严 敏,李 波,李 炜

（1.长江科学院水利部岩土力学与工程重点实验室,武汉 430010；2.中国电建集团华东勘测设计研究院有限公司,杭州 310014；3.华东海上风电省级高新技术企业研究开发中心,杭州 30014）

循环荷载下单桩－土－桩帽共同作用分析

严 敏1,李 波1,李 炜2,3

（1.长江科学院水利部岩土力学与工程重点实验室,武汉 430010；2.中国电建集团华东勘测设计研究院有限公司,杭州 310014；3.华东海上风电省级高新技术企业研究开发中心,杭州 30014）

为探究循环往复荷载作用下层状地基中单桩－土－桩帽的共同作用,基于Mindlin板理论和层状弹性地基模型,结合层状地基中单桩的荷载传递规律,提出一种分析共同作用的方法。首先建立单桩－土－桩帽共同作用刚度矩阵,并利用循环往复荷载下土体压缩模量的衰减特性得到带台单桩的累积沉降及单桩－土－桩帽整体刚度的变化趋势,在此基础上进一步开展算例验证和参数分析。结果表明：计算结果与Butterfield的解非常一致；单桩－土－桩帽整体刚度明显大于单桩刚度,增加单桩的弹性模量可以显著地提高单桩－土－桩帽的整体刚度；当桩径确定时,桩长存在一个最优值使得整体刚度最大；而当桩的长径比大于某一值时,桩长的增加对整体刚度及桩帽的荷载分担比影响较小；循环往复荷载作用下单桩－土－桩帽的整体刚度逐渐增大,且趋于稳定值。

单桩－土－桩帽；循环往复荷载；层状地基；整体刚度；Mindlin板理论

2015,32（12）：76－81

1 研究背景

桩基础作为一种施工速度快、有效控制竖向变形和横向变形的地基处理方法[1］,在国内外已被广泛应用于高层建筑[2－3］、机场跑道[4］、高速公路[5－6］、高速铁路[7－8］以及工业工程[9］等地基处理中。

层状地基中单桩－土－桩帽的共同作用分析是群桩分析的基础。文献[10］以Mindlin解为基础提出了均质地基中刚性单桩和刚性承台相互作用的计算方法。对于广义Gibson地基土,文献[11］基于单桩顶部支承刚度和地基土支承刚度,并结合单桩与承台间等效相互作用系数,提出单桩－土－承台共同作用简化分析方法。但这2种方法不适用于更贴近实际的层状地基模型,并且均假设为刚性承台,未考虑其刚度的影响。文献[12］采用FLAC中的轴对称模型分析路堤填土高度、加筋材料刚度和桩的弹性模量对桩土荷载传递的影响。文献[13］考虑土的非均质性和非线性对桩筏基础进行了数值分析。有限单元法有其自身的优越性,特别是对于结构形式复杂、荷载及边界条件复杂的情况进行处理,简单而又统一,应用较为广泛,但对于群桩的分析,数值方法因其模型复杂、计算工作量大而受到限制。

本文基于Mindlin板理论,采用有限元法分析建立了层状地基中桩帽的刚度矩阵；基于剪切位移法[14］得到了共同作用的总体刚度矩阵；结合桩帽、桩和土的变形协调条件,得到层状地基中单桩－土－桩帽共同作用的平衡方程。循环往复荷载作用下,单桩－土－桩帽整体刚度的可借助压缩模量和一维回弹模量进行描述,这2个参数可通过简单的室内一维加卸载试验确定其随加卸载次数的变化。

2 层状地基中单桩－土－桩帽共同作用分析

图1所示为层状地基中均布荷载作用下单桩－土－桩帽相互作用模型。桩帽顶部作用均布荷载q；地基土共m＋1层；土层厚度分别为H1,H2,…,Hm,Hb；土体的压缩模量分别为ES1,ES2,…,ESm,Eb。土体的泊松比分别为vs1,vs2,…,vsm,vb,方形桩帽边长为B、厚度为tC、桩帽弹性模量为EC,泊松比为vC,桩长为l,桩径为d,桩弹性模量为EP,泊松比为vP。分别选取桩帽、单桩进行受力分析,桩和土对桩帽的支撑作用分别为PP和PS,桩帽对桩和土的荷载分别为QP和QS,桩侧摩阻力为τ,桩底受力为Pb。假设单桩和桩帽为刚性连接,均与土保持接触,无相对滑动。

将单桩－土－桩帽作为整体进行研究,建立平衡方程为

式中：[K］为桩帽刚度矩阵；[Ksp］为单桩－土体系刚度矩阵；为桩帽节点位移向量；为筏板荷载向量。下面分别选取桩帽、桩－土体系为研究对象进行分析。

2.1 桩帽支承刚度

取桩帽为研究对象,进行受力分析,如图1所示。其中,桩帽一般归属为中厚板。采用Mindlin板的有限单元法可以用于中厚板计算,也可以用于薄板的计算。假设平板弯曲后的中面法线仍为直线,但不再垂直于弯曲后的平面。转角和挠度不受连续性要求的限制,既方便构造协调单元,又可考虑板的横向剪切变形。

图1 单桩－土－桩帽受力分析Fig.1 Force analysis of the system of single pile-soil-cap

根据Mindlin板理论,参照等参单元的概念,如图2所示将桩帽离散为矩形单元,并且可以假定i或j为桩节点或土节点。每个单元的刚度矩阵记为[Ke］,根据虚功原理,有

式中：[B］为应变矩阵；[D］为弹性矩阵。

计算各单元的刚度矩阵[Ke］以后,将各子矩阵按其下标在结构刚度矩阵[K］中“对号入座”,同号叠加；而对那些没有元素的空位以零填充,从而建立总体刚度矩阵。

图2 桩帽的网格划分Fig.2 Element meshing for the cap

2.2 单桩－土刚度矩阵

桩土体系的刚度矩阵一般由柔度矩阵F求逆后得到,F可写成子矩阵的形式：

式中子矩阵fss,fsp,fps,fpp分别表示土表面对土表面、土表面对桩顶面、桩顶面对土表面、单桩顶面对自身顶面的相互作用关系矩阵。

根据剪切位移法[14］,竖向受荷桩身周围土的变形可理想地视作同心圆柱体。文献[15］对于给定桩顶力Pi（0）的单桩,任一层的位移和轴力可以表示为

其中,

2.2.1 桩对土的刚度矩阵

桩对桩周土的作用,采用层状地基的内部作用竖向集中力荷载时的基本解[15］。桩侧剪应力以作用在桩轴线上的集中力代替,子矩阵[fsp］中的柔度系数fspij表示作用在桩j顶面单位荷载引起的土单元fspij中心的位移,如图3所示,图中Fi为由桩i顶面单位荷载引起的桩土界面的侧摩阻力,Fb为桩端阻力。

式中：r为单元i,j之间的水平距离；m为桩侧划分的土层数；zb为桩底的深度；zi为桩侧摩阻力作用点的深度,采用多层地基内部作用一竖向集中力时的位移解。

子矩阵[fps］中的各柔度系数可以通过Maxwell相互作用原理求得

图3 桩对土的作用Fig.3 Action of the pile on the soil

2.2.2 土对土的刚度矩阵

土顶作用荷载时,采用多层地基表面作用轴对称垂直荷载的位移解,子矩阵[fss］中的柔度系数为土单元i在单位荷载下自身的沉降表示作用在土单元j上的单位荷载引起土单元i上的位移。为了避免应力集中及复杂的积分运算,假设其上荷载为均匀分布,可得：

式中：a,b分别为土单元i的长度和宽度；Ω为i单元面积。

2.2.3 桩对桩自身的刚度矩阵

桩桩相互作用采用弹性方法分析,则子矩阵[fpp］中的柔度系数为

2.3 循环荷载作用下桩筏基础沉降

循环往复加卸载作用下单桩－土－桩帽共同作用的沉降分析过程分为加载沉降和卸载回弹2个过程。N次加卸载循环后总的累积沉降s为

式中：Δsi为第i次往复加卸载次数下桩筏基础的累积沉降,可以表示为

式中：ssi和sri分别为第i次加卸载下桩筏基础的加载沉降量和卸载回弹量。

3 算例验证

以均质地基中单桩－土－桩帽的相互作用分析来验证本文方法的正确性。文献[11］采用弹性理论对方形承台单桩基础进行了分析。现将桩帽划分为15个土节点和1个桩节点,计算得到了单桩－土－桩帽整体刚度,与Butterfield解[16］和王旭东解[11］对比如图4所示。单桩－土－桩帽的整体刚度用p/（wESd）表示,其中：p为作用在桩帽上的外部总荷载；ES为土体的压缩模量；w为桩帽的竖向位移；d为桩的直径。结果表明：本文方法在求解均质地基情形得到的结果能够达到相当高的精度。

图4 荷载沉降比对比分析Fig.4 Comparison of load-settlement ratio

4 参数分析

由以上分析可知,层状地基中单桩－土－桩帽共同作用性状的主要影响因素有桩（l/d,Ep）、桩帽（Ec,B/d）、土体参数和循环往复荷载的加卸载次数。下面主要讨论l/d,B/d,Ep,Ec,桩底的土体弹性模量Eb以及循环往复加载次数对单桩－土－桩帽整体刚度p/（wEsd）和桩帽的荷载分担比pc/p的影响。为了分析某一参数的影响,并参照实际工程中一般路堤桩的参数,初始假定l/d＝30,B/d＝2.5,Ep＝Ec＝2 000Es,v＝0.3,Eb＝Es。

图5所示为不同长径比时p/（wEsd）和pc/p随着B/d增大时的变化趋势。对于相同的l/d,随着B/d的增大,p/（wEsd）和pc/p均增大,即桩的几何尺寸不变时,桩帽的尺寸增大,则桩帽的荷载分担比提高,且单桩－土－桩帽整体刚度也提高。这与文献[11］的结论一致。对于相同的B/d,随着桩的长径比的增大,p/（wEsd）增大,pc/p减小,但当l/d＞30时,pc/p降低的幅度明显减小。

图6所示为不同的桩体刚度对p/（wEsd）和pc/p的影响。当lg（Ep/Es）＜5 000时,随着lg（Ep/Es）的逐渐增大,桩帽的荷载分担比pc/p逐渐减小,整体刚度p/（wEsd）逐渐增大；当lg（Ep/Es）＞5 000时,lg（Ep/Es）和p/（wEsd）均趋于稳定值。这表明桩体的弹性模量存在一个比较合理的取值,能够充分发挥桩体的支持作用。

图5 不同桩径比对p/（wEsd）和pc/p的影响Fig.5 Influence of ratios of pile length to diameter on p/（wEsd）and pc/p

图6 不同桩体刚度对p/（wEsd）和pc/p的影响Fig.6 Influence of stiffness of the single pile on p/（wEsd）and pc/p

图7所示为桩底土体刚度对于p/（wEsd）和pc/p的影响。随着桩底土体刚度的增大,p/（wEsd）和pc/p均缓慢增大且很快趋于稳定。这与单桩的受力特征明显不同[17］,表明桩帽的加入使得单桩－桩帽的整体刚度明显增大,且受桩端土体的刚度影响较小。

图8为p/（wEsd）和pc/p随桩帽弹性模量增大时的变化曲线。可以看出,在桩帽顶部施加均布荷载作用下,随着桩底土体刚度的增大,单桩－桩帽整体刚度缓慢增大,而桩帽刚度所占整体刚度的比例迅速增大；且当lg（Ec/Es）＝100时整体刚度达到稳定值,整体刚度增大了15%,而桩帽刚度所占的比例增大了48.3%。

图7 不同桩底土体刚度对p/（wEsd）和pc/p的影响Fig.7 Influence of soil stiffness under bottom of the pile on p/（wEsd）and pc/p

图8 不同桩帽刚度对p/（wEsd）和pc/p的影响Fig.8 Influence of cap stiffness on p/（wEsd）and pc/p

以上海某造船基地第②3层灰色砂质粉土为例,在一维固结仪上进行循环加卸载试验,表1给出了室内试验得到的在往复加载过程中各土样的压缩模量和一维回弹模量[18］。为了便于对比分析,取整体刚度为p/（wE0d）,其中E0为第1次加载时的压缩模量。

表1 压缩模量和回弹模量随加卸载次数变化规律Table 1 Relation of compressive modulus and rebound modulus with cyclic count

图9为p/（wEsd）和pc/p随加卸载次数的变化曲线。随着加卸载次数的增加,土体的压缩模量和回弹模量均逐渐增大,所以加载和卸载条件下桩－桩帽相对的整体刚度p/（wE0d）均逐渐增大,且趋于稳定,但加载和卸载的整体刚度差值逐渐减小；桩帽所分担的荷载比例具有类似的分布规律。这表明软土地基的强度对桩－土－桩帽的整体刚度具有明显的影响,强度越大,桩－土－桩帽的整体刚度越大,并且桩帽分担的荷载比例越大。

图9 加卸载次数对p/（wEsd）和pc/p的影响Fig.9 Influence of cyclic count on p/（wEsd）and pc/p

5 结 论

本文综合应用适用于中厚板的Mindlin板理论的有限单元法以及单桩的传递矩阵法,得出单桩－土－桩帽的总体刚度矩阵,并利用室内一维加卸载试验得到的压缩模量和一维回弹模量得到循环往复荷载作用下单桩－土－桩帽的整体刚度。参数分析得出以下结论：

桩帽的加入使得单桩－土－桩帽的整体刚度明显大于单桩的刚度；对于特定大小的桩帽,桩长和桩体的刚度存在一个最优范围,在此范围内,能够充分发挥桩体的作用,且使得整体刚度最大。而当桩的长径比大于30时,桩帽大小对整体的刚度影响变得非常微弱。桩帽的加入同时削弱了桩端土体强度的影响,拓展了桩承式路堤的使用范围,不仅局限于存在持力层的层状地基中。循环往复荷载作用下,单桩－土－桩帽的整体刚度随着加卸载作用下土体强度的增大而逐渐增大,且逐渐趋于一个稳定值,这表明地基土的强度对于单桩－土－桩帽的整体刚度有着非常重要的影响。

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（编辑：占学军）

Analysis of Interaction of Single Pile-soil-cap in Layered Foundation under Cyclic Loading

YAN Min1,LI Bo1,LI Wei2,3
（1.Key Laboratory of Geotechnical Mechanics and Engineering of the Ministry of Water Resources,Changjiang River Scientific Research Institute,Wuhan 430010,China；2.Powerchina Huadong Engineering Corporation Limited,Hangzhou 310014,China；3.Offshore Wind Power R＆D Center of Hydrochina Huadong,Hangzhou 310014,China）

A simplified analytical approach was proposed to study on the interaction of single pile-soil-cap（SPSC）under cyclic loading in layered soils,combined with the theory of Mindlin plate theory and elastic foundation model,as well as the law of load transfer of single pile.At first,we established the stiffness matrixes for interaction of SPSC and predicted the accumulative settlement of the single pile with cap and variation of SPSC global stiffness through employing attenuation of compressive modulus.Then,on the basis of this,we carried out cases verification and parameters analysis.The results show that,calculated data by the method in this paper is well consistent with those by Butterfield method；furthermore,the global stiffness of the SPSC is significantly greater than that of the single pile because of the addition of the pile cap,and the increase of elastic modulus of the pile can obviously strengthen the global stiffness；meanwhile,there exists an optimum value range of the length of a pile for a given diameter,and the increase of the length of pile has less influence on the global stiffness of the SPSC and the bearing load ratio of the cap when the ratio of length to diameter of pile is larger than a determined value；finally,the global stiffness of the SPSC gradually increased with the cyclic count until the stiffness is up to a stable value.

single pile-soil-cap；cyclic loading；foundation of layered soils；global stiffness；Mindlin plate theory

TU473

A

1001－5485（2015）12－0076－06

10.11988/ckyyb.20140541

2014－07－02；

2014－07－24

国家自然科学基金项目（51308067,41206075,51579227）；中央级公益性科研院所基本科研业务费项目（CKSF2013036）

严 敏（1981－）,女,湖南岳阳人,工程师,主要从事水工渗流及地下水环境研究,（电话）13437122349（电子信箱）dancaiym＠163.com。

李 波（1982－）,男,山东泰安人,博士,主要从事岩土工程和离心模型试验技术研究,（电话）13971176497（电子信箱）libo＿auliso＠126.com。