林志兴，杨忠鹏，陈梅香，2，陈智雄，陈少琼

（1．莆田学院数学学院，福建 莆田 351100；2．福建师范大学数学与计算机科学学院，福建 福州 350007；3．华南理工大学数学学院，广东 广州 510640）

0 引言

设Fn×n为数域F上n×n矩阵的集合，C为复数域，In为n×n单位矩阵．r（A）和mA（x）分别表示A∈Fn×n的秩和最小多项式．设N为非负整数集合且［p1，…，pk］为非零的p1，…，pk∈N的最小公倍数．使λk＝1，（λ∈C），成立的最小正整数k称为单位根λ的阶，记为．总约定ε0，ε1，…，εu－v－1为所有u－v次单位根，这里u，v∈N，u＞v．

若正整数u∈N使Au＝A，称A为u幂等的．文［1－7］研究了u幂等矩阵与秩的有关问题．若u，v∈N，u＞v，使Au＝Av，称A为（u，v）幂等矩阵［8－9］．记Pn（u，v）（F）＝ ｛AA∈Fn×n，Au＝Av｝．显然Pn（u，0）（F）、Pn（u，1）（F）分别是通常的u幂幺、u幂等矩阵集合．文［8］、［10］给出了（u，v）幂等矩阵秩的等式．

命题1［9］设A∈Fn×n，u，v∈N 且u ＞v，则

命题2［12］设A∈Pn（u，v）（F），则A相似于准对角矩阵diag（M，ε0In0，ε1In1，…，εu－v－1Inu－v－1），其中：M为由型Jordan块构成的准对角矩阵，且它们最大阶数不超过v；ni＝n－r（A－εiIn），i＝0，1，…，u－v－1．

由文［2］得到了3幂等矩阵的一个重要性质：

显然幂等矩阵是3幂等的．为了区别这种情况，文［13－14］给出了本质3幂等矩阵的定义，即满足A3＝A≠A2（即（3）式中B，C都非零）的A．

设A∈Fn×n，若有最小正整数m使m＞l（∈N）且Am＝Al成立，称A为本质（m，l）幂等矩阵，记A∈EPn（m，l）（F）．可 见 例1中A∈EP3（3，2）（F）为本质（3，2）幂等的．由文［15－16］知EPn（m，0）（F）、EPn（m，1）（F）分别为本质m幂幺矩阵、本质m幂等矩阵集合．

由文［9］知幂等性与数域扩大无关，因此当A∈Fn×n时，A∈Pn（u，v）（F）（EPn（m，l）（F））当且仅当A∈Pn（u，v）（C）（EPn（m，l）（C））．这样只要考虑A∈Cn×n．

以下总设A∈Cn×n的Jordan标准形满足

当ni＝1时，约定Jor dan块是1阶矩阵；因此1阶幂零的Jor dan块N1＝0∈C．

满足r（Al）＝r（Al＋1）的最小l∈N 称为矩阵A 的指数，记ind A［17－18］．文［15－16］证明当A∈Cn×n所有特征值为零时，A∈EPn（m，l）（C）⇔l＝n1且m＝l＋1；此时l＝n1＝ind A（由文［17］知ind A＝0⇔A是可逆的；当A∈Pn（u，v）（C）且r（A）＝n时，必有Au－v＝In．由于文［5］、［19］讨论了这种情况．因此只考虑非幂零且不可逆的情况，总有式（4）～（6）满足1≤t＜s且1≤ind A．

文［15－16］继承了文［13－14］严谨准确的优点，但宋小力［12］认为此时涉……