王公正，李晓蒙，莫润阳，叶 明，杨厚禄

(陕西师范大学物理学与信息技术学院/陕西省超声学重点实验室，陕西西安 710062)

超声空化机理已经得到了人们的广泛关 注［1-7］，1917年，Rayleigh首先提出无限大不可压缩液体中单个球形空化泡运动学模拟［5］，由于没考虑表面张力、含气量和压缩性等因素对空泡运动的影响，其计算的结果有时与实际情况不符。Prospertti A通过引入声辐射这一因素，对其修正得到R-P方程［8］，但这些都是研究液体中微小气泡的运动情况。现实生活中，超声作用下的液-液两相非均相系统或膜隔离的两相系统经常遇到如下问题:超声催化乳化体系［9-13］，超声对生命体中细胞膜内、外物质和能量的传输［14-16］，超声作用下软物质液滴(如:凝胶、囊泡等)会怎样变化，以及超声吸脂减肥过程中［17-19］，超声对脂肪粒和脂肪细胞这些类似于水滴物质的作用机理如何等，这些问题都是令人关注的。因此关于超声场中反相乳液的研究就显得尤为重要。本文参考空化泡运动方程的推导方法［20-22］，推导出水滴在超声作用下的运动方程，用数值模拟的方法研究了在超声作用下油中水滴半径的变化，为进一步研究超声对反相乳液作用机理提供理论依据。

1 水滴运动学方程的理论推导

1.1 模型的简化

本文以油为分散相，研究一个水滴在边缘无限大的分散相中的运动，如图1所示。液体的可压缩性比较小，但外加高强度超声作用时，水滴因外加压力作用而引起的微小体积变化与半径为微米级的初始水滴体积相比，其变化不容忽略，即水滴可压缩性不能被忽略，而相同外加压力作用在分散相液体上所引起的微小体积变化与分散相这个大环境整个体积相比是微乎其微的，因而此过程分散相液体可以被假设为不可压缩的。假设水滴在超声场作用下发生体积膨胀收缩现象，则肯定会伴有能量转换存在。由能量守恒推导出多参数下的水滴运动方程，并对模型进行以下简化:①水滴在运动过程中始终保持球形;②水滴壁只做径向运动，避免因水滴壁运动的不对称性所带来的复杂情况;③ 假设分散相液体为不可压缩液体，水滴为可压缩液体;④ 忽略重力影响;⑤ 水滴在运动过程中无能量损失。

1.2 水滴壁受力分析

由于水滴壁界面两边分子性质不同，界面上分子所处力场不是各向同性的，因此存在收缩界面的界面张力［23］。如果知道两相物质的表面张力，那么就可以利用调和平均方程求出两相之间的界面张力，调和平均方程主要适用于低能物质(如聚合物、有机液体、水等)之间的界面张力的求解［24］。凸液面表面的附加压强为［25］

图1 油相中水滴简化模型Fig.1 Simplified model of a water-drop in oil phase

因为两相液体分别为油相与水，所以权衡后为了简化，下文界面张力系数统一取σ12=0.050 0N/m。

无超声作用时，油和水滴组成的系统为静止流体系统，所以其组成界面为等压面，水滴在油中保持平衡，水滴壁内外压力相等，因此有

其中P0为水滴周围油的静压，R0为水滴的初始半径。

1.3 水滴动力学方程推导

假设整个过程为等温过程，那么水滴体积仅是压力的函数。由等温压缩系数和体积弹性模量进行推导，可以得出液体的等温状态方程［26-27］

其中对于恒定温度下同种液体，A、C、n是定值，本文取水滴温度为40℃，则A=3.688 1，C=3 653，n=0.158 11。

在无超声作用时，水滴的等温状态方程为

在外加超声时，设水滴壁内对应的压力为P'in，则对应水滴的等温状态方程为

联立(1)，(2)式可得:

进一步整理可得:

此时对应的水滴壁外部受力为

其中PA=Pasin(ωt)为超声波作用在水滴壁上的压力，Pa为超声声压幅值。

在外力作用下，水滴半径从R0变化到R，合外力对水滴做功为

水滴收缩液体获得的动能为

根据能量守恒，水滴在合外力作用下半径从R0变化到R，合外力对水滴做的功就等于水滴所获得的动能，即

此处 P=P'in-P'out。

两边对R微分，整理可得

若进一步考虑水滴运动过程中的能量粘滞损耗，以及水滴振动时向分散相液体辐射声波而存在的辐射阻尼［22］，代入 P'in，P'out则公式可修正为

在不同参数影响下的水滴壁运动方程属于2阶非线性常微分方程，得不出解析解，需要先变形为形如R·=R(t，R)的一阶微分方程组，再采用数值迭代法求出其数值解。本文采用4-5阶的Runge-Kutta算法［28］，利用 MATLAB 软件进行计算机模拟，得出模型方程的解。

2 结果与讨论

2.1 声速及分散相液体参数对水滴半径变化的影响

2.1.1 声速对水滴半径变化的影响 分散相液体不同即油的种类不同，对应的超声传播速度就不同。图2a是声速分别取1 000 m/s，1 100 m/s，1 200 m/s，1 300 m/s，1 400 m/s的分散相液体中水滴半径在5T(5个周期)内的变化，可以看出不同的声速下水滴半径变化几乎完全相同，增长幅值大约都为初始半径的25倍。图2(b)为图2(a)的二维图，从图中可以得出，水滴大约每0.7T完成一次增长和收缩。收缩达到的最小值约为初始半径的0.6倍，增长和收缩后大约0.3T的时长，水滴半径在初始半径附近作微小的震荡，如图2(c)所示。

2.1.2 密度对水滴半径变化的影响 油的种类不同，其对应密度就不同。图3(a)是分散相液体密 度 分 别 为 700kg/m3，800kg/m3，900kg/m3，950kg/m3时水滴半径变化情况，图3(b)为图3(a)的二维图。从图中可以看出，分散相液体密度越大，水滴增长振幅越小。密度从700kg/m3增加到950kg/m3的过程中，水滴增长幅值大约从水滴初始半径的25.6倍降到22.1倍，水滴压缩幅值大约为初始半径的0.6倍。分散相液体密度不同，但水滴增长压缩所用的时长及作微小震荡所用时长几乎一样，分别为0.7T和0.3T。

2.1.3 粘滞系数对水滴半径变化的影响 油的种类不同，粘滞系数就不同。图4(a)为分散相液体粘滞系数分别取1×10-3Pa·s，50×10-3Pa·s，100 ×10-3Pa·s，150 ×10-3Pa·s时水滴半径变化，图4(b)为图4(a)的二维图。从图中可看出，分散相液体粘滞系数越小，水滴振动的振幅越大，粘滞系数从1×10-3Pa·s增加到150×10-3Pa·s的过程中，水滴增长幅值从初始半径的大约24倍减小到5倍左右，水滴收缩幅值大约为初始半径的0.6倍。同时随着粘滞系数的增加，水滴增长收缩所用时长逐渐减小，而作微小震荡所用时长逐渐增长，例如当粘滞系数为1×10-3Pa·s时，水滴增长收缩所用时长为0.7T，作微小震荡所用时长为0.3T，当粘滞系数增长到150×10-3Pa·s时，水滴增长收缩所用时长减小到大约0.45T，作微小振动所用时长大约增长到0.55T。

图2 不同声速下水滴半径的变化Fig.2 Variation of water-drop radius at the different sound velocity

图3 不同密度下水滴半径的变化Fig.3 Variation of water-drop radius at the different density of oil phase

2.1.4 静压对水滴半径变化的影响 图5(a)为分散相液体静压分别取2×1.013×105Pa，3×1.013×105Pa，4×1.013×105Pa时水滴半径的变化情况，图5(b)为图5(a)的二维图。从中可以看出，当静压不小于超声激励声压幅值(2×1.013×105Pa)时，水滴半径在初始半径附近作小幅度的震荡，并且随着静压的增大，水滴增长收缩幅值都越来越小，当静压和超声激励声压幅值相等时，水滴增长幅值大约只有初始半径的1.14倍，收缩幅值大约只能达到初始半径的0.97倍。而从图2，3，4可以得知，当超声激励声压幅值与静压分别取2×1.013×105Pa与1.013×105Pa时，即超声激励声压幅值大于静压时，水滴都会有相对明显的增长和收缩，水滴增长幅值可达到初始半径的25倍左右，收缩幅值几乎为初始半径的0.6倍。可见与超声激励声压幅值大于静压相比，静压不小于超声激励声压幅值时，水滴更不容易增长和压缩，在激励声压幅值不变的情况下，静压越大水滴体积越不容易发生变化。

图4 不同粘滞系数下水滴半径的变化Fig.4 Variation of water-drop radius at the different of the viscous coefficient

图5 不同静压下水滴半径的变化Fig.5 Variation of water-drop radius at the different of the static pressure

2.2 初始半径及外界超声激励参量对水滴半径变化的影响

2.2.1 初始半径对水滴半径变化的影响 图6为水滴初始半径分别取 3μm，6μm，9μm 时水滴半径在超声激励下的变化。从图中可以看出，水滴初始半径越大，水滴半径变化幅度越小，在初始半径为3μm时，水滴的增长幅度可达初始半径的45倍左右，当初始半径为9μm时，水滴的增长幅度减小为初始半径的15倍左右。假设水滴初始半径一直增大，那么对应的水滴增长幅度就会一直减小，最终减小到不再增长，也就是当水滴初始半径足够大时，即使在超声激励下水滴也很难发生体积变化。

2.2.2 超声激励声压幅值对水滴半径变化的影响 图7(a)为超声激励声压幅值分别取2×1.013×105Pa，4 ×1.013 ×105Pa，8 ×1.013×105Pa时水滴半径的变化情况。从图中可以看出，随着超声激励声压幅值的小幅度增大，水滴增长振幅逐渐变大，水滴在一个周期内增长收缩所用时长增加，在初始半径附近做微小振动时长减短。当超声激励声压幅值为2×1.013×105Pa时，水滴增长幅值为初始半径的24倍左右，增长收缩所用时长大约为0.7T，在初始半径附近做微小振动所用时长大约为0.3T，当超声激励声压幅值为8×1.013×105Pa时，水滴增长幅值增长到初始半径的92倍左右，增长收缩所用时长大约为1T，水滴半径几乎不再在初始半径附近做微小振动。

图6 不同初始半径下水滴半径的变化Fig.6 Variation of water-drop radius at the different of the initial radius

图7(b)为超声激励声压幅值分别为10×1.013×105Pa，100×1.013×105Pa，200×1.013×105Pa，500×1.013×105Pa时水滴半径变化情况，图7(c)为图7(b)的二维图。从图中可以看出，随着超声激励声压幅值大幅度增长，水滴增长振幅在逐渐变大的同时，各个周期水滴半径的增长幅值并不相同，但2T，4T时间段水滴增长振幅会周期性地逐渐赶上1T，3T，5T时间段的增长振幅。可见激励声压越大，水滴半径增长越大，当激励声压足够大时，奇偶周期段水滴增长幅度不同，但偶数周期段水滴半径的变化会随着激励声压幅值的大幅度增大而周期性地赶上奇数周期段水滴半径的变化幅度。

图7 不同激励声压幅值下水滴半径的变化Fig.7 Variation of water-drop radius at the different of the pressure magnitude

2.2.3 超声激励频率对水滴半径变化的影响图8(a)为超声频率分别为2×104Hz，4×104Hz，1×105Hz，2×105Hz时水滴半径的变化。从中可以看出，随着超声频率的增大，水滴增长幅值逐渐变小，当频率为2×104Hz时，水滴增长幅值大约为初始半径的106倍，当频率为2×105Hz时，水滴增长幅值减小到初始半径的11倍左右。

图8(b)为超声频率，分别为1×106Hz，2×106Hz，1×107Hz时水滴半径的变化。从中可以看出，随着超声频率的增大水滴振幅逐渐减小的同时，增长出现次峰值的个数却在增多。频率为1×106Hz时，水滴每做一次剧烈收缩，半径增长出现2个峰值，频率为2×106Hz时，水滴做一次剧烈收缩，半径增长有时会出现3，4个峰值，当频率为1×107Hz时，水滴半径几乎不再发生变化。

图8 不同激励频率下水滴半径的变化Fig.8 Variation of water-drop radius at the different ultrasonic frequency

3 结语

两相液体中分散水滴在超声场作用下所发生的变化，不仅仅取决于水滴本身和分散相液体的参数，即“内因”，也取决于外界所加超声激励参数即“外因”。对于不同的分散相液体所对应的不同声速、密度、粘滞系数而言，在激励频率为2×104Hz、激励声压幅值为2×1.013×105Pa的超声作用下，声速对水滴半径变化几乎没影响，密度和粘滞系数越小，水滴半径变化越明显，静压越大，水滴越不容易发生体积变化，初始半径越小，水滴变化幅度越大;在分散相液体确定的情况下，超声激励声压幅值越大，水滴半径增长幅度越大，超声激励频率越高，水滴半径增长越小，当激励频率为1×107Hz时，水滴半径几乎处于初始半径的稳定状态。在超声激励下，与水滴压缩相比，水滴增长更明显些。通过分析油相中水滴在超声场中半径变化的模拟计算结果，可以推测出反相乳液系统或类似于反相乳液系统，其内部近似水滴部分在超声作用下将发生增长和微小收缩现象，并且增长收缩程度不只取决于外加超声场的各个参量大小，而且取决于所研究系统本身的一些参量。这些结果会对超声在生物医学工程研究方面提供指导。

本文在水滴动力学方程推导的过程中有的因素并没有考虑进去，如分散相液体相对更小的可压缩性等，这有待于进一步深化研究。

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