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等效法处理重力场和电场的复合场问题

2014-11-26赵鹏飞

理科考试研究·高中 2014年11期
关键词:电场力最低点斜面

赵鹏飞

物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动,但是对处在匀强电场中的带电物体而言,它的周围不仅有重力场,还有匀强电场,同时研究这两种场对物体运动的影响,问题就会变得复杂一些.此时,若能将重力场与电场合二为一,用一个全新的“复合场”(可形象称之为“等效重力场”)来代替,不仅能得到“柳暗花明”的效果,同时也是一种思想的体现.那么,如何实现这一思想方法呢?

一、概念的全面类比

为了方便后续处理方法的迁移,必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与之前的相关概念之间关系.具体对应如下:

等效重力场是重力场、电场叠加而成的复合场

等效重力是重力、电场力的合力

等效重力加速度等于等效重力与物体质量的比值

等效“最低点”是物体自由时能处于稳定平衡状态的位置

等效“最高点”是物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置

等效重力势能等于等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积

二、等效重力场中的典型模型

1.类平抛运动

例1如图1所示,倾角α=37°的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中,电场强度E=103N/C,有一个质量为m=3×10-3kg的带电小球,以速度v=1 m/s沿斜面匀速下滑,求:(1)小球带何种电荷?电荷量为多少?(2)在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面,此后经t=0.2 s小球的位移是多大?(g取10 m/s2)

解析(1)由于小球匀速运动,所受重力与电场力的合力和斜面对小球的支持力平衡,如图2可知,小球必带正电,且tanα=Eqmg,所以; q=mgtanαE=2.25×10-5C.

从“等效重力场”观点看,实际上就是小球所受等效重力与斜面对小球的支持力平衡,故等效重力大小、等效重力加速度大小可分别表示为G′=mg′=mgcosα、g′=gcosα.

(2)撤去斜面后,小球仅受等效重力作用,且具有与等效重力方向垂直的初速度,所以小球做类平抛运动,处理的基本方法是运动的分解.

如图3,小球在x轴方向做匀速直线运动,在y轴方向做“自由落体运动”,则有x=vt

y=12g′t2,其中v=1 m/s, t=0.2 s, g′=gcosα=1045m/s2=12.5 m/s2.

解得y=0.25 m,所以t=0.2 s内的总位移大小为s=x2+y2=0.32 m.

考虑到分析习惯,实际处理时可将上述示意图顺时针转过α角,让小球的运动和重力场中的平抛运动更接近.

2.单摆类问题

例2如图4所示,一条长为L的细线,上端固定,下段拴一质量为m的带电小球,将它置于一匀强电场中,电场强度大小为E,方向水平向右.已知当细线偏离竖直位置的夹角为α时,小球处于平衡状态,如果使细线的偏转角由α增大到φ,然后将小球由静止开始释放,则:(1)φ应为多大,才能使细线到达竖直位置时小球的速度恰好为零?(2)若α≤5°,那么(1)问中带电小球由静止释放至到达竖直位置需要多少时间?

解析(1)从“等效重力场”观点看,小球原来的平衡位置是它的等效“最低点”,初始释放点M和几何最低点N是小球在等效“最低点”两侧做机械振动的两个端点,如图4所示,它们应该关于等效“最低点”对称,所以φ=2α;

(2)α≤5°时,小球的振动可近似看成简谐运动,由静止释放至到达竖直位置需要的时间为周期的一半,即

t=T2=2πLg′2=πLg′

其中g′=G′m=mgcosαm=gcosα,所以小球从释放至第一次到达竖直位置的时间为t=πLcosαg.

与传统的处理方法相比较,等效重力场法回避了复杂的数学表达式化简和三角函数变换的过程,达到了事半功倍的效果.

3.竖直平面内圆周运动

例3光滑绝缘的圆形轨道竖直放置,半径为R,在其最低点A处放一质量为m的带电小球,整个空间存在匀强电场,小球受到的的电场力大小为33mg,方向水平向右,现给小球一个水平向右的初速度v0,使小球沿轨道向上运动,若小球刚好能做完整的圆周运动,求v0大小.

解析小球同时受到重力和电场力作用,可认为小球处在等效重力场中.小球所受的等效重力大小为

G′=mg′=(mg)2+(33mg)2=233mg,

其中g′=233g,且如图5又有tanθ=33mgmg=33,即θ=30°,也就是等效重力的方向与竖直方向成30°.

故图6中B为等效“最低点”,C为等效“最高点”.小球能做完整圆周运动的临界条件是恰能通过等效“最高点”C,在C点等效重力提供向心力,即Fn=G′=mv2cR,可得vc=g′R=233gR,对小球从A运动到C的过程应用动能定理

-mg′(R+Rcosθ)=12mv2c-12mv20.

代入相关物理量解得 v0=2(3+1)gR

此处,借助等效重力势能的概念使用等效机械能守恒定律也可以求解,不过需要准确理解等效重力场中“参考面”和“高度”的含义.

物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动,但是对处在匀强电场中的带电物体而言,它的周围不仅有重力场,还有匀强电场,同时研究这两种场对物体运动的影响,问题就会变得复杂一些.此时,若能将重力场与电场合二为一,用一个全新的“复合场”(可形象称之为“等效重力场”)来代替,不仅能得到“柳暗花明”的效果,同时也是一种思想的体现.那么,如何实现这一思想方法呢?

一、概念的全面类比

为了方便后续处理方法的迁移,必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与之前的相关概念之间关系.具体对应如下:

等效重力场是重力场、电场叠加而成的复合场

等效重力是重力、电场力的合力

等效重力加速度等于等效重力与物体质量的比值

等效“最低点”是物体自由时能处于稳定平衡状态的位置

等效“最高点”是物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置

等效重力势能等于等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积

二、等效重力场中的典型模型

1.类平抛运动

例1如图1所示,倾角α=37°的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中,电场强度E=103N/C,有一个质量为m=3×10-3kg的带电小球,以速度v=1 m/s沿斜面匀速下滑,求:(1)小球带何种电荷?电荷量为多少?(2)在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面,此后经t=0.2 s小球的位移是多大?(g取10 m/s2)

解析(1)由于小球匀速运动,所受重力与电场力的合力和斜面对小球的支持力平衡,如图2可知,小球必带正电,且tanα=Eqmg,所以; q=mgtanαE=2.25×10-5C.

从“等效重力场”观点看,实际上就是小球所受等效重力与斜面对小球的支持力平衡,故等效重力大小、等效重力加速度大小可分别表示为G′=mg′=mgcosα、g′=gcosα.

(2)撤去斜面后,小球仅受等效重力作用,且具有与等效重力方向垂直的初速度,所以小球做类平抛运动,处理的基本方法是运动的分解.

如图3,小球在x轴方向做匀速直线运动,在y轴方向做“自由落体运动”,则有x=vt

y=12g′t2,其中v=1 m/s, t=0.2 s, g′=gcosα=1045m/s2=12.5 m/s2.

解得y=0.25 m,所以t=0.2 s内的总位移大小为s=x2+y2=0.32 m.

考虑到分析习惯,实际处理时可将上述示意图顺时针转过α角,让小球的运动和重力场中的平抛运动更接近.

2.单摆类问题

例2如图4所示,一条长为L的细线,上端固定,下段拴一质量为m的带电小球,将它置于一匀强电场中,电场强度大小为E,方向水平向右.已知当细线偏离竖直位置的夹角为α时,小球处于平衡状态,如果使细线的偏转角由α增大到φ,然后将小球由静止开始释放,则:(1)φ应为多大,才能使细线到达竖直位置时小球的速度恰好为零?(2)若α≤5°,那么(1)问中带电小球由静止释放至到达竖直位置需要多少时间?

解析(1)从“等效重力场”观点看,小球原来的平衡位置是它的等效“最低点”,初始释放点M和几何最低点N是小球在等效“最低点”两侧做机械振动的两个端点,如图4所示,它们应该关于等效“最低点”对称,所以φ=2α;

(2)α≤5°时,小球的振动可近似看成简谐运动,由静止释放至到达竖直位置需要的时间为周期的一半,即

t=T2=2πLg′2=πLg′

其中g′=G′m=mgcosαm=gcosα,所以小球从释放至第一次到达竖直位置的时间为t=πLcosαg.

与传统的处理方法相比较,等效重力场法回避了复杂的数学表达式化简和三角函数变换的过程,达到了事半功倍的效果.

3.竖直平面内圆周运动

例3光滑绝缘的圆形轨道竖直放置,半径为R,在其最低点A处放一质量为m的带电小球,整个空间存在匀强电场,小球受到的的电场力大小为33mg,方向水平向右,现给小球一个水平向右的初速度v0,使小球沿轨道向上运动,若小球刚好能做完整的圆周运动,求v0大小.

解析小球同时受到重力和电场力作用,可认为小球处在等效重力场中.小球所受的等效重力大小为

G′=mg′=(mg)2+(33mg)2=233mg,

其中g′=233g,且如图5又有tanθ=33mgmg=33,即θ=30°,也就是等效重力的方向与竖直方向成30°.

故图6中B为等效“最低点”,C为等效“最高点”.小球能做完整圆周运动的临界条件是恰能通过等效“最高点”C,在C点等效重力提供向心力,即Fn=G′=mv2cR,可得vc=g′R=233gR,对小球从A运动到C的过程应用动能定理

-mg′(R+Rcosθ)=12mv2c-12mv20.

代入相关物理量解得 v0=2(3+1)gR

此处,借助等效重力势能的概念使用等效机械能守恒定律也可以求解,不过需要准确理解等效重力场中“参考面”和“高度”的含义.

物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动,但是对处在匀强电场中的带电物体而言,它的周围不仅有重力场,还有匀强电场,同时研究这两种场对物体运动的影响,问题就会变得复杂一些.此时,若能将重力场与电场合二为一,用一个全新的“复合场”(可形象称之为“等效重力场”)来代替,不仅能得到“柳暗花明”的效果,同时也是一种思想的体现.那么,如何实现这一思想方法呢?

一、概念的全面类比

为了方便后续处理方法的迁移,必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与之前的相关概念之间关系.具体对应如下:

等效重力场是重力场、电场叠加而成的复合场

等效重力是重力、电场力的合力

等效重力加速度等于等效重力与物体质量的比值

等效“最低点”是物体自由时能处于稳定平衡状态的位置

等效“最高点”是物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置

等效重力势能等于等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积

二、等效重力场中的典型模型

1.类平抛运动

例1如图1所示,倾角α=37°的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中,电场强度E=103N/C,有一个质量为m=3×10-3kg的带电小球,以速度v=1 m/s沿斜面匀速下滑,求:(1)小球带何种电荷?电荷量为多少?(2)在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面,此后经t=0.2 s小球的位移是多大?(g取10 m/s2)

解析(1)由于小球匀速运动,所受重力与电场力的合力和斜面对小球的支持力平衡,如图2可知,小球必带正电,且tanα=Eqmg,所以; q=mgtanαE=2.25×10-5C.

从“等效重力场”观点看,实际上就是小球所受等效重力与斜面对小球的支持力平衡,故等效重力大小、等效重力加速度大小可分别表示为G′=mg′=mgcosα、g′=gcosα.

(2)撤去斜面后,小球仅受等效重力作用,且具有与等效重力方向垂直的初速度,所以小球做类平抛运动,处理的基本方法是运动的分解.

如图3,小球在x轴方向做匀速直线运动,在y轴方向做“自由落体运动”,则有x=vt

y=12g′t2,其中v=1 m/s, t=0.2 s, g′=gcosα=1045m/s2=12.5 m/s2.

解得y=0.25 m,所以t=0.2 s内的总位移大小为s=x2+y2=0.32 m.

考虑到分析习惯,实际处理时可将上述示意图顺时针转过α角,让小球的运动和重力场中的平抛运动更接近.

2.单摆类问题

例2如图4所示,一条长为L的细线,上端固定,下段拴一质量为m的带电小球,将它置于一匀强电场中,电场强度大小为E,方向水平向右.已知当细线偏离竖直位置的夹角为α时,小球处于平衡状态,如果使细线的偏转角由α增大到φ,然后将小球由静止开始释放,则:(1)φ应为多大,才能使细线到达竖直位置时小球的速度恰好为零?(2)若α≤5°,那么(1)问中带电小球由静止释放至到达竖直位置需要多少时间?

解析(1)从“等效重力场”观点看,小球原来的平衡位置是它的等效“最低点”,初始释放点M和几何最低点N是小球在等效“最低点”两侧做机械振动的两个端点,如图4所示,它们应该关于等效“最低点”对称,所以φ=2α;

(2)α≤5°时,小球的振动可近似看成简谐运动,由静止释放至到达竖直位置需要的时间为周期的一半,即

t=T2=2πLg′2=πLg′

其中g′=G′m=mgcosαm=gcosα,所以小球从释放至第一次到达竖直位置的时间为t=πLcosαg.

与传统的处理方法相比较,等效重力场法回避了复杂的数学表达式化简和三角函数变换的过程,达到了事半功倍的效果.

3.竖直平面内圆周运动

例3光滑绝缘的圆形轨道竖直放置,半径为R,在其最低点A处放一质量为m的带电小球,整个空间存在匀强电场,小球受到的的电场力大小为33mg,方向水平向右,现给小球一个水平向右的初速度v0,使小球沿轨道向上运动,若小球刚好能做完整的圆周运动,求v0大小.

解析小球同时受到重力和电场力作用,可认为小球处在等效重力场中.小球所受的等效重力大小为

G′=mg′=(mg)2+(33mg)2=233mg,

其中g′=233g,且如图5又有tanθ=33mgmg=33,即θ=30°,也就是等效重力的方向与竖直方向成30°.

故图6中B为等效“最低点”,C为等效“最高点”.小球能做完整圆周运动的临界条件是恰能通过等效“最高点”C,在C点等效重力提供向心力,即Fn=G′=mv2cR,可得vc=g′R=233gR,对小球从A运动到C的过程应用动能定理

-mg′(R+Rcosθ)=12mv2c-12mv20.

代入相关物理量解得 v0=2(3+1)gR

此处,借助等效重力势能的概念使用等效机械能守恒定律也可以求解,不过需要准确理解等效重力场中“参考面”和“高度”的含义.

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