王睿，张浩，郑雪莲

（1.长春理工大学 计算机科学技术学院，长春 130022；2.交通运输部公路科学研究院，北京 100088；3.吉林大学 交通学院，长春 130000）

大吨位、高车速的重型载货车运输效率高、运输成本低。同时，重型载货车质心较高，车辆在转弯、躲避道路障碍时其侧倾稳定性较低，容易发生翻车事故。为了研究车辆的侧倾稳定性，首先要建立正确的车辆动力学模型。

国内外学者为了研究重型车辆的侧倾稳定性建立了形式多样的车辆动力学模型传统的车辆侧倾稳定性动力学模型在进行整车受力分析时忽略了簧下质量的侧倾，而在对簧下质量进行受力分析又将侧倾作为参量进行考虑，导致动力学建模过程中出现整体与局部不一致。其次，在对簧下质量进行受力分析时没有考虑横向载荷转移量所产生的绕侧倾轴的侧倾力矩［1-5］，在重型车辆行驶过程中，横向载荷转移量是影响其侧倾稳定性的最重要参量。由于动力学模型建模过程中整体与局部分析变量并没有统一方向，出现了变量正负号不统一，直接导致车辆动力学模型对车辆受力分析的准确性受到影响，甚至导致车辆试验结果的结论性错误。

本文将横向载荷转移量作为一变量予以考虑，在对整车受力分析时计及簧下质量侧倾角。从这一角度出发，建立重型单车和汽车列车的动力学模型。

1 横向载荷转移

车辆在行驶过程中进入弯道或进行紧急规避动作所产生的侧倾造成载荷转移。标准的横向载荷转移率定义为：

其中，F1—外侧车轮的垂直载荷；F2—内侧车轮的垂直载荷。

由于两侧车轮载荷转移量相等，假设一侧车轮载荷变化量为ΔF，则横向载荷转移率又可定义为：

车辆的横向载荷转移量随着车辆的侧倾而不断变化，当车辆侧倾角达到临界值既载荷转移量达到最大值将直接导致一侧车轮离地并提升。此时车辆出于侧倾失稳的临界状态。由于轮胎的弹性特性，在横向载荷转移量增大的过程中，簧下质量绕侧倾轴的侧倾变化车身侧倾时整车绕轮胎接地面中心的力矩平衡方程为：

2 重型单车建模研究

假定汽车质心速度为一定值，忽略汽车的垂直和俯仰运动，忽略空气阻力作用，悬架刚度及轮胎侧偏特性均处于线性范围内。

坐标系的原点为车辆静止时过车辆质心的铅直线和车身侧倾轴的交点P，x轴平行于地面指向前方，y轴指向驾驶员的左侧，z轴通过质心指向上方，三者满足右手定则。

力的方向以与坐标轴同向为正，反向为负；力矩的方向以逆时针为正，顺时针为负。

2.1 车辆的平动

如图1所示，X-Y-Z为空间绝对坐标系。设固定于簧上质量和簧下质量的坐标系分别为x-y-z、x'-y'-z'。车身未发生侧倾时两坐标系重合。S点、U点分别为簧上、簧下质量的质心。车辆以R·的速度平移并以ω的角速度绕整车质心转动［6］。则有：

整车质心处的速度为两个方向速度的合成：

图1 S点、U点的运动

簧上质量具有绕x轴的侧倾角速度φ·，簧下质量具有绕x'的侧倾角速度φ·t，二者都具有绕z或z'轴的横摆角速度ψ·，得

由图1得：

其中，c、e分别为簧上、簧下质量质心到z轴的距离。

由此推出：

对两式求微分，得到：

方向向量的导数可通过图2得到：

图2 单位向量的时间微分

得到簧上质量及簧下质量的侧向加速度分别为：

因 u=Vcosβ ≈V ，v=Vβ ，u·=-Vβ·β ，v·=Vβ·。同时认为簧下质量质心处的侧倾角是前后轴侧倾角的平均值，得到：

本文所研究的重型车辆多为非独立悬架，可不考虑车轮外倾角。前后轮胎侧偏角为：

作用于前后轮胎的侧偏力分别为：

其中：a1为车辆质心至前轴距离，a2为车辆质心至后轴距离；cf、cr为前后轮胎侧偏刚度。

车辆侧向力与车辆所受外力平衡，有：

得到：

其 中 ：Yψ·=2(-a1cf+a2cr)/V ；Yβ=-2(cf+cr)；Yδ=2cf

2.2 车辆的转动

簧上质量绕其质心S的转动角动量可写成［6］：

其中，IS为簧上质量绕S点的惯性张量；IxxS、IzxS、IzzS为绕过S点且平行于x、y、z轴的转动惯量和惯性积。由于簧上质量对于xz平面对称，IyxS=IyzS=0。

同样地，写出簧下质量绕质心U的角动量：

其中，Ix'x'U、Iz'x'U、Iz'z'U为绕过U点且平行于x'、y'、z'轴的转动惯量和惯性积，其余惯性积为0。

对角动量求导得到力矩，由此可得到绕质心S点且平行于z、x的横摆力矩NS和侧倾力矩LS分别为：

绕质心U点且平行于z'、x'的横摆力矩NU和侧倾力矩LU分别为：

计及簧上质量和簧下质量的惯性力，得到整车绕z或z'的横摆力矩及簧上质量绕x轴的侧倾力矩为：

其中：Iz=IzzS+Iz'z'U+msc2+mue2Izx=IxzS+mshsc，Iz'x'U=Ix'z'U-muhue，Ix=IxxS+mshs2，Iz为整个车辆绕过质心的铅直轴的横摆转动惯量，Ix为簧上质量绕x轴的侧倾转动惯量。

车辆所受外力绕z轴的力矩为：

列出车辆横摆力矩平衡有：

其中：

车身发生侧倾时，由于重心的偏移而产生绕x轴的力矩，侧倾角很小时该力矩为msghsφ。悬架的变形产生侧倾刚度力矩和侧倾阻尼力矩，为：

作用于车身的外力产生的绕x轴的侧倾力：

其中：kf、kr为前后悬架侧倾刚度；lf、lr为前后悬架侧倾阻尼；hs为簧上质量质心到侧倾轴的距离。

图3 簧上、簧下质量受力分析图

簧上质量绕x轴的横摆力矩平衡，得到：

在对簧下质量进行建模时，将前后轮的横向载荷转移量ΔFf、ΔFr看成两个自由度。由图3可列出针对簧下质量前后轮的两个绕x轴的力矩平衡等式：

其中：

式中，r为侧倾轴到地面的距离；hu为簧下质量质心到侧倾轴的距离；df为前轴轮距；dr为后轴轮距；ktf、ktr分别为前后轮胎的侧倾刚度。

车身侧向加速度的存在引起横向载荷转移现象的产生，对整车进行受力分析，得到：

第一、三项为作用点移至侧倾中心的簧上、簧下质量离心力引起的轮荷转移，第二、四项为作用在侧倾中心处的侧倾力矩引起的轮荷转移。

认为msfhsc-mufhue=0。整理，得：

公式（25）-（47）就组成了重型单车的运动模型，模型共计及七个自由度，分别是质心侧偏角β、横摆角速度ψ·、车身侧倾角φ、前后轮横向载荷转移量ΔFf、ΔFr，前后簧下质量侧倾角φtf、φtr。

3 汽车列车建模研究

半挂车由牵引车和挂车两部分组成，二者通过第五轮连接在一起。设第五轮处的侧向力为Fy，先分别给出牵引车和挂车的数学模型。因为铰接点处绝对速度的方向唯一，可根据这一几何条件将二者数学模型联系在一起。

挂车有五个自由度：质心侧偏角β2、横摆角速度ψ·2、簧上质量侧倾角φ2、挂车簧下质量侧倾角φtr2、挂车横向载荷转移量ΔFr2。共有12个自由度。设第五轮处的侧向力为Fy。

3.1 牵引车模型

3.2 挂车单元模型

3.3 推导第五轮处的约束方程

牵引车和挂车铰接点处速度的表达式分别为（车辆的行驶速度为V）：

牵引车质心航向角为ψ1，挂车质心航向角为ψ2，两车直接存在夹角。由空间任意一点的绝对速度方向一致，可得两车固定坐标系中铰接点处合成速度是平行的。又因为车辆的侧向速度大小远远小于纵向速度大小，则二者之间夹角可用近似代替。

图4 两坐标系中的铰接点速度

整理，得：

对公式求导，注意车辆的行驶速度V是定值，就得到第五轮处的约束方程为：

公式（48）～（63）构成了汽车列车的动力学模型。

4 模型验证

为验证所建立的动力学模型的有效性，利用Matlab仿真和TruckSim仿真模拟在转向盘转角为90°的阶跃输入和车辆纵向车速为70km/h的满载条件下车辆系统动力学特性。汽车列车的Matlab仿真参数，参考TruckSim的参数值。Matlab和TruckSim分别仿真得到的牵引车和半挂车侧倾角阶跃响应曲线，如图5和图6所示。

图5 侧倾角响应Matlab仿真曲线

图6 侧倾角响应TruckSim仿真曲线

由上图分析可知，在相同的仿真条件下，利用Matlab仿真和TruckSim仿真得到牵引车稳态侧倾角分别为 6.2°和 6.5°，挂车侧倾角分别为 5.6°和5.9°。分析仿真曲线的变化趋势和变化规律，不难发现两种仿真方法得到的曲线在超调量、响应时间、变化趋势和稳态值方面基本保持一致，进而验证了所建立的半挂汽车列车动力学模型的有效性。

5 结论

本文分别对重型单车和汽车列车建模动力学建模进行了分析和研究，并在建模过程中将横向载荷转移量作为重要的变量引入到模型中去，并建立了重型单车7自由度和汽车列车12自由度动力学模型。并利用Matlab仿真和TruckSim仿真模拟了在相同输入条件下的牵引车和半挂车侧倾角响应曲线，通过对比分析，验证了所建立仿真模型的有效性。本文所建立的模型可为今后重型车辆侧倾稳定性的研究提供理论基础。

［1］Guvenc B A，Guvenc L，Karaman S.Robust Yaw StabilityControllerDesignandHardware-in-the-Loop Testing for a Road Vehicle［J］.IEEE Transaction on Vehicular Technology，2009，58（2）：555-571.

［2］成华光.基于TTR预警的汽车侧翻预警器设计［D］.南京：南京航空航天大学，2008.

［3］Arnaud J P Miege，David Cebon.Optimal roll control of an articulated vehicle：theory and model validation［J］.Vehicle Syslem Dynamics，2005，43（12）：867-893.

［4］Blow P W，Woodrooffe J H F，Sweatman P F.Vehicle stability and control research for US comprehensive truck size and weight study［J］.SAE transactions，1998，107（982819）：617-623.

［5］冯向敏.半挂汽车列车的主动侧倾控制［J］.长春：吉林大学，2005.

［6］安部正人.汽车的运动和操纵［M］.北京：机械工业出版社，1998.

［7］刘惟信.汽车设计［M］.北京：清华大学出版社，2001.