陈 挺，黄文韬，2，马皖川

(1.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林 541004;2.贺州学院 数学系，广西 贺州 542800)

1989年，C.Chicone 与M.Jacobs［1］类比N.Bautin［2］研究了小振幅极限环的方法，首次提出了k 阶细中心和局部临界周期分支(简称临界周期分支)的概念.在文献［1］中，作者证明了奇点的临界周期分支的一些定理，并研究了二次系统的临界周期分支情况.林怡平与李继彬［3］用复系统的方法研究了细中心和临界周期分支，解决了不含二次项的三次复系统的临界周期分支问题.文献［4-5］也研究了不含二次项的三次系统原点的临界周期分支问题.文献［6］给出了一类三次Kukles系统的原点最多有三个临界周期分支.张伟年等［7］讨论了一类三次可逆多项式系统的情形.另外，文献［8］也讨论了一类特殊的三次系统的临界周期问题.文献［9-10］研究了Hamilton 系统的临界周期问题.文献［11-12］研究了Lénard 系统的临界周期问题.对于临界周期分支相关问题的研究还可见文献［13-17］.

本文考虑如下一类三次系统原点的细中心和临界周期分支问题

系数Ai，j，Bi，j(i=0，1，2，3;j=0，1，2)是实数.

文献［18］研究了系统(1)的中心条件，本文将利用文献［19］定义的复自治系统的周期常数及递推公式，得到该系统原点的细中心阶数，并证明了该系统原点能分支出3 个临界周期分支.

1 预备知识

考虑系统

式中:λ ∈Λ.在原点充分小的邻域内，设P(h，λ)为系统(2)通过非零点(h，0)的闭轨的最小周期函数.由文献［1］得，P(h，λ)是局部可积的，其泰勒展开式为

对正整数k，如果存在λ*∈Λ，使得P2(λ*)=…=P2k(λ*)=0，P2k+2(λ*)≠0，则系统(2)的原点为k 阶细中心(当……