吴立宝+王富英

习题是数学教科书的重要组成部分，主要有消化巩固新知、拓展延伸新知、综合运用新知、思维能力训练、思想方法渗透、诊断反馈补救与育人等功能。对于教科书习题功能的全面认识，有助于教师充分发挥教科书习题的价值，提高课堂教学效率。

数学教科书  习题功能  分析

教科书的习题是编写者根据教材的知识内容和课程标准的要求精心设计和挑选的，具有基础性、典型性与发展性，是数学教科书的重要组成部分，既是学生巩固数学基础知识、训练数学基本技能、积累数学基本活动经验与领悟数学基本思想的重要平台，也是沟通数学知识之间、数学与生活之间、数学与其他学科之间的桥梁与纽带。

一、巩固强化新知

数学教科书习题的首要功能是帮助学生消化和巩固新知。根据行为主义学习理论，新知的学习需要一定数量的练习，才能达到消化巩固的作用。我国数学教学也十分注重“熟能生巧”，教科书在讲述了数学概念、命题和一些示范性的例题之后，需要一个“熟”、“固”与“化”的习得过程，这就需要通过一定数量的练习，教科书为此配备了一定数量的习题。这类习题难度不大，主要作用有两个：一是熟悉消化新知，二是对新知的巩固，从而得以固化进入长时记忆，在此基础上才能融会贯通，举一反三，达到“生巧”的效果。从习题的“习”来看，本意是“动词，幼鸟在鸟巢振翅试飞”，慢慢演变成“动词：演练、模仿”到“形容词：熟悉的、有惯性的”，最后成为“名词，惯性、稳定的生活方式”。从中可看出习题具有“演练”、“巩固”之意。教科书的习题就是为强化学生对基本概念和基本思想的理解和掌握，强化运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练而设置的。如人民教育出版社初中数学教科书有“复习巩固”部分;在澳大利亚教科书《the Heinemann Maths Zone 7-10 VELS Enhanced》中也单独“Skill”，起巩固强化作用。

二、拓展延伸新知

数学教科书中的习题还承载着拓展延伸新知的功能。教科书中的习题有时显性或者隐性地拓展延伸概念与命题的内涵，使得与正文中的内容构成一个良好的知识逻辑体系，有利于学生行之有效地形成概念域与概念系、命题域与命题系。教科书拓展延伸新知还表现在为后面学习内容作铺垫之功能，起着承前启后，承上启下的桥梁纽带作用。例如人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学4（必修）》第22页B组第4题。

三、综合应用新知

学习知识的主要目的在于应用。《普通高中数学课程标准（实验）》提出：“数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。”因此，教科书在讲授完新知后的主要任务就是要使学生学会能运用新知去分析、解决生活、生产和科学中的问题。在中学阶段，在给予学生一定数量知识的同时，还应该培养学生运用知识解决问题的能力。而这个任务的完成是在例题的示范引领之后，通过一定数量的习题来达成的。教科书习题的应用主要体现在三个方面：一是数学知识内部的应用;二是新的生活情境的应用;三是在其他科学背景中的应用。

学生在解决实际问题的过程中，通过对事物的观察、分析、综合、抽象从而逐渐提高发现和提出数学问题的能力。虽然仿照某个问题的解法，可以去解决类似的问题，这是一件比较容易的事情，但是如果问题情境不类似，就不是那么容易了。“近年来，我国大学、中学数学建模的实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要……高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值。”因此，不管国内还是国外教科书，在习题的设置方面都有一个显著特点，就是通过习题把新学习的知识应用到新的情境之中，使学生能运用所学的新知解决新问题，譬如我国人民教育出版社初中数学教科书中习题有模块“综合运用”，在澳大利亚《Heinemann Maths Zone 7-10 VELS Enhanced》教科书中有模块“Application”（应用）。让学生通过类比、联想、迁移等方式，将刚刚学过的数学知识经验、思想方法应用于新的情境，体会数学知识内部之间、数学知识与其他学科知识、数学知识与实际生活的有机联系，进一步理解数学的本质，在这个过程中逐步使学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。毕竟教科书习题的设置不是单纯依靠学生简单操练来代替理解与创新，需要学生能够在陌生环境有效提取知识、应用知识的能力。

四、思维能力训练

“数学是思维的体操”，由于数学学科的特点，教科书习题承载着学生思维训练的任务。思维需要联系和联想。思维训练主要是在学生利用知识分析和解决问题的过程中完成的，这个过程需要在问题解决中来完成，习题是一个有效的载体。在数学中能力指的是什么？就是解决问题的才智。我们这里所指的问题，不仅仅是常规的，还包括那些要求有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神的问题。[1]习题思维的训练主要体现在两个环节：解题思路分析和解后反思小结。对同一个习题在思路分析以及后面反思时可以有多种思考方向，通过对习题解后的探索、研究、引申、推广，对学生进行一题多解、一题多变、一题多思、一法多用和不同层次习题的内在联系的揭示等探究活动，既可使学生掌握知识之间的内在联系和规律，做到解一题，带一串，通一类，提高解题的效率和解题能力，又可培养学生的数学思维能力、探索发现能力与研究能力，有效训练学生发散思维，从而促进学生的发展。“普通教育有用，不是因为我们记住了我们学习过的任何东西，也不是因为我们能够运用这些东西，而是因为这些东西有助于我们思维、感觉和想像。”[2]毕竟教科书中的习题除了它本身提出的问题外，在它的前面还有着许多未曾写进也不可能写进教科书的问题。对这些问题，学生（当然不是所有学生）是有能力进行探讨的。通过学生自己的探讨，能加深对知识各部分之间联系的认识，培养和发展学生观察、分析、提出并解决问题的能力。通过习题的分析过程，锻炼学生思维的严密性、精致性与整体性;通过对习题思考的发散性，培养学生思维的广阔性;根据习题题目的题设及时调整思路，训练学生思维的灵活性与敏捷性;通过习题的题设条件的各个细节，培养学生思维的缜密性;通过学生对问题的奇思妙想，培养思维的创新性。只有使得学生充分经历利用知识分析、解答、小结等解题过程才能使学生的思维得以高速的运转。毕竟，一道习题的解决，不仅需要有丰富的知识作为铺垫，还需要有细致的观察、深刻的思考、丰富的联想、大胆的创造等思维活动。

五、思想方法渗透

《普通高中数学课程标准（实验）》要求“通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方法”。教科书习题还有一个功能是揭示方法。教科书在讲授新知识时重点在如何推导得出新知，如何运用新知去分析解决实际问题。但由于例题不能太多，运用新知解决问题的思想方法不能一一用例题展示。因此，有些方法就需要进一步在习题中体现和完成。方法离不开知识，必须依托知识，蕴含于知识之中，习题就是除例题之外的另外一种重要的载体，教科书在设计习题时就把一些重要的数学思想方法通过习题来介绍，但这些思想方法是蕴含在习题中的，需要教师与学生进一步挖掘。教学中，教师引导学生以教科书的习题为载体，常常反思，总结提炼，从而达到深层次的理解——形成方法。当然方法是有层次的，可以是宏观的方法，也可以是微观的方法。中小学教科书习题关注更多的是通性通法，而不是特殊的解题技巧，特殊的解题方法。例如有些习题层层设问，步步引导，逐渐加以解决，有些渗透先猜想结论，然后进行验证，逐步体会数学发现的方法，这样的例子不胜枚举。毕竟，教科书的习题面向的是大多数学生，是为了学生掌握基础知识、基本技能，领悟基本思想方法服务的，重在基础。譬如立体几何的一些问题可以归结为平面几何的问题。这种把空间图形问题归结为平面图形问题，实际上乃是画法几何研究的对象，有效沟通平面与立体图形之间的关系。如人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学2（必修）》第73页，A组第2题、第5题渗透着“面面—线面—线线”的转化思想。

六、诊断反馈补救

教学的效果如何、学习的效果如何需要进行诊断反馈，并根据情况及时进行补救。这就需要对教师的教与学生的学习进行评价。“对学习的评价就是对学习的成效做出价值判断的一项活动”[3]。其目的主要是为了检验学习的效果，这种评价一般是以习题为载体进行。诊断表现在两个方面：一是对教师教的诊断反馈;二是对学生数学学习的诊断反馈。诊断不是目的，诊断的目的是为了补救，为了改进，补救教师教的疏漏，学生学的遗漏。

习题诊断反馈主要是通过学生作业即做教科书的习题后教师评改作业进行的。通过教科书的习题练习，教师及时确定学生学的水平，教师教的效果，以利于教师及时掌握学生对新知的学习情况，进行诊断，从而查漏补缺，再通过后面的习题进行矫正和弥补，体现习题的补偿诊断功能。如果学生解题出现障碍，教师应从知识结构深处分析造成学生学习困难的深层原因，诊断学生缺乏的是陈述性知识、程序性知识还是策略性知识，然后采取适当的补救措施，达到弥补缺陷的目的。譬如学生做错了题目，教师应该指导学生分析错在哪里？是概念不清？还是错用了定理？还是计算上或是逻辑上出了毛病？要使学生能认清问题的所在并加以改正。教师也反思自己在教学中出现的问题：是概念没有分析透彻？数学活动中指导不够？对学生的关注不够？

七、育人功能

习题中蕴含着丰富的数学文化元素，如经典的数学习题、丰富的数学思想方法、广泛的数学运用、严密的数学推理等，学生通过解答习题的过程，这些数学文化元素便会逐渐渗透到学生的心灵中，影响着学生的学习行为、情感、态度与价值观。具体来说表现在以下几个方面。

第一，习题的形式及内涵影响着学生的数学学习方式。学生通过习题学到的学习方式可以迁移到相关学科相关内容的学习之中。譬如人教社初中数学习题系列的“拓广探索”，通过一道道典型的习题，培养学生数学逻辑推理能力以及数学归纳、类比能力，养成理性思维精神，养成求实、说理、批判、质疑等理性思维习惯和锲而不舍的追求真理精神，达到育人目的。这符合《普通高中数学课程标准（实验）》倡导的“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用……数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用……它使学生掌握数学的基本知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方法解决问题、认识世界”[4]。数学是一门逻辑性很强的学科，没有逻辑就没有数学。需要注重对学生逻辑思维能力的训练，利用数学培养学生讲道理，有理有据的论证非常重要，不能存有侥幸心理。

第二，通过习题进行数学文化的渗透。在习题解答与应用过程中渗透文化意识，使学生养成良好的行为习惯，得到全面发展，成为一个“文化人”。数学教科书是育人信息的载体，而习题是其重要组成部分。通过习题隐含的“背景”、“数学史”来进行渗透，一方面扩充学生的视阈，另一方面对学生进行教育。

“用教材教”而不是“教教材”，教师只有吃透教科书的精神与实质，细心揣摩每一个习题，才能更加灵活地、更富有创造性地使用教科书的习题资源，不断提高教科书习题的“附加值”，从而更大可能发挥教科书习题的功能。

参考文献

[1] [美]乔治·波利亚著.数学的发现：对解题的理解、研究和讲授.刘景麟，曹之江，邹清莲，译.北京：科学出版社，2006.

[2] 陈文明.“开放性”数学习题与思维训练.数学教育学报，1996（2）.

[3] 王新民，王富英.数学高效教学构成要素分析.数学教育学报，2012（3）.

[4] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）.北京：人民教育出版社，2003.

【责任编辑  孙晓雯】