佟德飞，宋卫东，贾 波

（1.军械工程学院 火炮工程系，石家庄050003；2.西安军代局，西安710043）

某型末制导炮弹的惯导飞行控制是通过计算惯导陀螺外框架相对弹体的偏转角度并形成指令，进而控制舵机偏转完成的。陀螺外框摆角的计算通过弹体坐标系、惯导陀螺坐标系以及地面坐标系之间相对角位置关系进行推导得出［1］。然而该计算方式以转子轴方位相对于惯性空间不变为前提，是一种理想情形，并未考虑陀螺转子因动力学的作用产生定向性的变化。理论上，为了保证陀螺的定向性，陀螺转子质心应该位于内框轴和外框轴的交叉点位置，但由于工艺控制原因，转子质心与内框框架几何中心存在一定程度的偏离，因而产生偏心力矩导致转子进动。本文在已有研究的基础上，运用动量矩定理［2］研究转子质量偏心条件下的定向特性，结合末制导炮弹六自由度刚体弹道模型以及惯导控制模型［1］，考虑惯导陀螺质量偏心引起的控制误差对弹道特性产生的影响。

1 陀螺运动状态方程描述

为描述惯导陀螺转子的运动，首先建立其空间坐标系。设转子的几何中心与内框架、外框架几何中心O重合，以O为原点，将惯性坐标系平移至原点建立陀螺基准坐标系Oξηζ，η轴铅垂向上。令Oξηζ绕η轴转过ψgd角，再绕ζ轴新位置转过θgd角，建立转子动量矩坐标系OXYZ，其中X轴为转子相对原点的动量矩矢量方向，动量矩为L，其中ψgd，θgd为动量矩坐标系相对惯性坐标系的旋转角度。令OXYZ绕X轴转过γgd角后的位置为转子的主轴坐标系Oxryrzr，xr轴为转子的对称轴，如图1所示。参考文献［3］中对陀螺内外框架坐标系的描述，本文将转子主轴坐标系绕yr轴转过ψg角，建立惯导陀螺内框坐标系Ox1y1z1，再绕z1轴旋转θg角（此角度即为惯导陀螺外框摆动角），建立外框架坐标系Ox2y2z2，如图2所示。转子质心相对几何中心的偏心距矢量为er，er取在转子主轴坐标系。分别研究转子在轴向、径向存在质量偏心时产生的动力学作用。

图1 动量矩坐标系角度坐标

图2 转子相对动量矩坐标系偏转角度坐标

1.1 转子运动状态方程

偏心距矢量在惯性坐标系下表示为e＝PT（γgd，θgd，ψgd）er，PT（γgd，θgd，ψgd）为惯性系向转子主轴坐标系投影矩阵，写成分量形式：

惯性系中，重力加速度表示为g＝（0 －g0）T。由于存在质量偏心，则偏心力矩为M＝e×mg，其在惯性坐标系中的分量为

再将转子动量矩矢量投影至惯性坐标系，则

将式（1）～式（3）代入动量矩定理dL／dt＝M。由于存在dLη／dt＝0的情况，则转子动量矩在惯性系的垂直方向守恒，因此－Lsinθgdcosψgd与动量矩在惯性系垂直分量的初值一致，存在初始的偏角，即

对式（3）两端进行求导，则可以得到和，分别表示为

忽略微小偏心对主轴惯性主矩的影响［4］，设转子极轴惯性主矩为C，转动角速度为Ω，转子转动的动量矩大小为L0＝CΩ。

1.2 内、外框架运动状态方程

将转子偏心力矩分别向转子内框坐标系Ox1y1z1、外框坐标系Ox2y2z2进行投影，得到：

根据对转子内、外框广义自由坐标的定义，绕轴转动运动方程是独立的，而其余方向的运动是非独立的，反映内、外框轴之间的力矩关系，则仅仅给出影响框架转动运动的状态方程，即

为简化起见，式中将转子轴相对于惯性坐标系的方向余弦记为dij，i，j＝1，2，3。

1.3 外框架偏转角度计算

外框架偏转角度的计算方法仍通过几何关系的转换求解，求解关系式为

式中：γ，φ，ψ为末制导炮弹弹体姿态角；γg为惯导陀螺相对弹体的安装角。随着转子偏心力矩的不断作用，惯导陀螺转子产生进动，定向性发生改变，转子姿态角的计算可由初始定向角和进动偏移角度进行叠加。内、外框偏转角度的值由几何关系求解得到，原计算方法中的转子定向角度由进动后转子姿态角度替换。

2 陀螺运动状态数值仿真

陀螺转子角度变化以及动量矩的变化均可通过积分进行求解。转子受到外力矩的作用，产生与外力矩方向垂直的动量矩，转子轴的空间方位不断地发生改变。由于外力矩的主要形式为重力偏心力矩，所以产生的力矩作用主要有2种情况：一种为轴向偏心力矩，在转子轴坐标系内相对转子几何中心的作用方向不发生改变；另一种为转子径向偏心力矩，由于转子高速旋转，偏心力矩的大小和方向不断发生变化，产生的动量矩矢量也不断变化方向。对转子动力学模型进行数值求解，通过给定不同偏心距离以分析转子定向方位的变化规律及特点。

图3所示为转子轴轴向偏心距不同条件下的水平方向偏转角度ψ的变化规律。结果表明，轴向偏心距ex为1mm时，转子轴便发生明显的偏转，从惯导陀螺启动到炮弹落地的整个过程，转子在水平方向的偏转为0～4.15°；当轴向偏心距ex＝－1mm时，偏转范围为0～4.21°；轴向偏心距ex＝2mm时，转子轴在水平方向偏转范围为0～16.48°；轴向偏心距ex＝－2mm时，偏转范围为0～16.85°。

图3 轴向偏心对转子水平方向转动角度的影响

图4 所示为不同轴向偏心距条件下的俯仰角θ的变化规律。可以看出，转子轴在俯仰方向产生明显的偏转。转子轴向偏心相对几何中心在转子轴正方向时转子向下偏转，相反则向上偏转。当偏心距离ex＝1mm时，转子轴向下偏转，偏转0～－1°；ex＝2mm时，偏转角度为0～－2°；当轴向偏心距ex＝－1mm时，转子轴向上偏转，偏转角度为0～1°，ex＝－2mm时，偏转角度为0～2°。

图4 轴向偏心对转子垂直方向转动角度的影响

在进行转子轴径向偏心对转子定向性影响分析时，转子轴坐标选定y轴方向或z轴方向都具有一般性。选定对y轴径向偏心进行仿真，结果表明，y轴径向偏心对转子定向性的改变并不显著，当y轴径向偏心距ey＝1mm时，转子侧向偏转角度约为0～0.2°，如图5所示。

图5 径向偏心对转子水平方向转动角度的影响

俯仰方向角度偏转曲线形式接近具有确定周期和幅值的简谐曲线，但其偏转角度平均并不为零。当偏心距在相对几何中心相反方向时，转子偏转方向相反，平均偏转角度θe约为0～0.04°，如图6所示。

图6 径向偏心对转子垂直方向角度变化的平均作用

因此，质量偏心的转子在重力矩的作用下可产生空间中的进动运动。轴向偏心对转子进动作用明显，进动角度与偏心距离成正比例关系。径向偏心随转子旋转，所产生的动量矩矢量也同时随之改变，转子进动角速度呈周期性变化，但产生平均不为零的进动角度，表现为空间中的缓慢转动，该结果可解释惯导陀螺漂移现象。

该型号末制导炮弹零漂数据为15s时间内水平方向漂移为－1.3°～0.4°，铅垂方向的漂移为－0.5°～－2.3°。因此，根据数值仿真结果分析，转子在x轴、y轴、z轴存在偏心情况下，仿真结果是可以解释转子漂移值的。

3 陀螺转子质量偏心对外框摆动角度的影响

陀螺转子空间方位的改变，最本质的是改变了内、外框架的摆动角度。由于控制指令的发出取决于外框架的偏转，当转子质心偏离几何中心而导致转子进动运动时，外框摆动角中则包含了转子进动角度因素。

通过对转子空间运动状态的数值计算，可以确定任意时刻转子轴的空间方位，利用式（8）求解外框摆动角。图7为转子存在轴向偏心与不存在轴向偏心条件下的惯导陀螺外框摆动角曲线（局部）。图8为转子存在径向偏心与不存在径向偏心条件下的惯导陀螺外框摆动角曲线（局部）。

图7、图8中的差异充分表明，转子质量偏心导致陀螺外框摆动角的变化，改变了惯导控制舵片指令生成时机，表现为惯导飞行时超前或滞后的舵面偏转。这使得末制导炮弹控制力和控制力矩不再相对弹体正上方或正下方对称，对末制导炮弹的弹道性能产生影响。

图7 轴向偏心对外框摆动角的影响

图8 径向偏心对外框摆动角的影响

4 陀螺转子质量偏心对弹道性能的影响分析

末制导炮弹射程、侧偏、落角等参数是末制导炮弹在弹道设计时主要考虑的参数。初始段、无控段以及惯导飞行阶段结束时，弹体激光制导陀螺启动，进入末段导引段，控制系统导引弹体攻击目标，若飞行距离过小或者侧偏过大都将导致弹体不能按预定目标飞抵捕获区域，导致失去目标。因此惯导飞行阶段的精度控制对末端导引阶段打击精度影响很大。根据末制导炮弹弹道方程，结合惯导陀螺运动状态方程，对末制导炮弹弹道特性进行数值仿真。针对转子轴在3个方向上的偏心距导致弹道特性的变化分别进行仿真计算。

4.1 轴向偏心对弹道特性的影响

对转子轴向偏心距分别取ex＝2mm，1mm，0mm，－1mm，－2mm时的名义弹道进行仿真。不同条件下炮弹落点计算数据如表1所示。

从表1中数据可以发现，转子轴向偏心对名义弹道落点影响很大。当轴向偏心距ex＝1mm时，射程X减小49m，侧偏Z变化约125.18m；当ex＝2mm时，射程X减小114m，侧偏Z变化约488.38m；当ex＝－1mm时，射程X增加61m，侧偏Z变化约123.18m；ex＝－2mm时，射程X增加101m，侧偏Z变化约500.02m。当轴向偏心距在转子轴正方向时射程会相应减小，而轴向偏心距在转子轴负方向时射程会相应增加。在表1计算范围内，射程X变化215m；飞行时间t、落速v、落角θ变化不大；侧偏Z变化规律有所不同，只要轴向偏心距存在，不论是正、负方向，偏心距离绝对值相等时会产生大约一致的变化。

表1 轴向偏心对名义弹道落点诸元的影响

4.2 径向偏心对弹道特性的影响

对转子y轴径向偏心距分别取ey＝2mm，1mm，0mm，－1mm，－2mm时的名义弹道进行仿真。不同条件下炮弹落点计算数据如表2、表3所示。

表2 y轴径向偏心对名义弹道落点诸元的影响

表3 z轴径向偏心对名义弹道落点诸元的影响

从表2中数据可以发现，转子轴y轴径向偏心的存在对末制导炮弹名义弹道落点有一定的影响，且具有一定的规律性，即y轴径向偏心由正到负变化时，射程变化趋势为增大，射程变化约13m；对侧偏变化也有一定的影响，且随偏心距增大而增大。

从表3中数据可以发现，转子轴z轴径向偏心的存在对末制导炮弹名义弹道落点有一定的影响，比y轴径向偏心的影响偏大，但同样具有一定的规律性。z轴径向偏心ez由正到负变化时，射程变化趋势为不断减小，射程变化约96m；侧偏变化随偏心距增大而增大。对比表1和表2、表3，轴向偏心相比径向偏心对弹道特性影响大，转子轴z轴方向径向偏心距离对弹道特性的影响比y轴径向偏心距离对弹道特性的影响大，主要表现在射程变化以及侧偏的变化。

因此，惯导陀螺转子质量偏心对末制导炮弹空间飞行的弹道诸元影响很大，为保证足够的射击精度，必须对转子质量偏心进行控制，以减少由于转子进动带来的影响。

本文对转子质心偏离几何中心时的运动进行了数值仿真，并分析其对惯导飞行控制过程以及末制导炮弹弹道特性影响的特点，得出了以下结论：

①存在质量偏心的转子在重力矩的作用下失去惯性空间中的定轴特性，表现为陀螺漂移运动。其中轴向偏心对陀螺转子运动的作用明显，根本原因是重力矩不随转子旋转而改变方向；而径向偏心对陀螺漂移作用并不明显，重力矩方向随转子旋转而不断改变，但转子受重力矩作用的平均值不为零。

②轴对称转子质量偏心使转子发生漂移，改变了陀螺外框角度偏转信号的变化规律，对舵片控制信号的形成造成超前或滞后的影响。

③轴向偏心对转子水平或垂直方向偏转角度贡献较大，对射程和侧偏改变很大。径向偏心对转子水平或垂直方向偏转角度贡献较小，对射程和侧偏产生一定的影响。若要保证射击精度，必须减小陀螺装配误差。

5 结束语

本文通过建立转子运动状态方程，分析了转子定向轴变化对惯导飞行控制的影响，结合末制导炮弹外弹道模型，进行了数值仿真，并分别研究了转子轴向偏心和径向偏心对弹道特性的影响。为提高末制导炮弹射击精度，必须减少陀螺转子漂移角度，采取提高陀螺安装准确性的有效措施，也为研制新型末制导炮弹时陀螺部件的设计提供理论支持。

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