王思源，陈 浩

(华南师范大学物理与电信工程学院，广州510006)

非线性方程的求解是自然科学，尤其是非线性科学中最重要的部分.可用来阐述诸多复杂现象，例如规范场理论和量子场论中的磁单极子问题、瞬子问题;固体物理中的极化子问题和铁磁链孤波问题;流体力学中的水波问题等.近年来，非线性方程的研究热点是寻找新的解法并且得出新的精确解. 一些比较主流的求解方法开始在非线性方程中扮演重要角色，例如Hirota 双线性展开法［1］、Jacobi 双曲函数展开法［2］、齐次平衡法［3］及(g'/g)展开法等［4］.

(g'/g)展开法由Wang 等［4］于2008年首先提出，并得出了KdV 方程和mKdV 方程的精确解以及孤立波解.但是，这种方法存在推导繁琐、冗长等缺点.接着，Li 等［5］提出了(ω/g)展开法并且利用(g'/g)和(g'/g2)这2 种展开方法求得了Vakhnenko 方程的精确解.陈继培等［6］用(g'/g2)展开法求出了非线性Klein－Gordon 方程的精确通解.使方法比前一种方法更加简便、有效. 这也同样适用于KdV 方程和mKdV 方程的求解.

本文引入并介绍(g'/g2)展开法的原理及求解过程，研究了KdV 方程和mKdV 方程的行波解.

1 (g'/g2)展开法的主要求解步骤

(g'/g2)展开法的主要求解步骤［5－6］如下:

第1 步 假设含独立变量x、t 的非线性方程可以表示为

其中u=u(x，t).

第2 步 对式(1)做行波变换u=u(ξ)，ξ=x－Vt，得

第3 步 假定式(2)的解可以表示为

式中，g=g(ξ)满足二阶线性常微分方程

式中αi，a，b 是待定常数，αi≠0，n 可以根据其次平衡法确定.

第4 步 将方程(4)根据不同条件求解，代入式(3)，合并的同类项.令各项系数为0，得出并求解关于αi，a，b 的方程组.

第5 步 把第4 步得出的解代入式……