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1 引言

RLS（Recursive Least Square）算法，即递推最小二乘法，在信号处理领域有广泛的运用。此算法具有优异的未知参数跟踪能力和快速的收敛性能。图1是最小二乘算法（Least Square，LS）的 原理图，w［n］表示在第n时刻的权向量。假设在第n时刻，已经输入n＋1组信号x［0］，x［1］，…，x［n］，同时输入n＋1个比较信号d［0］，d［1］，…，d［n］，那么输出n＋1个误差信号是［1］：

图1 LS算法原理图

令

2 LS数学模型

这里，0＜λ≤1，称作遗忘因子（减少旧数据的影响）。为了求出最优权向量wopt，引入如下M×（n＋1）矩阵（M表示阵元数目）

和对角矩阵

那么

根据

得到

3 RLS算法

从wopt的表达式可以看出，如果直接计算wopt，不仅涉及到矩阵求逆，还随着时间的推移，各种矩阵的维数变得越来越大，最终导致计算量的急剧增加。针对这个问题，提出一种递推的计算方法就十分合理了。递推最小二乘算法（RLS）正是针对上述缺点提出的计算方法［3］。

基于RTDS与QualNet的电网和通信网半实物联合仿真系统//童和钦,倪明,李满礼,司庆华,缪源诚,龚鹏//(8):149

为了方便叙述，令

那么

那么根据矩阵求逆引理，

经过计算推导，RLS算法公式如下述：

4 RLS算法收敛性质

4．1 线性回归模型

设（Ω，F，P）是基本概率空间，F是事件域，P是概率测度。术语“Ω上的随机变量X”是指X：Ω→｛所有实数｝是Ω上的可测函数，即每个Borel集B的原像集X-1（B）∈F；术语“离散时间随机过程”就是由整数指定的随机变量序列｛Xn｝。当用随机变量来描述随机信号时，指标n通常是指时间［4］。

设Yn和υn是随机过程（注意υn是零均值的随机过程，即E（υn）＝0），Xn是随机过程向量，比如

如果存在常系数w1，…，wM，使得

那么这样的数学模型就称作线性回归模型（Linear Regression Model），常系数w1，…，wM就称作回归系数，υn称作误差过程。……