马永秀

1 反对称矩阵特征值的性质

性质14 实反对称矩阵的特征值为纯虚数或零.

证明：法一：设A是实反对称矩阵，不妨设λ=a+bi为A的特征值，ξ=?+βi 为相应的特征向量.即Aξ=λξ，取共轭转置：ξTAT=λξT，从而有：ξTATξ=λξTξ，又有：ξTAξ=λξTξ，从而：ξTATξ=-ξTAξ=-λξTξ=λξTξ，故：-λ=λ，进而λ=0或λ为纯虚数，故A的特征值为0或纯虚数.

法二：设A是实反对称矩阵，Aα=λα，α为特征向量，则Aα=λα?αTAT=λαT?αTATα=λαTα，即：，得：λ+λ=0，Re λ=0，所以，λ为纯虚数或零。

性质15：设λ是反对称矩阵A的特征值，则-λ也是A的特征值.

证明：设λ是反对称矩阵A的特征值，则|λE-A|=0.又AT=-A，从而|-λE-A|=|-λE+AT|=|（-λE+A）T|=|-λE+A|=（-1）n|λE-A|=0，所以-λ也是A的特征值.

性质16：若实矩阵A为反对称矩阵，则E±A可逆.

证明：因A是反对称矩阵，直接由性质13可知±1是A的特征值，所以|E±A|≠0，即有E±A可逆.

2 特征值性质的相关解题应用

例6：设A是n阶实反对称矩阵，B是n阶可逆实对称矩阵，且AB=BA，则A+B是可逆矩阵.

分析：要求A+B可逆，就需求证|A+B|≠0，又A+B=B（E+ B-1A），则只需求证|E+ B-1A|≠0，即-1不是B-1A的特征值，由反对称矩阵特征值相关性质即可求证.

证明：由AB=BA及B可逆知：A B-1= B-1A，又A是反对称，B是对称，故（AB-1）T=（ B-1）TA-1=-B-1A=-AB-1，所以AB-1=B-1A是实反对称矩阵，从而知B-1A的特征值是0或纯虚数，当然-1不是B-1A的特征值，故|E+B-1A|≠0.于是|A+B|=|B+A|=|B（E+B-1A）|=|B||E+B -1A|≠0，因此A+B是可逆矩阵.

3 反对称矩阵在欧式空间线性变换上的相关解题应用

3.1用反对称矩阵研究线性变换

例7：欧式空间V中的线性变换A：V→V称为反对称变换，若?α，β∈V，（Aα，β）=-（α，Aβ）.证明：A反对称当且仅当A在一组标准正交基的矩阵是反对称矩阵.

证明：充分性：设A=（aij）n×n是线性变换A在标准正交基ε1，ε2，…，εn 下的矩阵，且A反对称，即AT=-A，任给α，β∈V，记α=（ε1，ε2，…，εn）X，β=（ ε1，ε2，…，εn）Y，则有Aα=（ε1，ε2，…，εn）AX， Aβ=（ ε1，ε2，…，εn）AY，那么（Aα，β）=（AX）TY=XTATY=-（α，Aβ），所以A为反对称变换.

必要性：设是A反对称变换，且A（ε1，ε2，…，εn）=（ε1，ε2，…，εn）A，其中矩阵A=（aij）n×n，ε1，ε2，…，εn为V的标准正交基，那么，

，.

因此（Aεi，εj）=aij，（εi，Aεj）=aij，所以aij=（εi，Aεj）=-（Aεi，εj）=-aij.即知A为反对称矩阵.

小结 有本例题可……