景慧丽，王正元，赵伟舟

（第二炮兵工程大学 理学院，陕西 西安 710025）

随着军校新一轮教学改革的持续发展和我校新版人才培养方案的修订，我校教员在《高等数学》课程教学上也进行了一系列的改革，其中最明显的是在教学方法上进行了改革，大部分教员采用了具有启发性的教学方法，如探究式教学法、研讨式教学法、PBL(Problem-Based Learning)教学法等.经过实践检验和教学组成员的研究讨论，大家一致认为PBL(Problem-Based Learning)教学法尤其在培养学员的自学能力、分析问题及解决问题的能力、创新思维能力方面具有非常重要的作用.

1 PBL教学法的起源

PBL(Problem-Based Learning)教学法最早起源于20世纪50年代的美国医学教育领域，是由美国神经病学教授霍华德·巴罗斯 (Howard Barrows)于1969年在加拿大麦克马斯特大学医学院(McMaster University Medical School)实行的一种教学方法[1].在传统的教学方法下，医学院的教学基本上都是以知识传授为主，要求学员死记很多书本知识，然后再将这些知识应用到临床上.结果是虽然学员把书本知识背的滚瓜烂熟，但是一到实际就手足无措，不知道该用什么知识，更不知道如何应用这些知识.巴斯罗教授最早注意到了传统教学法这种只注重知识传授而忽略学员基本技能培养的弊端，于是他开始尝试不把知识直接告诉学员，而是先让学员研究一个具体的病例，然后让学员提出自己的问题，最后再让学员对自己的问题给出相应的解决方案.这样，经过一段时间的培养，巴斯罗教授发现这种教学模式不仅加深了学员对各种医疗工具的了解，而且学员的临床经验也得到了提高.巴罗斯把这种新模式规定为：“起自于努力理解和解决一个问题的学习”[1].该校以巴罗斯教授为代表的一些老师开始从事这方面的实践和研究.自此，“基于问题的学习”作为一种明确的课程教学模式诞生了.

2 PBL教学法的特点

PBL教学法最主要的特点是：以问题为中心，以学员为主体，以教员为主导，问题的提出和解决贯穿整个教学过程.

2.1 以“问题”为中心

“问题”是PBL教学法的中心和起点.在应用PBL教学法组织教学的过程中，教员根据教学目标，把教学内容设计成一系列问题，学员围绕问题不断地思考、分析，他们一直在为解决问题而努力.这一过程不但培养了学员分析问题和解决问题的能力，同时也培养了学员的自主学习能力和创新思维能力.“问题”是PBL教学法的起点，同时，“问题”又贯穿于整个教学过程之中，它引导和制约着教员和学员的研究行为，这是PBL教学法最主要的特征.

2.2 以学员为主体、以教员为主导

传统教学法是“以教员为主、学员为辅”、“以教员教学员知识为主、以学员听讲为主”.传统教学法注重教员的主导地位，而忽略学员的主体地位，在课堂上教员教什么，学员就被动的接受什么，教员讲什么，学员就听什么，即便是教员讲错了，学员也不会、不敢提出疑问，课后教员布置什么作业，学员就应付着做什么作业，学员如果在学习中遇到了问题，他们也往往是得过且过，要么不去思考，要么简单思考一下，解决不了就不再去研究，很少有人去主动的查找资料.而在PBL教学法中，教员和学员的角色发生了改变，教员由知识的传授者转变为学员学习的指导者、鼓励者、问题情境的创设者.同时，在解决问题的过程中，教员也是学员学习的同伴，教员和学员一起解决问题，并适当地激发学员的兴趣，鼓励学员发表自己的看法，并适时地从认知上给学员以指导，而学员则是整个教学活动的参与者、是课堂的主角.

3 PBL教学法应用到军校《高等数学》课程教学的教学优势

《高等数学》是我校各工科专业学员必修的一门非常重要的基础课，该门课程是针对本科层次大一学员所开设的.《高等数学》课程最主要的特征就是理论性强、高度抽象、应用广泛.所以，大部分学员都感觉《高等数学》“枯燥”、“难学”，提不起学习的兴趣.在课堂上，学员只愿听教员讲，不愿意去主动思考，更不愿意去主动学习，这严重违背了《高等数学》课程教育的目的.注意到PBL教学法自身的特征，因此我们把PBL教学法应用到了《高等数学》课程教学，把PBL教学法应用到《高等数学》课程教学主要具有以下教学优势：

（1）学员通过预习可以培养学员的自主学习能力.在应用PBL教学法组织教学时，教员需要给学员布置预习任务，需要学员通过课外独自寻找有关资料，对资料进行筛选和分析，这个过程不但可以培养学员的自主学习能力，还可以培养学员科学的工作方法，为学员后继课程的学习如毕业论文的撰写奠定基础.

（2）学员学习过程由被动的接受变为积极主动的参与.我们知道问题是思维的启发剂、是创新的起点，人们一旦发现问题，就会产生探究的心理.在应用PBL教学法组织教学时，教员围绕知识点不停地提出问题，这样就要求学员不停地为解决问题而需找方法，进而就可以使学员潜在的求知欲活跃起来，他们就会积极主动地去思考问题，从而在不自觉中参与到了教学活动中.其实，作为学习的主体青年学员是很喜欢享受这种具有挑战性和刺激性的过程，他们很喜欢在这种过程下享受成功的喜悦，这是教员单纯说教所不能企及的[2].

4 军校《高等数学》课程实施PBL教学法的模块设计

《高等数学》课程具有理论性强和高度抽象的特征，所以，《高等数学》课程的内容不是都适合用PBL教学法来组织教学.经过多年的教学实践和专家教授的研究讨论，笔者把军校《高等数学》课程适合用PBL教学法的教学内容进行了梳理汇总，其详细情况见表1.

表1 军校《高等数学》课程实施PBL教学法的模块设计

续表1

5 PBL教学法在 “二阶常系数齐次线性微分方程”教学中的应用实践

由于PBL教学法没有固定的教学模式，且《高等数学》课程内容高度抽象，所以要想发挥好PBL教学法在《高等数学》课程的教学优势，就必须探索PBL教学法应用到《高等数学》课程的教学模式.笔者结合自己多年的教学经验，总结了把PBL教学法应用到《高等数学》课程课堂教学的一般步骤，下面结合“二阶常系数齐次线性微分方程”内容的教学加以说明.

首先是课前指导，做好预习.在讲完“高阶线性微分方程”的相关内容后，布置本节学员需要重点预习的两个问题：身边是否存在二阶常系数齐次线性微分方程的例子？二阶常系数齐次线性微分方程和高阶线性微分方程具有什么关系？第一个问题的布置，主要是让学员体会到数学就在身边，从而激发学员学习数学的兴趣.第二个问题的布置，主要是要学员总结二阶常系数齐次线性微分方程的特点，为本节知识的讲解奠定基础，并让学员体会一般和特殊的关系.

然后是创设情景，引出问题.以飞机减速伞的作用引出二阶常系数齐次线性微分方程的概念.第三步是抓住问题，切入探究.即教员抓住要解决飞机减速伞这个问题，不时提出问题，如提出问题：二阶常系数齐次线性微分方程和高阶线性微分方程具有什么关系？让学员思考、讨论后给出答案，然后教员继续提出问题：既然二阶常系数齐次线性微分方程是特殊的高阶线性微分方程，那么高阶线性微分方程解的结构和性质适合常系数齐次线性微分方程吗？学员回答：适合.教员给出肯定，并继续提出问题：根据高阶线性微分方程解的结构，我们只需找到二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的特解，那么它们的线性组合就是方程的通解，现在的问题是，我们如何来找它的特解呢？它的特解是谁呢？教员引导学员从方程本身出发进行分析：注意到二阶常系数齐次线性微分方程的特点是系数是常数，我们不妨设函数y=y(x)就是方程的一个解，则我们可得到函数y=y(x)的各阶导数之间最多只差一个常数，那么哪类函数具有这样的特征呢？让学员思考、讨论并给出答案，教员给出解释：我们不妨遵循从简单到复杂的原则，我们先来求一阶常系数齐次线性微分方程y'+py=0（其中p是常数）的解，其通解是y=Ce-px.该通解中含有指数函数y=e-px，注意到指数函数y=erx的各阶导数之间只差一个常数，满足二阶常系数齐次线性微分方程的解所要求的特点，那么指数函数y=erx会不会就是二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解呢？学员回答：可能是，此时教员继续解释，我们不妨猜想指数函数y=erx就是方程的特解，则我们把其代入到方程y"+py'+qy=0中，可得r2+pr+q=0，由此我们可得到结论：如果r是代数方程r2+pr+q=0的根，则函数y=erx就是微分方程y"+py'+qy=0的特解.此时，教员启发学员进行总结：求微分方程y"+py'+qy=0的通解问题就转化为求代数方程r2+pr+q=0的根的问题，接下来教员给出特征方程、特征根的概念，然后依据一元二次方程根的情况进行讨论：

（1）若方程 r2+pr+q=0有不相等二实根 r1，r2，此时微分方程y"+py'+qy=0有两个线性无关的特解：y1=er1x、y2=er2x，所以微分方程的通解是y=C1er1x+C2er2x.

（2）若方程r2+pr+q=0有相等二实根r1=r2，此时微分方程y"+py'+qy=0有一个特解：y1=er1x，根据高阶线性微分方程解的结构，只需再找到微分方程的与y1=er1x线性无关的特解y2，则它们的线性组合就是方程的通解，现在的问题是如何寻找y2呢？让学员思考、讨论后给出方案，教员再加以解释和说明，从而得到答案.

（3）若方程r2+pr+q=0有一对共轭复根r1,2=α±β，此时微分方程 y"+py'+qy=0有两个特解：y1=e(α+iβ)x、y2=e(α-iβ)x，则它们的线性组合就是微分方程的通解.此时教员强调：数学是具有统一性的，既然微分方程是常实系数微分方程，当然所求通解也希望是实数解，怎么才能得到实数解呢？让学员思考、讨论后给出方案，教员再加以解释和说明，从而得到答案.

最后是总结应用，深化研究.即让学员把刚才三种情况进行归纳总结，从而得到二阶常系数齐次线性微分方程的通解情况及求解步骤并由此解决飞机减速伞的问题，然后教员继续提出问题：如果此时飞机所受阻力不忽略，则微分方程就变成了y"+py'+qy=f(x)，该微分方程是二阶常系数非齐次微分方程，如何求该微分方程的通解呢？让学员课下思考，为下次课内容奠定基础.

6 结语

总之，PBL这种以“问题”为中心的教学法可以打破传统教学法的“教员讲学员听”的弊病，对提高课堂教学效率、培养学员的创新思维能力具有重要作用.但是，要想发挥好PBL教学法在军校《高等数学》课程教学的教学优势，就必须探寻适合《高等数学》课程内容教学的PBL教学流程和选择合适的教学内容，并不是所有的《高等数学》内容都适合运用PBL教学法，所以教学模块要选好，当然“问题”也必须选好，因为“问题”是PBL教学法的核心.

〔1〕马真.美国PBL教学模式及在我国高校研究生教学中应用研究[D].山东师范大学,2011.6.

〔2〕李莎澜，朱四如，等.问题教学法在军校数学教学中的应用实践[J].空军雷达学院学报，2012，26(1)：65-67.