董鹏飞,董鹏达

（1.呼和浩特民族学院 数学系；内蒙古 呼和浩特 010051；2.内蒙古路桥有限责任公司 第四工程处，内蒙古 呼和浩特 010052）

1 引言

若矩阵A∈Cn×n,A的Drazin逆是满足

Ak+1X=Ak,XAX=X,AX=XA.的矩阵X∈Cn×n,其中k是使得rank(Ak)=rank(Ak+1)的最小的非负整数,记k=Ind(A)为A的指标.

特别地,当Ind(A)=1,则称X为A的群逆,记作X=A#.若A#存在,则它是唯一的.如果A是非奇异的,则易知Ind(A)=0且 AD=A-1.本文中令Aπ=I-AAD.

Drazin逆的理论在许多领域有着广泛的应用,例如差分方程,统计,马尔科夫链,数值分析和控制理论等等[1-6].

1979年,Campbell讨论了AD在求奇异常系数矩阵差分方程解中的应用,提出了"(A,D是方阵)形式分块矩阵的Drazin逆(群逆)表达式的open问题,由于此问题难度很大,至今仍没有被完全解决.

1983年,Campbell研究了下面两类奇异微分方程的解,提出了系数矩阵的Drazin逆与方程解的关系.

一阶微分方程:

其中E是奇异矩阵，t≥0.

假设存在λ使得λE+A是非奇异的,令x(t)=eλtz(t),E1=(λE+A)-1E,则(1)等价于

得到解的表达形式

其中 A1=(λE+A)-1A=I-λE1，x(0)∈Cn为初始条件.

二阶微分方程：

其中E是奇异矩阵,t≥0.

假设存在λ使得λ2E+λF+G和G是非奇异的,令x(t)=eλ-tz(t),则方程(4)等价于

其中 E2=(λ2E+λF+G)-1(2λE+F)，F2=(λ2E+λF+G)-1E.

由(1),(2),(3)得(4)的解为

学者们在一些特殊情况下研究的2×2分块矩阵Drazin逆的表达式问题中,有关斯舒尔补的结果如下:

(1)CAπ=0,AπB-0,斯舒尔补 S=D-CADB=0[5];

(2)AπC=0,BAπ=0,斯舒尔补 S=D-CADB非奇异[6];

(3)CAπB=0,AAπ=0,斯舒尔补S=D-CADB非奇异或为零[7].

2 引理

引理2.1[8]令∈Cn×n,D∈Cp×p.则

引理 2.2[9]令 A，B∈Cn×n,若 AB≠BA,则(AB)D=A((BA)2)DB.

引理 2.3[10]令M∈Cn×n,若F和G分别是m×n和n×m矩阵,其中m≥n且G×F=In,则(FMG)D=FMDG.

3 定理

若 S=D-CADB=0,ABC=0,CAπ=0,则

证明 因为

由引理2.1,得

下面只需求出(A+BCAD)D即可.由引理2.2,得

代入(6),有

将(7)代入(5),得

即

从而,此定理得证.

4 数值例子

满足条件S=D-CADB=0,ABC=0,CAπ=0.通过计算得

AD因此,将AD代入定理3.1,我们得

到

〔1〕S.L.Campbell,C.D.Meyer,Generalized Inverse of Linear Transformations[R],Pitman,London,1979.

〔2〕S.L.Campell.The Drazin inverse and systems of second order linear differential equations[J].Linear and Multilinear Algebra,14(1983):195-198.

〔3〕A.Ben-Isral,T.N.E.Greville,Generalized Inverse:Theory and Applications[R].Wiley,New York,1974.

〔4〕J.J.Climent,M.Neumann,A.Sidi,A sem i-iterativemethod for real spectrum singular linear systems with an arbitrary index[J].Comput.Appl.Math.,87(1997):21-38.

〔5〕J.M iao,Results of Drazin inverse of a block matrices[J].J.Shanghai Normal University,18(1989):25-31.

〔6〕Y.Wei,Expressions for the Drazin inverse of a block matrix[J].Linear and Multilinear Algebra,45(1998):131-146.

〔7〕R.Hartw ig,X.Li,Y.Wei,Representations for the Drazin inverse of a block matrix[J].SIAM J.Matrix.Anal.Anal.Appl.27(2006):757-771.

〔8〕S.L.Campbell,Linear systems of differential equations with singular cofficients[J].SIAM J,Math.Anal.8(1977):76-81.

〔9〕X.Li,Y.Wei,A note on the representations for the Drazin inverse for a class of 2×2 block matrices[J].Linear Algebra Appl.,423(2007):332-338.

〔10〕N.Castro-González,E.Dopazo,J.Robles,Formulas for the Drazin inverse of special block matrices[J].Appl.Math.Compute.,174(2006):252-270.