孟颖，张贵阳，魏晓马，周见红

（1.长春理工大学 光电工程学院，长春 130022；2.哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150006）

20世纪60年代激光器的问世引起了现代科技的巨大变化。激光由于其方向性好、相干度高和亮度高等特点，在现代工业制造加工、信息通信、医疗探测及国防等领域得到迅速的发展和应用［1］。光学谐振腔控制激光的输出模式（横模和纵模），是激光器的关键部件，纵模控制激光的输出频率，横模控制激光的输出光斑形状。光学谐振腔利用两块相对的具有高反射率的镜面控制光在其中来回反射振荡，可以增加光通过增益介质的次数，为光放大提供正反馈，同时控制激光的输出特性，准确、便捷的研究谐振腔的模式分布特性，提高光束质量，促进谐振腔的研制对激光谐振腔的设计和激光研究都具有重要的科学意义和应用价值。

研究激光器谐振腔的方法很多，如基于几何光学转移矩阵法［2］和基于波动光学的菲涅耳衍射法［3-5］，前者可以很容易给出谐振腔的稳定性条件，但是不能给出激光光斑的形状及其损耗特性；后者不但可以给出衍射损耗，还能给出能量在光束中的空间分布及位相特性，能够准确、全面地反映激光光束的输出特性。然而由于谐振腔的菲涅耳积分只有在共焦腔、方形镜面、旁轴近似的条件下才能给出近似的解析解，在实际使用中，数值计算方法显得尤为重要。

本文采用菲涅耳积分原理，利用迭代和本征值法计算激光谐振腔自再现模式的能量空间分布和损耗特性，数值模拟结果表明，两种方法给出的结果一致。比较而言，采用迭代法可以很清晰地给出激光在谐振腔中振荡并稳定的过程，利用稳定后的能量分布可以给出衍射损耗；本征值法可以直接给出模式的分布和损耗的特性，但是对于模式的稳定过程和物理图像的理解略显晦涩。另外，由于激光的输出模式与谐振腔的对称性具有很大的关系，在迭代法中，必需使用具有一定对称性的源才能激发出想要的模式，否则会出现不同模式的叠加，而本征值法不需考虑对称性因素就可以得到所有模式，因此，本征值法更具有普适性。

1 基本原理

其中，u'(P)和u(Q)表示镜面(x',y')和镜面(x,y)的振幅分布，ρ为P和Q之间的距离，dsP为镜面(x',y')上包围P点的小面元，θ为P和Q连线与面元sP法线方向的夹角，k=2π λ为波数。

对称结构的谐振腔如图1所示，即组成谐振腔的两个镜面结构参数相同，镜面之间的距离为L，按照菲涅耳-基尔霍夫衍射原理［3］，镜面(x',y')上的光场对镜面(x,y)的影响可以表示为

图1 镜面衍射示意图

由于谐振腔是对称的，所以当光在镜面之间来回振荡时，只需要交换P、Q的位置，式（1）是适合的。

2 数值计算方法

2.1 积分的离散过程

为了数值化处理方程（1）的积分，需要对镜面(x',y')进行离散化处理，我们采用如图2所示的方式把镜面分格成M×N个面元的方式离散，这样光场在镜面上的振幅u'(P)就变成了一个M×N列的列向量。

图2 镜面离散示意图

按照图2的离散方式，公式（1）可以写成

其中，un和u'm分别为按照图2的方式离散的点(x,y)和点(x',y')处的光波复振幅，且

ΔSm为按照图2的方式离散的包围点(x',y')面元。

需要指出的是，在离散过程中，除了由于离散精度引起的误差外，我们没有做任何近似。

公式（2）给出了光从镜面(x',y')到镜面(x,y)之间经历一次度越光场振幅所对应的关系。激光在谐振腔镜面之间来回振荡，最终会趋于稳定分布，所以利用式（2）可以计算最终的光场分布。为了演示此方法的可行性，我们采用迭代法和本征值法分别处理两个平面镜组成的谐振腔，其中镜面为边长3.2cm方形镜子，镜面距离为100cm，波长为632.6nm，计算光场分布和损耗，然后比较两种方法所得的结果。迭代法和本征值法计算过程中，我们把镜面离散成32×32个面积相等的面元。

2.2 迭代法

光场在两镜面之间来回振荡，由于考虑的系统为对称结构，所以光场在镜面之间第q次度越按照式（2）可以表示为

需要指出的是，在迭代过程中，初始状态的输入um,0（也叫种子光）的对称性对最终输出的模式有很大的影响，这是因为理论上激光谐振腔可以支持无穷多个模式，一个偶对称的输入不可能激发一个奇模式；另外，如果激发了多个模式，由于低阶模式在振荡过程中的损耗比高阶模式小，高阶模式在振荡过程中被损耗而只剩下低阶模式，或者出现多个模式的叠加而不利于单个模式的显示，因此计算特定对称性模式需要有对应的初始态输入。

图3 一阶模式迭代稳定过程

图3给出了最低阶模的迭代并稳定的过程，其中输入的种子光为点光源，放置在右上方，由于最低阶模式的损耗最小，所以对于初始的输入状态不是很严格，最终都能得到这个模式。从图3（a）可以看出，由于是输入点源，所以在第一次度越过程中，镜面得到的是球面波；经过多次来回振荡，光斑分布趋向稳定，如图3（a）-（f）所示。可以通过损耗来判断激光振荡是否稳定，即衍射损耗稳定时，激光的模式趋于稳定，激光的衍射损耗可以表示为

对于图3所示的一阶稳定模式的衍射损耗δ=2.52%。

图4 二阶模式迭代稳定过程

高阶模式对种子光非常敏感，为了得到二阶模式，采用两个位相差π的种子光，分别位于镜面的左上角和右下角，模式的稳定演化过程如图4所示。可以看出，第一次度越是两个点光源的球面波叠加，在另一个镜面上发生干涉的干涉条纹，如图4（a）所示；图4（a）-（d）是经过多次来回振荡，光斑分布趋向稳定分布，同样可以得出稳态衍射损耗为δ=5.81%。需要注意的是，方形平面镜的二阶模式是按照对角线方向对称的，而不是按照中线方向，这是由于对角线方向的损耗更小，模式更稳定。

采用对称性分析，设定需要的模式，通过式（6）可以得到所需模式分布和相应衍射损耗。

2.3 本征值法

由于本文考虑的是对称谐振腔，稳态时，模式的分布稳定，输入与输出只有由于衍射损耗和位相而引起的复常数因子σ，故公式（2）可以表示为

公式（8）是一个求本征的矩阵形式［6］，其中 σ为本征值，u为模式分布，利用数值计算可以求得模式分布如图5所示。在计算过程中，没有对本征值的大小排序，图5（a）给出了最低阶模式的分布，与图3给出完全相同。图5（b）和（d）为相互简并的二阶模式［7］，它们之间的关系是旋转90度；图5（c）为三阶模式的光强分布。

同样从本征值可以得到损耗为

利用式（9）计算的10个模式的损耗如图6所示，从图中可以看出第2个模式和第4个模式的损耗相同，它们相互简并，从模式分布上可以看出它们是旋转90度，这是由于此结构具有相应的对称性。从损耗特性中可以很容易发现简并的模式，因为损耗是由本征值来表征的，本征值相同的模式简并，从图6中显示的前10个模式，其中第2、第4个模式简并，第5、第9个模式简并，第6第7个模式简并，由于结构具有较好的对称性，所以简并的模式很多。

图5 本征值法求得的前四个模式

图6 本征值法计算的前10个模式的衍射损耗

本文计算的谐振腔模式是两个镜面上的场分布。对于远场分布，同样适合菲涅耳-基尔霍夫衍射，只需要设定相应的[]an×m，把输出镜面的场分布作为输入，利用式（2）即可求出。

3 讨论

上面给出的两种方法得到的结果一致。对于边长为3.2cm方形镜子，镜面距离为100cm的谐振腔而言，具有较好的对称性，从对称性分析（群论）的角度上，基本能够预见模式的对称性和光斑的形状，对于迭代法，需要设置相应的源（种子光）来激发。一般而言，低阶模式的损耗较小，光在谐振腔中多次振荡之后，只有损耗最小的那个模式会留下来，损耗高的模式会被抑制掉，也就是说，如果用于激发的源可以激发多个模式，最终只有损耗最小的那个模式会留下，但是对于高阶模式而言，设置相应的激发源会非常困难，一般只用于激发有限的低阶模式。但迭代法可以很容易看到模式从激发到稳定的全部演化过程，物理图像非常清晰。

本征值法采用求解本征值方程的方法得到的结果非常直接，同时可以得到所有的模式及其本征值（损耗），不需要设置激发源，也不需要人为的分析模式对称性（对称性由矩阵表征），对于激光器谐振腔的研究是一个非常有效的方式。求解本征值法对谐振腔的模式稳定性理解具有一定的抽象性，掩盖了很多物理图像，但是此方法可以很直接地给出所有所需的光学特性。

本文分析了对称正方平面镜谐振腔，这两种方法对于任意形状的谐振腔而言都是适应的，只需要在使用过程中，按照设计的谐振腔几何参数对矩阵进行相应的调整即可。

4 结论

基于菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式，本文采用数值计算的方式利用迭代法和本征值法研究了谐振腔的自再现模和衍射损耗特性，研究结果表明，迭代法计算模式对于激发源（种子光）非常敏感，对于高阶模式，只有采用与模式对称性相同的激发源才能激发，而且可以很直观地看到模式的演化稳定过程，并利用稳态模式计算相应模式的衍射损耗；而本征值法可以同时计算所有模式和损耗，无需考虑激发源的特性。本文提出的方法为激光器谐振腔的设计和优化提供了一条便捷的途径。

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