摘要：一堂数学课的教学目标达成程度可以用来衡量这堂课的质量。因此，可以用认知主义与建构主义两种教学观对各个维度下的教学目标的贡献来推断一堂优质数学课中两种观念各自的相对权重。基于层次分析方法，将一堂优质数学课的构成分成四个层次并且建立评价模型。根据对二到四层进行理论推导得出的判断矩阵来计算两种教学观的相对权重。最终从整体以及各个子结构中审视两种教学观的相对权重，从而明晰在数学教学中要根据不同的境况采取合理的教学观。

关键词：建构主义 认知主义 优质数学课 数学教学目标 相对权重

一、认知主义和建构主义数学教学观

教师的数学教学观由数学观、认知观和教学观这三个部分构成[1]。认知主义数学教学观的主要表现：数学观上认为世界是由客观的物体及其属性和物体间的关系所构成，学习的目标在于将外在的这些事物及其属性和关系内化为学习者的认知结构;认知观上认为学习是知觉的重组、顿悟的过程、认知结构发展的过程、知识同化的过程以及信息加工的过程;教学观上认为教学目标就是要掌握数学基础知识与基本技能、发展数学能力，学生作为学的主体，在教的主体——教师的指导下主动的探索情境和加工信息，提倡发现学习以及有意义的接受学习的教学方法，采用行为测验和认知分析相结合的评价方法。建构主义数学教学观的主要表现：在数学观上，社会建构主义将数学视为社会建构的产物，认为数学知识是发展变化的、可误的，数学理论在不断的否定中进行发展[2];认知观上，数学的抽象性说明了数学学习是一个知识的建构过程，并且交互性是这个过程的关键，因此数学学习就发生在师生间多边的交互性活动中[3];教学观上认为教学的目标是要引导学生开展高水平的思维活动，并且达到对知识的深层理解。[4]认知主义与建构主义在数学观、认知观以及教学观上表现出不同的倾向，在不同的倾向上展现着各自的教学优势，但也无法掩盖各自的缺陷，我们对这两种教学观要辩证地对待。

二、建立模型及判断矩阵

判断一堂数学课的好坏，不是只看教师讲得如何流畅，课堂气氛如何热烈，板书如何漂亮，更主要的（也是首先应该考虑的）是看这堂课的教学目的是否订得合适、教学目的是否达到。[5]为了更直观地阐述认知主义教学观与建构主义教学观对一堂优质数学课的影响，利用AHP方法把衡量数学教学质量的教学目标分成三个维度，然后将具体教学目标按照这三个维度进行归类，从而建立起优质数学课的目标体系，通过理论分析得到各个层次的以及这两种教学观针对不同具体教学目标的判断矩阵，最终可以算出它们在优质数学课中的相对权重。本处采用1、3、5三个尺度进行同层次因素的两两比较。

1.建立模型

模型的决策目标是“优质数学课”，所以第一个中间层三要素是知识与技能、过程与方法以及情感态度与价值观这三个维度。第二个中间层要素就是按照三个维度所划分的具体的数学教学目标。知识与技能指的是事实、规则以及动作序列这类知识目标，过程与方法涉及的是如何学习和运用事实、规则以及动作序列这类知识，而情感态度与价值观指的是在实现过程与方法这个维度的目标时所形成的相对稳定的东西，如能力、兴趣、态度等。[6]因此，知识与技能这一维度应该包含数学概念、数学命题、数学技能;过程与方法这一维度包括问题解决和数学思想方法;情感态度与价值观包括良好的数学价值与兴趣、数学能力。备选方案包含认知主义数学教学观和建构主义数学教学观。模型如下图1所示。

2.建立第一中间层要素的判断矩阵

2013年国家教育部制定的《普通高中数学新课程标准（实验）》中表明数学担任的是一个科学语言和有效工具的角色，通过数学教育，学生必须掌握基础知识、基本技能、基本思想，形成符合社会需求的精神态度，并且能够用数学的思考方式解决问题、认知世界。在时间有限的一堂数学课上，教学目标将进一步具体化、现实化。知识与技能的教学目标是最为关键的，这个维度的目标达成与否将直接影响到以后的数学学习。知识与技能虽然关键却是数学教学中最基本的目标，这个层次的学习是为学生形成CPFS结构、掌握数学思想方法做基础。形成CPFS结构、掌握数学思想方法只能通过过程与方法这一维度目标的落实而实现，而且过程与方法目标的落实直接影响到学生数学能力的发展、情感价值观的形成。情感态度与价值观这一维度教学目标涉及到形式上的数学教育，在学生一生的发展过程中扮演非常重要的角色，但该维度的教学目标要通过长期的数学学习才能实现，教师在一堂课中落实过程与方法这个维度的目标时只能予以重视。因此，衡量一堂课是否具有高质量首先应该看过程与方法这一维度目标的落实情况，其次是知识与技能、最后才是情感态度与价值观。形成的判断矩阵如表1所示。

表1 第一中间层要素的判断矩阵

3.建立第二中间层要素的判断矩阵

（1）认知与技能维度下三要素判断

在中学数学中，概念、命题以及相关的数学技能构成了数学内容，而这些内容是中学数学基础知识的一部分。这部分的掌握对于中学数学教学来说是最基本的要求，构成了学生认知结构的元素。基础知识是有系统性的……也就是说它的每一个概念都用前面的概念来定义，每一个定理都用前面的定理、公理来证明。[7]然而在数学知识学习和应用的过程中，学习者对动作经验的积累而逐渐形成数学技能。同时，数学技能又影响着数学知识的学习，因此，数学技能的形成标志着学习者对数学知识的掌握。这三要素组成了完整的数学教学内容，所以，在知识与技能这一维度下，数学概念与数学命题是同等重要的，都必须作为最基本的要求来实现，而数学技能的学习明显要高于前两要素。得到的判断矩阵如表2所示。

表2 知识与技能三要素的判断矩阵

（2）过程与方法维度下两要素判断

数学基础知识除了概念、命题以及数学技能外，还包括教学内容所反映的数学思想与方法。按照波兰尼对知识的划分，数学思想方法属于默会知识。默会知识（怎么想，怎么做）本质上是理解力和领悟，存在于个人经验（个体性），镶嵌于实际活动中（情境性）[8]，这部分知识相当于冰山的水下部分，而且占了数学知识的相当大的比重。然而数学思想方法是一种只能意会不能言传的知识，只有在活动中获得体验才能领悟到这类知识。从数学课堂上讲，这种活动主要是围绕数学知识的学习和应用展开的。学生在问题解决过程中学习和使用数学知识，进而对数学知识产生理解，使知识点之间建立关系，达到建构主义的高级学习。所以说数学问题解决是获得数学思想方法的前提，为教师在教学中进行思想方法的渗透提供了知识和经验的基础，使学生获得数学思想方法成为可能。因此在一堂数学课中，数学问题解决这一目标的实现应先于数学思想方法的获得。两因素的判断如表3所示。endprint

表3 过程与方法两要素的判断矩阵

（3）情感态度与价值观维度下三要素判断

在教学中要注重形式教育与实质教育的结合，数学能力的培养是形式教育的重要体现。喻平教授将数学能力划分为三个层次即数学元能力、共通任务的能力和特殊任务的能力。数学能力在学习数学与使用数学的过程中形成的，通过教学是可以实现对其培养的。反过来，数学能力又严重影响学生对数学的学习和使用，良好的数学能力使学生在将来的工作与学习中更好的发挥数学的工具与语言的功能，是终身学习的基础。数学价值与兴趣，就是在数学教学过程中使学生要了解数学的社会、科学和人文价值，形成合理的数学观和数学兴趣，对数学价值的理解能够提升学生对数学的兴趣，促进学生形成稳定的数学学习动机。从单一的一堂课来看，数学价值与兴趣的意义小于数学能力，如表4所示。

表4 情感态度与价值观两要素的判断矩阵

4.建立备选方案的判断矩阵

（1）数学概念教学中两种观念比较

布鲁纳提出两种概念的获得方式：一种是概念的形成，另一种是概念的同化。[9]两者的区别是前者需要积累大量的感性材料，对本质属性的把握实现向理性的飞跃;后者是利用已有的相关认知对新概念进行解读，达到同化它的目的。从有效教学的角度来看，数学概念适合于概念的同化。“教师的作用是以尽可能直接的方式把事实、规则和动作序列传达给学生。”[10]进入中学的学生，他们的认知发展进入了形式运算阶段，在初二阶段，数学思维迎来第一次高速发展时期，可见，他们有能力利用已有的认知结构去同化新概念，从而使之得到发展。认知主义数学教学观有助于使学生形成系统的数学知识，方便于教师的教学，并且能够以直观的形式对教学结果进行评价。相反，让学生对事物进行经验，建构起概念然后将其同化，这个过程消耗了课堂上的时间与学生的精力，对后面的高级学习造成负面影响。因此，认知主义教学观更加适合中学数学概念的教学。

（2）数学命题教学中两种观念比较

数学命题描述的是数学概念之间的关系，一个命题的判断需要其它已确定的命题作为前提进行推理，甚至需要一系列的推理。命题的教学需要学生的主动参与，认知主义教学观以结构良好的问题为背景引导学生认识命题，其视角单一，忽视了学生对命题中概念之间关系的多维建构，容易造成机械学习，而且使数学命题孤立化，无法形成命题域与命题系。在命题教学中，教师提供难度适当的问题引起学生的认知冲突，在认知冲突的作用下尝试着解决问题，建构命题中各概念之间的关系，并进行证明。在这个过程中学生能够了解命题发展的脉络，从而形成命题域。然而，命题的学习还需要有难度的问题做变式，这些变式构成了结构不良的知识领域，需要学生从认知结构中提取相关信息进行重新建构，这样学生就能进一步完善命题域和形成命题系。在此阶段，建构主义教学观明显优于认知主义教学观。

（3）数学技能教学中两种观念比较

学生如能在两类数学知识（数学陈述性知识包括概念与命题，以及数学程序知识包括法则、方法、步骤等）之间建立起联系，了解程序知识的理论基础，就可以将相应的数学技能内化，使之成为扩大了的知识结构的一部分。[11]在教学时，教师要在陈述性知识基础上对每个步骤进行讲解与示范，使心智技能的要素与动作次序在学生大脑中形成定向表象，这个过程的完成是以认知主义教学观为基础的。然而在操作与内化阶段就要采取建构主义教学观，在一定量的变式练习中，教师要发挥脚手架的作用，逐渐的放手让学生自己操作。不难看出，在数学技能教学中，两种教学观念的搭配要相得益彰，两者缺一不可。

（4）数学问题解决教学中两种观念比较

问题解决教学的目的是为了培养学生用数学解决问题的能力。解决问题的认知过程分别为：问题表征、模式识别、解题迁移、解题监控。[12]在教学过程中教师不能把解题步骤与方法直接告诉学生，学生也不能直接从长时记忆中复制信息进行应用。而是教师要起到脚手架的作用，在与学生双向交流的过程中，引导学生对问题进行合理表征，继而通过模式识别与解题迁移对长时记忆中的信息进行重新建构，使之符合问题情境，学生还要对自己解题的整个过程进行监控，不断修改自己的问题表征和解题信息的结构，使解题过程朝正确方向发展。在这个过程中，学生进一步发展自己的CPFS结构、自我监控能力以及提升思维品质、形成数学思想方法。认知主义教学观的过分简单化学习容易导致高级学习的缺失，形成的认知结构是直线型的，而非网状的，这类认知结构只适合包含单一知识点的简单问题，而对于知识点交叉的、需要策略与方法迁移的复杂问题是无从下手。所以，建构主义教学观更适合于问题解决教学。

（5）数学思想方法教学中两种观念比较

数学思想方法是基于数学知识而高于数学知识的一种隐性的数学知识，要在学生的反复实践与体验中才能被逐渐认识、理解。[13]学生要主动的参与到数学教学中，然而以认知主义教学观为基础的传统教学容易忽视学生的主动性。所以，教师需要以一定难度的问题为情境，为了保证学生能够参与问题的解决，教师以学习共同体成员的身份给学生提供帮助，在这个过程中建构主义教学观的意义就得到彰显。事实上，思想方法的教学并非就此而结束，此时，教师还要引导学生对自己的经验进行反思和概括，并对数学思想方法与相关数学知识的交叉点进行讲解，帮助学生对知识去境脉化，形成系统的、稳定的、可迁移的数学知识。这个阶段就需要认知主义教学观的参与来保证教学的有效性，课件在数学思想方法的教学中两种教学观都是具有相当意义的。

（6）数学价值与兴趣培养中两种观念比较

在数学问题、现实生活问题以及其他学科问题解决中，让学生体验数学的工具作用的同时让他们感受到数学的美。虽然认知主义数学观延续了客观主义传统，导致学生个人的观点很难融入到数学知识中去，从而忽略学生的情感，使数学丧失了人文价值，但是，教师仍然就数学在众学科中的地位要进行详细认真的讲解，使他们形成正确的数学学习观。数学兴趣主要由数学意义所形成的外在兴趣以及数学学科本身形成的内在兴趣所构成。外在兴趣形成于对数学价值的理解，内在兴趣是在学习数学和解决数学问题的过程中获得的快乐而导致的。因此，两种教学观的意义是同等的。endprint

（7）数学能力培养中两种观念比较

数学知识技能的学习是形成和发展数学能力的基础，如果离开了知识技能的学习，那么数学能力的培养就会成为无源之水，无木之本[14]，但是数学知识的获得并不能代表数学能力的发展，而是需要学生在学习数学知识的过程中锻炼自己的数学元能力、共通性任务能力、特殊性任务能力，提升思维品质，同时还要完善自己的CPFS结构。在用数学解决问题时表现出敏捷、灵活和创新的特点。

七种教学中两种观念的比较结果如表5所示。

表5 七种教学中认知主义教学观与建构主义

教学观意义的判断矩阵

三、权重计算

将数据输入到yaahp6.0软件中，整个判断矩阵的一致性为0.037，其不一致性程度在容许的范围之内，两种教学观在总系统以及各个子系统中所占的权重如表6所示。

表6 指标权重

从总体上看，在堂优质的数学课中，认知主义教学观的相对权重仅为0.3609，建构主义教学观占到0.6391，明显处于主导地位。说明传统的教学方法已经很难满足现代社会对数学教学的要求了，教师需要形成建构主义数学教学观，尊重学生自己建构知识意义的权力和能力，师生间形成双向的交流通道，重视学习共同体之间的合作与交流。

从三个子系统来看，认知主义教学观虽然满足不了现代社会对数学教学的要求，但现代数学教学依然离不开它。在知识与技能这个维度上，两种教学观各位0.5，一方面，需要认知主义教学观保证课堂教学的效率，另一方面，需认知主义教学观帮助学生对学习知识去境脉化，形成系统的、稳定的、灵活的数学知识。在后两个目标维度中，认知主义教学观都占有一定的比重，在这两个维度的教学中建构主义教学观虽然起到很大的作用，但是依然需要认知主义教学观进行补充。

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参考文献

[1] 喻平.基于认知主义的数学教学观.中学数学月刊，2009（6）.

[2] 喻平.数学教育心理学.南宁：广西教育出版社，2004.

[3] 涂荣豹，喻平.建构主义观下的数学教学论.南京师范大学学报（社会科学版），2001（2）.

[4][8] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学.北京：北京师范大学出版社，2006.

[5][7] 曹才翰.中学数学教学概论.北京：北京师范大学出版社，1990.

[6] 崔允漷.有效教学.上海：华东师范大学出版社，2009.

[9] 施良方.学习论.北京：人民教育出版社，2001.

[10] [美]加里·D·鲍里奇.有效教学方法.易东平，译.南京：江苏教育出版社，2002.

[11] 季素月.数学技能教与学的若干思考.数学教育学报，2003（2）.

[12] 喻平.数学问题解决认知模式及教学理论研究.南京：南京师范大学，2002.

[13] 曹一鸣.数学教学论.北京：高等教育出版社，2008.

[14] 马忠林主编.数学学习论.南宁：广西教育出版社，2007.

[作者：汪辉（1986-），男，湖北黄石人，喀什师范学院在读硕士。]

【责任编辑 任洪钺】endprint