可以看出，三组不同混凝土的峰值应变均服从weibull分布，将式(10)代入式(9)，即可得到本文的统计损伤本构模型.

式中：γ为损伤阈值.

4 纤维混凝土统计损伤本构模型

4.1 参数的确定

单轴受压σ-ε曲线具有唯一峰值点应力σp和与其对应的应变εp，且在该峰值点前曲线为单调递增，峰值点之后曲线为单调递减的特征，根据此特性并对式(13)求导，可得

其中： εp= ε σ/(1+σ)，δ为材料系数[16]，可通过实验确定.

结合试验数据，分析了不同损伤阈值对模型的影响，结论如下：对于普通混凝土来说，γ取0.5～0.7倍峰值应变；而对钢纤维混凝土来说，γ则为0.75～0.85倍的峰值应变；聚丙烯纤维混凝土的γ取值为0.6～0.8.通过对试验数据的分析计算，本文最终确定普通混凝土的γ取值为0.6倍的峰值应变；钢纤维混凝土的γ取值为0.8倍的峰值应变；聚丙烯纤维混凝土的γ取值为0.7倍的峰值应变.如图1所示.

图1 损伤阈值对曲线的影响Fig.1 The stress-strain curves of different damage threshold

从损伤阈值的取值也可看出，普通混凝土掺入纤维后，损伤阈值有所提高，这是因为在微观层面上纤维可以抑制微裂纹的产生和发展，改善混凝土材料的工作性能，有效地减缓了材料的损伤发展进程，从而提高了损伤发生的阈值.

4.2 纤维混凝土统计损伤本构模型

将三组试验数据代入到式(14)中，即可求得每一条应力应变曲线所对应的参数m和η，并对所得结果进行统计分析，建立频率直方图，假定其服从正态分布，采用χ2检验法对其概型分布进行检验，结果为接受.三组不同混凝土相关参数的平均值、标准差和变异系数，如表5、6所示.

表5 参数m统计结果Tab.5 Statistical results of the parameter m

表6 参数η统计结果Tab.6 Statistical results of the parameter η

根据上述统计分析结果，即可得到普通混凝土、钢纤维混凝土及聚丙烯纤维混凝土的统计损伤本构模型，分别如式(15)、式(16)、式(17)所示.

4.3 参数m和η的物理意义

考虑在 γ=0.80、η=0.001 82 及 γ=0.7、η=0.001 81时，参数m对钢纤维混凝土和聚丙烯纤维混凝土应力应变曲线的影响，如图 2(a)、4(b)所示.由图2(a)、2(b)可知，随着参数m的逐渐增大，两种混凝土的峰值应力和峰值应变也逐渐增大，下降段曲线越来越陡，材料脆性增大.因此，参数m反映了两种混凝土材料内部微元结构强度分布的集中程度.当γ=0.85和m=1.55时，参数η对应力应变曲线的影响如图2(c)、2(d)所示.由图2(c)、2(d)可知，随着η的增大，两种混凝土峰值应力、峰值应变逐渐增大，下降曲线段斜率变化不大，故η反映了两组混凝土宏观统计平均强度的大小，并且η对下降段的软化模量影响不大.

图2 参数m和η对应力应变曲线的影响Fig.2 The influence of the parameters m and ηon the σ-ε curve

5 模型验证

将试验数据分别带入本文所建立的模型、未考虑塑性变形模型及过镇海模型，如图3所示；同时，将所建立的三种不同混凝土损伤模型进行比较，如图4所示，分析纤维对混凝土力学性能的影响.

图3 试验与理论模型对比Fig.3 Comparison of theoretical curves with test curves

由图3可知，本文模型拟合的曲线上升段与试验曲线及过镇海模型的上升段几乎重合，拟合效果较好，下降段在反弯点（曲率最大的点，也可称为凹向点）后却有所差异.分析出现这种差异的原因主要是进行混凝土单轴受压试验时，当应变超过反弯点时，混凝土试件的变形机制由裂缝的扩展变为剪切带的滑移，试件的压力主要是由滑移面上的摩擦咬合力和为裂缝所分割成的混凝土小柱体的残余强度所提供的，此时，并不是由试验机提供的压力.但模型在反弯点前的下降段与试验曲线拟合度较好，而混凝土材料往往在反弯点后已失去结构意义，所以模型不仅具有较好的理论依据同时也有一定的应用价值.

图4 三种混凝土应力应变曲线对比Fig.4 Three kinds of concrete stress-strain curve

由图4可知，三组混凝土未考虑塑性变形曲线的整体走势与模型相近，主要差异表现为未考虑塑性变形模型的峰值应力大于模型，而峰值应变小于模型，这是因为两种模型依据的力学模型与建立机制是相同的，故而整体走势大致相同.但由于模型考虑了混凝土材料在变形时的塑性变形，认为变形是由弹性和塑性两部分组成的，而未考虑塑性变形的模型由于没有考虑塑性变形，认为变形完全是弹性的，忽略了混凝土试件在实际变形中存在的一部分塑性变形，所以峰值应变小于模型与试验曲线，峰值应力大于模型与试验曲线.因此，在建立本构模型时，塑性变形应被考虑.

由图3可知，纤维混凝土的峰值应力与峰值应变均大于普通混凝土，这是由于混凝土的受压破坏机理，事实上是混凝土被压缩时，垂直于受力方向产生的受拉裂缝逐渐发展汇集导致混凝土的破坏，而纤维的存在可以有效抑制裂缝的发展，故而纤维可提高混凝土的抗压性能；同时，本文分别对三组混凝土应力应变曲线进行积分，得到曲线下的面积为：APC=150.33、ASFC=182.53、APFC=166.63，可以看出两种纤维混凝土应力应变曲线所围成的面积均大于普通混凝土的，根据混凝土应力应变曲线的几何特点可知，曲线所围成的面积越大，试件的塑性变形能力和延性就越强，说明纤维增强了混凝土的塑性变形能力和延性性能.

6 结论

基于唯象细观统计损伤力学及热力学的相关理论，建立了不同纤维混凝土单轴受压损伤本构模型.结合具有统计意义的试验研究，确定了损伤变量的概型分布以及相关参数，并验证其合理性.具体结论如下：

(1)三种不同混凝土的损伤变量均服从 weibull分布函数.

(2)两种纤维混凝土峰值应变的统计均值大于普通混凝土，说明纤维可以很好的提高混凝土抗拉性、抗压性、韧性及延性性能.

(3)对于钢纤维混凝土来说，损伤阈值γ最佳取值为0.8倍的峰值应变；聚丙烯纤维的损伤阈值γ最佳取值为0.7倍的峰值应变.

(4)考虑塑性变形的本构模型较之未考虑塑性应变的本构模型，可以更好且更真实的反映单轴受压下各种混凝土的应力应变关系.

(5)考虑塑性变形及损伤阈值的本构模型也适用于普通混凝土，也较好的反映试验应力应变曲线.

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