超声波加工中变幅杆的设计方法分析❋

2014-12-31刘垚

机械工程与自动化 2014年5期

刘垚

（山西大学工程学院，山西太原 030013）

0 引言

变幅杆在超声波加工中被称为超声聚能器，在整个设备的振动系统中有着重要的作用。机械振动的质点位移或速度通过变幅杆可以得到放大，同时在较小的面积上聚集超声能量，起到聚能作用。超声波加工中的换能器设备在频率20kHz范围内振幅只有几微米，但在超声焊接、超声金属成型和某些超声外科设备中，需要几十到几百微米的辐射面振动幅度，因此必须在换能器与工具头之间连接超声波变幅杆，把机械振幅放大到所需的要求。为了使超声能量更有效地从换能器向负载传输，变幅杆还作为阻抗变换器进行阻抗匹配［1］，因此变幅杆的设计显得尤为重要。本文从常用的3种设计方法入手，分析它们的适用范围和各自的优缺点。

1 解析法

振动能量通过变幅杆的任一截面时保持不变（传播损耗不计），因此能量密度在截面积小的地方变大，截面面积与能量密度成反比，振幅A的平方与能量密度成正比，表示为：

其中：Ke为系数；ρe为能量密度；A为振幅。

由式（2）可知，能量密度变大振幅随之也得到放大。通常我们要使变幅杆的外激振动频率和固有频率相等，使两者处于共振状态，从而获得最大的振幅。

我们从经典理论出发，建立变幅杆动力学微分方程，根据变幅杆的边界条件求其确定解，从而推导出各设计参数公式，这种方法就是解析法。在生产实践中它很有使用价值，物理意义明确。解析法适用于1／4的振动波长大于变幅杆各部位横截面尺寸的情况，这时不需考虑横向振动对纵向振动的影响。由此我们可以计算出结构简单的圆锥形、指数形及阶梯形等变幅杆的谐振长度、弹性力分布、节点位置和频率方程。通过解析方法，结合机电类比原则，也可建立变幅杆机械阻抗分析模型，对其进行超声性能分析［2］。

但是当1／4的振动波长小于变幅杆横截面尺寸时，就必须考虑横向振动对纵向振动的影响，若这时通过解析法计算，得出的结果将会出现较大的偏差。为了解决横向振动的影响我们采用表观弹性法，对于圆锥形、指数形及阶梯形等变幅杆的二维耦合振动，利用表观弹性法都可以得出其振动参数的计算公式［3］。

对于典型结构的变幅杆，借助于计算机并利用解析法，通过经验数据和图表已经能解决工程上的大部分问题。但是随着科学技术的发展，超声波加工技术的应用范围也不断扩展，对于截面复杂多变的变幅杆，数学公式已经很难准确描述其结构，在此情况下解析法就不再适用。

2 转换矩阵法

对于非轴对称变幅杆，利用等效四端网络法，根据面积等效方式计算出其频率方程，由此得出变幅杆的固有频率，这种方法称之为转换矩阵法。转换矩阵法适用于平面波通过变幅杆截面的情况，我们把变幅杆分解成许多小圆锥台的组合，建立超声系统激励模型，推导出输入电能与变幅杆的关系式，根据此关系式就可以设计出低阻抗非轴对称变幅杆［4］。转换矩阵法在工程领域已经应用了很长时间，具有定性分析和预测超声换能系统的特点。

但是对于结构更复杂、截面尺寸变化较大或横向尺寸大于或等于1／4波长的变幅杆，转换矩阵法就不再适用，这时较好的解决方法是有限元分析法。

3 有限元法

以变分原理为基础将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片表示求解域上待求的未知函数，并利用计算机进行求解计算，这就是有限元方法，在复杂的工程问题中它是一种有效的计算工具。对于截面变化复杂的变幅杆，波动方程求解起来比较困难，甚至是无法求解，这时可以利用有限元方法对其进行分析计算。通过实验得出的变幅杆结构利用有限元方法优化后，其输出端振幅比传统方法计算出的变幅杆高出4倍左右，从而使变幅杆的效能得到有效的提高［5］。

在工程领域中复合型变幅杆通常利用ANSYS有限元分析程序进行优化设计，计算出变幅杆的最优结构，从而在输出端得到较大的振幅。本文以圆柱圆锥复合型变幅杆为例，材料采用45钢，弹性模量为200 GPa，泊松比为0.3，质量密度为7 800kg／m3，建立的有限元模型如图1所示。

有限元模型建立后，我们采用完全法进行谐响应分析。在变幅杆固定端面内所有的节点上施加轴向方向为0.01mm的位移，变幅杆的固有频率为12.758kHz，计算输出端面产生的持续周期位移响应，分析结果如图2所示。选取端面不同径向的节点，经过时间历程后处理器得出在变幅杆输出端的最大平均振幅为0.085mm，由于输入端振幅为0.01mm，所以变幅杆的放大比例为8.5倍。

有限元法从根本上解决了结构形状复杂的变幅杆的设计，它不仅计算精度高，而且能大幅度提高变幅杆结构设计的整体性。