闫子红

要理解导数概念，必须先掌握函数的平均变化率、导数的几何意义和导数的物理意义。下面，让我们从实际问题中领悟导数概念。

一、治污效果的比较

例1 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图1所示（图中W1（t），W2（t）分别表示甲、乙企业在时刻t的排污量）。试问哪个企业的治污效果较好？

分析：本题主要体现函数平均变化率的定义在现实生活中的应用，要想知道哪个企业的治污效果好，关键看平均治污率，平均治污率越大，治污效果越好。

解：在时刻t2处，虽然W1（t）=W2（t），

说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大。即企业甲的治污效果要好一些。

评注：本题实质上考察的是曲线割线的斜率的绝对值大小，这里不涉及瞬时变化率。

二、圆形波纹的变化

例2 投石入水，水面产生圆形波纹区。圆的面积随着波纹的传播半径r的增大而增大（如图2），计算：

（1）半径r从a增加到a+h时，圆面积相对于r的平均变化率；

（2）半径r=a时，圆面积相对于r的瞬时变化率。

分析：本例中的题（1）是求变化中的几何图形（圆）面积的平均变化率。而题（2）则是求圆面积的瞬时变化率，实际上就是求函数S=πa2的瞬时变化率。

解：（1）半径r从a增加到a+h时，圆面积从πa2增加到π（a+h）2，其改变量为π[（a+h）2-a2]，而半径r的改变量为（2）在上面得到的平均变化率表达式中，让r的改变量h趋于0，得到半径r=a时，圆面积相对于r的瞬时变化率为2πa。

评注：本例中的题（1）求的是函数曲线的割线斜率，从数学的角度看，都是函数值的改变量与对应的自变量的改变量的比；而题（2）求的是函数的瞬时速度，即平均变化率在某点处的极限，也就是某一点处切线的斜率。

三、运动物体的瞬时速度

（1）求s关于t的变化率，并说明其物理意义；

（2）求运动物体的瞬时速度关于t的变化率，说明其物理意义。

分析：本题是导数概念在物理学中的运用，题（1）直接利用导数的定义运算得出位移函数s关于时间t的导数（即运动物体的瞬时速度），而题（2）则是求瞬时速度关于时间t的瞬时变化率（运动物体的加速度）。

趋于at，即s′（t）=at。从物理上看，s关于t的变化率at就是运动物体的瞬时速度。

时，a还是a，所以s″（t）=a，它是运动物体的加速度。

评注：通过本例，一方面可以加深我们对导数定义的理解，另一方面则从数学的角度对加速度作了较为严格的定义。

四、利用定积分求曲边梯形的面积

点评：本题考查了由定积分求解曲线围成封闭图形的面积以及利用微积分基本定理进行计算的能力，考查了同学们数形结合解决问题的能力。

（作者单位：黑龙江省龙江县第一中学）endprint

要理解导数概念，必须先掌握函数的平均变化率、导数的几何意义和导数的物理意义。下面，让我们从实际问题中领悟导数概念。

一、治污效果的比较

例1 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图1所示（图中W1（t），W2（t）分别表示甲、乙企业在时刻t的排污量）。试问哪个企业的治污效果较好？

分析：本题主要体现函数平均变化率的定义在现实生活中的应用，要想知道哪个企业的治污效果好，关键看平均治污率，平均治污率越大，治污效果越好。

解：在时刻t2处，虽然W1（t）=W2（t），

说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大。即企业甲的治污效果要好一些。

评注：本题实质上考察的是曲线割线的斜率的绝对值大小，这里不涉及瞬时变化率。

二、圆形波纹的变化

例2 投石入水，水面产生圆形波纹区。圆的面积随着波纹的传播半径r的增大而增大（如图2），计算：

（1）半径r从a增加到a+h时，圆面积相对于r的平均变化率；

（2）半径r=a时，圆面积相对于r的瞬时变化率。

分析：本例中的题（1）是求变化中的几何图形（圆）面积的平均变化率。而题（2）则是求圆面积的瞬时变化率，实际上就是求函数S=πa2的瞬时变化率。

解：（1）半径r从a增加到a+h时，圆面积从πa2增加到π（a+h）2，其改变量为π[（a+h）2-a2]，而半径r的改变量为（2）在上面得到的平均变化率表达式中，让r的改变量h趋于0，得到半径r=a时，圆面积相对于r的瞬时变化率为2πa。

评注：本例中的题（1）求的是函数曲线的割线斜率，从数学的角度看，都是函数值的改变量与对应的自变量的改变量的比；而题（2）求的是函数的瞬时速度，即平均变化率在某点处的极限，也就是某一点处切线的斜率。

三、运动物体的瞬时速度

（1）求s关于t的变化率，并说明其物理意义；

（2）求运动物体的瞬时速度关于t的变化率，说明其物理意义。

分析：本题是导数概念在物理学中的运用，题（1）直接利用导数的定义运算得出位移函数s关于时间t的导数（即运动物体的瞬时速度），而题（2）则是求瞬时速度关于时间t的瞬时变化率（运动物体的加速度）。

趋于at，即s′（t）=at。从物理上看，s关于t的变化率at就是运动物体的瞬时速度。

时，a还是a，所以s″（t）=a，它是运动物体的加速度。

评注：通过本例，一方面可以加深我们对导数定义的理解，另一方面则从数学的角度对加速度作了较为严格的定义。

四、利用定积分求曲边梯形的面积

点评：本题考查了由定积分求解曲线围成封闭图形的面积以及利用微积分基本定理进行计算的能力，考查了同学们数形结合解决问题的能力。

（作者单位：黑龙江省龙江县第一中学）endprint

要理解导数概念，必须先掌握函数的平均变化率、导数的几何意义和导数的物理意义。下面，让我们从实际问题中领悟导数概念。

一、治污效果的比较

例1 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图1所示（图中W1（t），W2（t）分别表示甲、乙企业在时刻t的排污量）。试问哪个企业的治污效果较好？

分析：本题主要体现函数平均变化率的定义在现实生活中的应用，要想知道哪个企业的治污效果好，关键看平均治污率，平均治污率越大，治污效果越好。

解：在时刻t2处，虽然W1（t）=W2（t），

说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大。即企业甲的治污效果要好一些。

评注：本题实质上考察的是曲线割线的斜率的绝对值大小，这里不涉及瞬时变化率。

二、圆形波纹的变化

例2 投石入水，水面产生圆形波纹区。圆的面积随着波纹的传播半径r的增大而增大（如图2），计算：

（1）半径r从a增加到a+h时，圆面积相对于r的平均变化率；

（2）半径r=a时，圆面积相对于r的瞬时变化率。

分析：本例中的题（1）是求变化中的几何图形（圆）面积的平均变化率。而题（2）则是求圆面积的瞬时变化率，实际上就是求函数S=πa2的瞬时变化率。

解：（1）半径r从a增加到a+h时，圆面积从πa2增加到π（a+h）2，其改变量为π[（a+h）2-a2]，而半径r的改变量为（2）在上面得到的平均变化率表达式中，让r的改变量h趋于0，得到半径r=a时，圆面积相对于r的瞬时变化率为2πa。

评注：本例中的题（1）求的是函数曲线的割线斜率，从数学的角度看，都是函数值的改变量与对应的自变量的改变量的比；而题（2）求的是函数的瞬时速度，即平均变化率在某点处的极限，也就是某一点处切线的斜率。

三、运动物体的瞬时速度

（1）求s关于t的变化率，并说明其物理意义；

（2）求运动物体的瞬时速度关于t的变化率，说明其物理意义。

分析：本题是导数概念在物理学中的运用，题（1）直接利用导数的定义运算得出位移函数s关于时间t的导数（即运动物体的瞬时速度），而题（2）则是求瞬时速度关于时间t的瞬时变化率（运动物体的加速度）。

趋于at，即s′（t）=at。从物理上看，s关于t的变化率at就是运动物体的瞬时速度。

时，a还是a，所以s″（t）=a，它是运动物体的加速度。

评注：通过本例，一方面可以加深我们对导数定义的理解，另一方面则从数学的角度对加速度作了较为严格的定义。

四、利用定积分求曲边梯形的面积

点评：本题考查了由定积分求解曲线围成封闭图形的面积以及利用微积分基本定理进行计算的能力，考查了同学们数形结合解决问题的能力。

（作者单位：黑龙江省龙江县第一中学）endprint