鞠 银/上海电机学院数理教学部

MATLAB软件在微积分教学中的应用

鞠 银/上海电机学院数理教学部

微积分课程是高校开设的重点基础课程之一，由于其内容抽象、枯燥，不少学生在学习微积分的过程中缺乏兴趣，以培养学生的学习兴趣同时提高教学质量为目的，利用MATLAB软件作图和数值计算的优势，将一些抽象的，不容易理解的数学知识点通过图形等直观的方式展示出来，从而来激发学生对微积分的学习兴趣，同时也提高分析和解决问题的能力。

微积分；M atlab；难点；实例分析

1.问题的提出

随着计算机的发展，世界上涌现了很多计算软件，如MATLAB,SSPS,MATHMETICA等，这些软件的出现为科学工程计算注入了活力，也给微积分课程的学习带来了根本的变革。利用MATLAB软件辅助微积分的教学将会帮助学生对一些难点的理解，同时还能培养学生的应用能力。

2.MATLAB在微积分教学中的实例分析

2.1 在极限中的应用

在微积分中求函数极限是非常重要的，极限的基本思想就是用无限逼近的方式来研究函数的变化趋势。比如重要极限Ⅱ对学生来说就比较难理解时，我们可以利用MATLAB中的limit命令来求此函数极限。考察函数f(x)=(1+1/x)x当x→∞时的极限。

＞＞symsx

＞＞y=(1+1/x)^x

＞＞lim it(y,x,inf)

ans=

exp(1)

我们也可以通过绘出函数的图形（图1）来观察其变化趋势。x=1:20:1000;y=(1+1./x).^x;p lot(x,y)

通过上述的例子可以学生直观的感受到未定式的极限不一定是不存在的。

图1

2.2 在taylor公式中的应用

微积分中的taylor公式是很多学生认为太难理解了，觉得很抽象，其实taylor公式的思想是用多项式函数来近似表达函数f(x)的，我们可以通过MATLAB软件强大的函数图形描绘让学生直观感受到多项式函数在一定的范围和函数f(x)拟合得非常好。下面考察y=sinx;y=x;,y=x-x3/3!;y=x-x3/3!+x5/5!的图形特征（图2），我们发现这些多项式在一定的范围可以近似函数y=sinx,这样可以让学生更好的理解如此抽象的公式。

图2

2.3 在定积分中的应用

定积分的主要思想是“化整为零，积零为整”，实质是和式的极限，其几何意义是曲边梯形的面积。要理解这样一个概念，我们可以通过MATLAB计算出当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系（图3）．这样更利于学生理解定积分的定义。

图3

2.4 在微分方程中的应用

在科学技术和经济管理中有些实际问题，有时需要列出含有要求的函数及其导数所满足的关系式，这样的关系式就叫做微分方程。我们知道，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有非常丰富的函数，我们将其统称为solver，其一般格式为：

[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)

如求方程ml t"=mgsin(t)，t(0)=t0,t’(0)=0的数值解。

不妨取l=1,g=9.8,t(0)=15,则上面方程可化为t"=9.8s in(t), t(0)=15,t’(0)=0

先看看有没有解析解.运行MATLAB代码：

＞＞c l ea r;

＞＞s=dsolve('D2y=9.8⋆sin(y)','y(0)=15','Dy(0)=0','t')

＞＞simp l i f y(s)

知原方程没有解析解.下面求数值解。令y1=t,y2=t’可将原方程化为如下方程组：

非医学生入校后因为对学校新环境适应能力和挫折承受能力较低而容易导致心理障碍，如因为父母意愿或专业调配等因素进入非医学专业，不适应大学课堂教育方式，现实情况与想象的大学生活产生碰撞，产生失落情绪等。因此做好他们的适应性教育，培养学生的心理素质，我们需要通过形式多样的群体活动，让学生表达想法，对他们加深了解，掌握思想状况，对极个别的偏执学生要加大感情投入，重点关注家庭困难的学生，要经常深入到学生生活中，到寝室和他们谈心，多关心、多指导。

建立M文件fun2.m如下：

％M文件f u n 2.m

functionf=fun2(t,y)

f=[y(2),9.8⋆sin(y(1))]';

运行MATLAB代码：

＞＞c lear;c lose;

＞＞[t,y]=ode45('fun2',[0,10],[15,0]);

＞＞xlabel('t'),ylabel('y1')

图4

结果见图4；由图4可见，t随时间周期变化。

由以上介绍的几个应用不难看出，运用MATLAB软件的符号运算及绘图功能可以使我们比较容易的掌握所学微积分知识，在微积分的教学过程中,把抽象的数学概念与现代科技手段适当相结合,无疑是一种行之有效的教学辅助方法,有利于培养学生学习数学的兴趣和数学应用意识,又提高了学生运用数学知识和计算机技术分析和解决实际问题的能力.

[1]同济大学编，高等数学(第五版)[M]北京:高等教育出版社,2007.[2].

[2]孙祥徐流美吴清编著，MATLAB7.0基础教程[M]清华大学出版社，2005.[1].