刘国松，张 淼

(长春工程学院理学院，吉林长春 130012)

模态正交性及其对角化功能

刘国松，张 淼

(长春工程学院理学院，吉林长春 130012)

本文针对目前常用的各种阻尼系统的模态向量的正交性进行了分类及评述，对它们所能实现的对角化功能进行了辨析，通过对比和分析它们的使用条件和范围以及使用过程中需要注意的问题，为工程应用提供了良好的理论基础。

阻尼系统；正交性；对角化；标号现象；状态方程

解耦的目的是将一组方程变成相互独立的单个方程，从而解出所需的多维未知向量。矩阵的对角化，在工程应用中往往对应着某种类型方程的解耦。例如，振动方程可以通过振型向量进行解耦，事实上这种解耦实现的就是系统性质矩阵的角化[1]，如果对角化难以实现，振动方程的解耦就更难以实现了。再则，灵敏度系数控制方程的解耦[2]也是通过将状态矩阵或性质矩阵对称化来完成的。可见对角化功能的实现是一个非常重要的前提，而它所依赖的基础则是系统本身拥有的无阻尼实模态参数或阻尼复模态参数的正交性。不同的系统，这些模态参数的正交性可能完整，也可能缺失[3-4]，因此针对不同的系统结构，应考虑合理且灵活地使用系统模态参数，这是解决工程问题非常重要的前提。

1 实模态参数

描述自由度为N的线性阻尼离散系统的自由振动方程为

(1)

相应地，其强迫振动方程为

(2)

(3)

设每个实模态的正则化系数为ai，即

(4)

记aiξi=vi，称为无阻尼正则固有振型，简称为振型，则V=[v1，…，vN]为振型矩阵。

1.1 单频且对称系统的模态正交性及对角化功能

如果K，M为对称阵，且实频率全不相同，那么此时振型矩阵可以角化质量和刚度矩阵[5]，如下

VTMV=E.

(5)

(6)

也就是说，振型关于质量和刚度阵是加权正交的。如果此时的振型刚好能对角化阻尼矩阵，那么系统(1)和(2)称为经典阻尼系统[6]，即

VTCV=diag(c1，…，cN).

(7)

振型关于阻尼阵也是加权正交的。否则称为非经典阻尼系统[7]，显然对非经典阻尼系统而言，振型并不能对角化阻尼矩阵。

1.2 重频或非对称系统的模态正交性及对角化功能

如果K，M为非对称矩阵，或者实频率发生重复，那么(5)和(6)式不再成立[8]，此时先将(3)式化为如下形式

记M-1K=D，上式化为

(8)

我们可以说，(8)式中的矩阵D的特征值和特征向量，即为(3)式中的矩阵K，M的广义特征值和广义特征向量，也是(1)式对应的无阻尼系统的实频率和实模态。此时D一般为非对称矩阵，或其特征值发生重复，其特征向量系并不能保证正交性[8]，因此对角化并不容易实现。设其特征向量系虽然不能保证正交性，但具有无关性，即可引入伴随向量来实现正交性及对角化功能。设V=[v1，…，vN]的伴随向量系为Z=[z1，…，zN]，则有

ZTV=E.

(9)

(10)

这里有两个问题需要注意，一是要注意标号现象的出现，例如按(5)式所示，应该有

2 复模态参数

考虑阻尼时的系统极点及复模态对(λi，ui)(i=1，2，…，2N)，满足方程

对于N自由度振动系统，特征方程det[λ2M+λC+K]=0有2N个呈复共轭对出现的特征值λ1，λ2，…，λ2N(其中λi+1为λi的共轭(i=1，3，…，2N-1))，称为系统的极点。这些频率对应着一组呈复共轭对出现特征向量ui∈CN称为系统(1)与λi相对应的第i个模态向量。将u1，u2，…，u2N(其中ui+1为ui的共轭(i=1，3，…，2N-1))，称为复模态。这些复模态不能对角化任何一个性质矩阵M，C，K，但它们所构成的状态向量，在状态空间中可以对角化状态矩阵，仍然可以实现对角化功能，除了由N维空间拓展至2N维空间所带来的麻烦外，基本不妨碍对角化功能的应用。

2.1 单频且对称系统的模态正交性及对角化功能

如果K，C，M均为对称阵，且复频率全不相同，那么构造状态向量φi=[uiλiui]T(i=1，2，…，2N)，则有状态方程为

(λiA+B)φi=0.

(11)

ΦTAΦ=E.

(12)

ΦTBΦ=diag(-λ1，…，-λ2N).

(13)

2.2 重频或非对称系统的模态正交性及对角化功能

如果K，C，M至少有一个为非对称阵，或复频率发生重复，那么(12)和(13)式不再成立，但此时状态向量不变，而使用状态方程变为

λiφi=Hφi.

(14)

ΨTΦ=E.

(15)

ΨTHΦ=diag(-λ1，…，-λ2N).

(16)

需要说明的是，复模态参数的标号现象[9]可能更为常见，也如前文所述的方法加以处理，即可实现正交(15)和(16)式，使标号现象并不致妨碍对角化功能的应用。

如果当K，C，M均对称，且系统复频率发生重复时，也可以使用(λiA+B)φi=0型状态方程，但它的状态向量可能并不正交，主要是因为那些重频所对应的状态向量之间可能并不具有正交性，因此需要实施施密特正交化技术，才能使它们完全具有正交性，再继续实现对角化功能[12]。

如果当K，C，M非对称，且系统具有重频时，即使是不同频率所对应状态向量也不能保证正交性，如果如文献[13]那样，引入左状态向量，也只能保证不同频率所对应的左右状态向量之间是正交的。只能如上述2.2小节中所指出的那样，引入伴随向量系来实现对角化功能。

[1]张淼,于澜,鞠伟.基于频响函数矩阵计算阻尼系统动力响应的新方法[J].振动与冲击,2014,33(4):161-166.

[2]张淼,于澜,鞠伟.重频系统的频率灵敏度分析算法研究[J].华南师范大学学报:自然科学版,2014,46(3):40-44.

[3]张淼,于澜,鞠伟.亏损振系广义状态向量灵敏度的移频算法[J].计算力学学报,2013,30(6):872-878.

[4]张淼.亏损结构振动方程的稳态响应求解[J].吉林师范大学学报:自然科学版,2014,35(1):91-94.

[5]李德葆,陆秋海.实验模态分析及其应用[M].北京:科学出版社,2001.

[6]张淼,于澜.对称经典阻尼系统动力响应精确算法的比较研究[J].吉林师范大学学报:自然科学版,2015,36(1):99-103.

[7]张淼,于澜.对称非经典阻尼系统动力响应精确算法比较[J].长春工业大学学报:自然科学版,2015,36(1):107-110.

[8]方保镕,周继东,李医民.矩阵论[M].北京:清华大学出版社,2004:146-147.

[9]张淼,于澜,鞠伟.复模态正交性理论的异常现象及对策分析[J].应用数学和力学,2014,35(10):1081-1091.

[10]张文丹.对称结构复模态向量的二阶泰勒展开[J].长春理工大学学报,2014,37(6):142-146.

[11]张淼.非对称结构振型向量的海森阵算法及应用研究[J].长春工业大学学报:自然科学版,2014,35(2):216-220.

[12]张淼,于澜,鞠伟.重频结构模态灵敏度分析的高精度截模态算法[J].振动工程学报,2014,27(4):526-532.

[13]于澜,张淼,鞠伟,等.非保守系统复模态的规范正交性及其应用[J].华南师范大学学报:自然科学版,2013,45(4): 21-24.

Orthogonality of Modes and Its Diagonalization Function

LIU Guo-song，ZHANG Miao

(Changchun Institute of Technology, Changchun Jilin 130012, China)

For the sake of several usual damping systems, the orthogonality of modes are remarked and sorted.The diagonalization function which they can carry out is differentiated and analyzed. And it applies the favorable theories by comparing conditions and range.

damped system; orthogonality; diagonalization; label phenomenon; state-space equation

2015-07-09

吉林省教育厅资助项目(吉教科合字[2014]335)；长春工程学院种子基金项目(320140026)。

刘国松(1979- )，男，吉林长春人，长春工程学院理学院副教授，硕士，从事理论物理及实验研究。

O321；TB122

A

2095-7602(2015)12-0005-03